系统建模与仿真-第2章 系统建模理论与方法

2.3 系统建模的基本方法概述
（3）图的赋权 若图G的每一条边e都对应一个实数 ，则称
为边e的权，并称图G为赋权图。有向图上各边赋以权数后， 称为有向赋权图。赋权图在实际问题中十分有用，根据不 同的实际情况，权数的含意可以各不相同。例如，可用权 数代表两地之间道路的长度或行车时间，也可用权数代表 一道工序所需的加工时间等。
2.1 系统模型及其分类
2.1.2 系统模型的分类
(1)线性与非线性模型 线性模型是用来描述线性系统的，一般说来，线性模 型能满足下列算子运算：
式中：X和Y为变量；A1和A2 为算子。
2.1 系统模型及其分类
非线性模型是用来描述非线性系统的，一般不满足叠 加原理，例如，气体体积 V与压强P、温度T之间的关 系就是一种非线性模型，即理想气体状态方程：
图 2.0.1 白箱问题
2.4 系统建模的途径与步骤
(2) 测试法/归纳法/实验建模/系统辨识 系统的动态特性必然表现在变化的输入输出数据中。
通过观测系统在人为输入作用下的输出响应，或记录系统 的输入输出数据，经过必要的数据处理和数学计算，估计 出系统的数学模型，这种方法叫做系统辨识。Astron 称之 为黑箱问题：
2.4.2 建模的步骤
(l) 准备阶段 (2) 系统认识阶段 (3) 系统建模阶段 (4) 模型求解阶段 (5) 模型分析与检验
2.5 关于模型的有效性
2.5.1 模型的可信度
通常可以把模型的可信度水平分为以下三种： 1）在行为水平上的可信度，模型是否能复现真实系统的行 为。 2）在状态结构水平上的可信度，即模型能否与真实系统在 状态上互相对应，通过这样的模型对未来的行为进行有效 的预测。 3）在分解结构水平上的可信度，即模型能否表达真实系统 内部的工作情况。
2.3 系统建模的基本方法概述
2.3 系统建模的基本方法概述
（2）灰色系统理论的主要内容 主要内容包括以灰色代数系统、灰色方程、灰色矩阵
等为基础的理论体系，以序列算子和灰色序列生成为基础 的方法体系，以灰色关联空间和灰色聚类评估为依托的分 析、评价模型体系，以GM（1，1）为核心的预测模型体系， 以多目标加权灰靶决策为标志的决策模型体系，以多方法 融合创新为特色的灰色组合模型体系，以灰色规划、灰色 投入产出、灰色博弈、灰色控制为主体的优化模型体系。
2.3 系统建模的基本方法概述
2.3.4 系统动力学
系统动力学（System Dynamics) 是麻省理工学院 J.W.Forrester教授创立的一门新兴学科。它是一种以反馈 控制理论为基础，以数字计算机仿真技术为手段的研究复 杂系统动态行为的定量方法。系统动力学建模的主要环节 有：确定流位变量与速率；确定系统构造；建立方程式。 建模的具体步骤如下： l) 确定系统目标 2) 分析系统中的因果关系 3) 建立系统动力学模型 4) 计算机模拟 5) 分析结果
2.3 系统建模的基本方法概述
2.3.3 灰色系统理论
(1)灰色系统的基本概念 可以把系统信息不完全的情况分为以下四种：元素（参
数）信息不完全；结构信息不完全；边界信息不完全；运 行行为信息不完全。
“信息不完全”是“灰”的基本含义。从不同场合、不同 角度看，还可以将“灰”的含义加以引申(表2-2)。
图2.0.2源自文库箱问题
2.4 系统建模的途径与步骤
(3) 综合法 将两种方法结合起来，即运用分析法列出系统的理论
数学模型，运用系统辨识法来确定模型中的参数。两种方 法结合起来往往可以得到较好的效果，而且所求得的数学 模型的物理意义比较明确。Astron 称之为灰箱问题：
图2.3灰箱问题
2.4 系统建模的途径与步骤
2.1 系统模型及其分类
(6)连续与离散模型
当系统的状态变化主要表现为连续平滑的运动时，称 该系统为连续系统，当系统的状态变化主要表现为不 连续（离散）的运动时，则称该系统为离散系统，一 个真实系统很少表现为完全连续的或完全离散的，而 是考虑哪一种形式的变化占优势，即以主要特征为依 据来划分系统模型的类型。
2.5 关于模型的有效性
不论在是哪一种可信性水平上，都应当充分考虑在整 个建模过程中及以后各阶段的可信性。
l) 在演绎中的可信性 2) 在归纳中的可信性 3) 在目的方面的可信性
2.5 关于模型的有效性
2.5.2 模型的验证
（1）模型验证过程中应注意的问题 ①模型验证是一个重要环节。 ②模型验证过程具有不确定性。 ③对模型进行全面验证往往是不可能的。 （2）模型验证的基本方法 ①基于机理建模的必要条件法 ②基于实验建模的数理统计法 ③实物模型验证法
层次分析法的排序问题是指一组元素两两比较、计算元 素相对重要性的测度问题。
2.3 系统建模的基本方法概述
2.3.2 图解建模法
（1）图的概念
如果V是一个非空的有限集合，而E是V中元素的无序对组成的 有限集合，则称G=(V,E)是一个图，并把V的元素叫做图的顶 点，E的元素叫做图的边。
（2）有向图的概念
2.1 系统模型及其分类
(7)确定性与随机性模型
当一个系统的输出（状态和活动）完全可以用它的输 入（外作用或干扰）来描述，则这种系统称为确定性 系统；若一个系统的输出（状态和活动）是随机的， 即对于给定的输入（外作用或干扰）在多种可能的输 出，则该系统是随机系统。
(8)参数模型与非参数模型
参数模型即用属性表达式描述的模型。例如各种方程， 而非参数模型则不是用属性表达式而是用图表示的， 例如阶跃响应曲线、频率特性。
PV=RT
式中：R为气体通用常数。
2.1 系统模型及其分类
(2)微观与宏观模型
微观与宏观模型的差别在于，前者是研究事物内部微 小单元的运动规律，一般用微分方程或差分方程表示 （如流体微元的运动分析）；后者是研究事物的宏观 现象的，一般用联立方程或积分方程模型，如研究流 体作用在物体上的力。
2.1 系统模型及其分类
2.4 系统建模的途径与步骤
2.4.1 建模的途径
一般说来，建立数学模型的方法有三类：分析法、测 试法和综合法。 (l) 分析法/演绎法/理论建模/机理建模
分析法是根据系统的工作原理，运用一些已知的定理、 定律和原理（例如能量守恒定理、动量守恒定理、热力学 原理、牛顿定理、各种电路定理等）推导出描述系统的数 学模型。Astron 称之为白箱问题：
2.2 系统建模的一般原则
(1)简单性 (2)清晰性 (3)相关性 (4)准确性 (5)可辨识性 (6)集合性
2.3 系统建模的基本方法概述
2.3.1 层次分析法
层次分析法（analytic hierarchy process, AHP）是美 国著名运筹学家、匹兹堡大学教授 T.L.Saaty于20世纪70年 代提出的一种系统分析方法，是一种实用的多准则决策方法。 （1）层次分析法的测度原理
如果V是一个非空的有限集合，而E是V中元素的有序对组成的
有限集合，则称G=(V,E)是一个有向图，并把V的元素叫做图
的顶点，E的元素叫做图的有向边或边。在有向图若
，
则称u为e的起点或尾，e为u的出边；称v为 e 的终点或头，e
为v 的入边；称u为v的前趋，v为u的后继。若两条或两条以
上的边有相同的头和尾，则这些边称为平行边。
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理想方案一般是在一定准则下通过使效用函数极大化而 产生的。对于复杂系统决策模型而言，常常采用相对标度进 行比较，统一对有形与无形的、可定量与不可定量的因素进 行测度。
2.3 系统建模的基本方法概述
（2）层次分析法的递阶层次结构原理 按照属性的不同把元素分组形成互不相交的层次，上一
层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用， 形成按层次自上而下的逐层支配关系。具有这种性质的层次 称为递阶层次。 （3）层次分析法的排序原理
2.1 系统模型及其分类
(9)时域与频域模型
在时间域和频率域内表示的数学模型分别称为时域模型和 频域模型，例如系统的过渡过程曲线和频率响应曲线。
(10)输入输出模型与状态空间模型
只刻画系统外部特性的数学模型为输入输出模型，如微分 方程、传递函数；而不仅能完全表达显然性能，而且还能 描述系统内部状态的数学模型称作状态模型，如状态空间 模型。
(3)集中参数与分布参数模型
集中参数模型所描述的系统动态过程可用常微分方程 来描述，典型的如一个集中质量挂在二根质量可以忽 略的弹簧上的系统，在低频下工作的由导线组成的电 阻、电容和电感电路等。 分布参数系统要用偏微分方程来描述，如一个管路中 流体的流动，若各点的速度相同，则此时流体的运动 规律可作为集中参数系统来处理，否则，应作为分布 参数系统来研究。
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第二章 系统建模理论与方法
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Contents
1
系统模型及其分类
2
系统建模的一般原则
3
系统建模的基本方法概述
4
系统建模的途径与步骤
5
关于模型的有效性
2.1 系统模型及其分类
2.1.1 系统模型概述
系统模型是用来研究系统规律并据以分析其 结构、功能的工具。系统模型实质上是关于行为 数据的一组指令，其表现形式通常为数学公式、 图、表等。
2.1 系统模型及其分类
(4)定常与非定常模型
系统的输出量不随时间变化而变化，即方程中不含时间变量， 该系统的模型为定常（时不变）模型，否则为非定常（时变） 模型。
(5)动态与静态模型
静态数学模型给出系统处于平衡状态下的各属性之间的关系 式，据此便可以求得当任何属性值改变而引起平衡点变化时， 模型内部所有属性随之变化的情形。 动态数学模型允许把系统属性值的变化推导为一个时间的函 数，在进行求解运算时，按照属性模型的复杂程度可分别采 用分析法和数值法。