高考数学(理)二轮专题练习【专题3】(3)平面向量(含答案)

第3讲 平面向量

考情解读 1.平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础，高考中常以小题形式进行考查.2.平面向量的线性运算和数量积是高考的热点，有时和三角函数相结合，凸显向量的工具性，考查处理问题的能力．

1．平面向量中的五个基本概念

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为a |a |.

(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)向量的投影：|b |cos 〈a ，b 〉叫做向量b 在向量a 方向上的投影． 2．平面向量的两个重要定理

(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .

(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有

一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 3．平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.

4．平面向量的三个性质

(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →

|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.

(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b

|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22

.

热点一 平面向量的概念及线性运算

例1 (1)(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)

(2)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外

的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →

，则m ＋n 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,0)

思维启迪 (1)根据平面向量基本定理解题．(2)构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与OC →＝mOA →＋nOB →

对应． 答案 (1)B (2)D

解析 (1)由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2)．

(2)依题意，由点D 是圆O 外一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →

. 又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →

(μ>1)， 则OC →

＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)，

所以m ＝－λ

μ，n ＝－1－λμ

.

故m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1

μ

∈(－1,0)．故选D.

思维升华 对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆．如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．

(1)(2014·陕西)设0<θ<π

2

，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，

则tan θ＝________.

(2)如图，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB →＝a ，AC →

＝b ，且

CE →

＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝________.

答案 (1)12 (2)－1

2

解析 (1)因为a ∥b ，

所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0<θ<π

2，所以cos θ>0，

得2sin θ＝cos θ，tan θ＝1

2

.

(2)如图，设FB 的中点为M ，连接MD .

因为D 为BC 的中点，M 为FB 的中点，所以MD ∥CF . 因为AF ＝1

3AB ，所以F 为AM 的中点，E 为AD 的中点．

方法一 因为AB →＝a ，AC →

＝b ，D 为BC 的中点， 所以AD →＝1

2(a ＋b )．

所以AE →＝12AD →＝1

4

(a ＋b )．

所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE →

＝－b ＋14(a ＋b )

＝14a －34

b . 所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－1

2.

方法二 易得EF ＝12MD ，MD ＝1

2

CF ，

所以EF ＝14CF ，所以CE ＝3

4

CF .

因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF →

＝－b ＋13a ，

所以CE →＝3

4(－b ＋13a )＝14a －34b .

所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－1

2.

热点二 平面向量的数量积

例2 (1)如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →

等于( )

A ．－34

B ．－89

C ．－14

D ．－49

(2)(2013·重庆)在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →

|的取值

范围是( ) A.⎝

⎛⎦

⎤0，

52 B.⎝⎛

⎦⎤

52，72 C.⎝⎛

⎦

⎤52，2

D.⎝⎛

⎦

⎤72，2 思维启迪 (1)图O 的半径为1，可对题中向量进行转化FD →＝FO →＋OD →，FE →＝FO →＋OE →； (2)利用|OP →|<12，寻找OP →，OA →

的关系．

答案 (1)B (2)D

解析 (1)∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝1

3

，

∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝(13)2

＋0－1＝－89.

(2)∵AB 1→⊥AB 2→

，

∴AB 1→·AB 2→＝(OB 1→－OA →)·(OB 2→－OA →) ＝OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＋OA →2＝0， ∴OB 1→·OB 2→－OB 1→·OA →－OA →·OB 2→＝－OA →2.