上海理工大学研究生课程(试题类)试卷 (题库)

33.设 ui (i 1, 2,..., n) 是一组关于 n n 维正定矩阵 A 共轭的向量' (u i ) ' Au i
34.设 ui (i 1, 2,..., n) 是一组沿正定二次函数 f(x)最优下降路径共轭的向量,
k i 1 证明:对于所有的 i , 1 i n ， (u , f ( x )) 0, k 1,..., i
Dn ，计算 Dn 效率。
18.用三点等分区间搜索法求 f ( x) x2 4 x 2 在区间[0,10]上的最小值， 完 成前两次迭代。 19.利用牛顿法计算函数 f ( x) 4 x12 2 x1x2 2 x22 x1 x2 的最小值。 20.对于三点等分区间法，求使最终期间和初始区间之间的比为△L 时的 最小计算次数 N。 21.Fibonacci 要将区间缩小到 104 即 Ln / L 104 ， 函数要迭代计算多少次？ 22.证明：黄金分割法和斐波那契搜索法的渐近收敛率是一致的。 23.对于二次函数 f ( x) xT Qx ，当用最优梯度法求解其最小值时，求每一 步迭代过程中的最优步长 k . 24.运用最优梯度算法，确定步长 k ，使 f ( x) 在 k 次迭代中每次都下降一
2 f ( x ) 0
6. 证明：二次函数 f ( x) aT x xT Ax 严格凸的充要条件是 A 是正定阵。 7. 用凸函数的定义证明：函数 在 x 0 是严格凸函数，在 x 0 是严格凹 函数。 8. 用凸函数的定义证明 x 2 是凸函数。 9. 证明：凸函数的和仍为凸函数。 10.判断下列函数是否为严格凸函数
2 2 (1) f ( x1 , x2 ) 2 x1 2 x2 2 x1x2 x2 1
1 2
1 x
(2) f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 2 x32 2 x1x2 (3) f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 3x32 2x1x3 2x2 x3 11.判断下列矩阵是否为正定矩阵
1 1 A ，起始点为 (10, 5)T 1 2
1 2 1 2
1 2
32.用 Powell 算 法 求 解 f ( x) x12 2 x22 的 最 小 值 ， 其 中 初 始 的 方 向
T d 0 [ 1, 1 ]d 1 ,
[T 1, 1] x0 [20, 20]T ，初始点
12.从每一步迭代计算量和区间缩小程度两个角度对一维线性搜索几种 算法（二分法、二点等分区间法、三点等分区间法、 Fibonacci 搜索 法，黄金分割法）的效率进行比较，并从高到低给出排序。 13.分别用二分法，三点等分区间法，求 f ( x) 8x3 2 x2 7 x 3 在[0,1]中的 最小值，使其区间长度缩小为原来的 25%以内。 14.运用 Fibonacci 搜索法求在区间[0,10]求函数 f ( x) x2 6 x 2 最小值 的过程中，要使最终的区间长度小于起始区间长度的 3%，求需要迭代 的次数 N，并完成前两轮的迭代。 15.利用黄金分割法计算函数 f ( x) e x 5x 在[1,2]的最小值（迭代两轮） 。 16.证明： 黄金分割法每一步迭代后新的区间长度为原区间长度的 0.618. 17.设两分法经过 n 次迭代之后得到的最终期间和初始区间之间的比为
上海理工大学研究生课程试题*
2012 /2013 学 号 学年第 1 学期 姓 名 考试课程
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最优化理论与方法
得 分
1. 什么是最优化?其主要研究问题是什么?主要内容包括哪几部分? 试给 出最优化问题的一般形式,给出最优化寻优的一般步骤。 2. 证明：对于定义在凸集 X 上的一阶可导函数 f(x) ， f(x) 为凸函数的充要 条件是对于任给的 x1 ,x2 X ， f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 )T ( x2 x1 ) 。 （定理 1 证明） 3. 证明：对于定义在非空开凸集 X 上的二阶可导函数 f(x) ， f(x) 为凸函数 的充要条件是 2 f ( x) 为半正定矩阵。 （定理 2 证明） 4. 证明：如果目标函数是凸函数，则局部最小点就是全局最小点。 5. 证明：局部极小点的必要性条件是：一阶导数 f ( x ) 0 ；二阶导数
*
注：考题全部写在框内，不要超出边界。内容一律用黑色墨水书写或计算机打印，以便复印。
1 1 0 4 8 0 (1) A 1 1 0 (2) A 3 2 0 0 0 2 0 0 2
5 2 2 (3) A 2 6 0 2 0 4
1 2
个固定的比例 c， 0 L 1 。 25.设 f ( x) 是二阶可微函数，当用最优梯度法求解时，求 f ( x) 的近似最优 步长 k ，并说明二次函数 f ( x) xT Qx 是其一种特例。 26.证明：最优梯度算法相邻两步的梯度是正交的。 27.运用最优梯度法求解 f ( x) 2 x12 2 x1x2 5x2 2 ，起始点为 (1, 1)T ，迭代两 轮。 28.证明: 二次函数 f ( x) x ' Ax b ' x c 在 x* A1b 处为全局最小点， 其中 A 是正定矩阵。 29.证明： 若一种算法用共轭方向作为搜索方向， 则此方法是二阶收敛的。 30.给出 Fletcher-Reeves 法，Powell 算法的步骤。 31.用 Fletcher-Reeves 共轭方向法求解 f ( x) xT Ax 的最小值，其中