华科固体物理习题解答

2 h32 a h12 h2 kx [ 2 2 2] h1 a b c
2 h32 a h12 h2 kx [ 2 2 2] h1 a b c
2 h2 ky b
2 h3 kz c
所以衍射极大出现在方向
2 h32 2 h3 2 h2 a h12 h2 k (k x , k y , k z ) [ 2 2 2 ]x y z h1 a b c b c
a1 a2 a3 、 、 h1 h2 h3
a1 cos h 1 d a2 cos h2 d a3 cos h 3 d
晶面指数为
a1 cos a2 cos a3 cos (s1 cos , s2 cos , s3 cos ) d d d
第一章 习题 1.1 何谓布喇菲格子？试画出NaCl晶体的结点所构成的布喇 菲格子。 答：所谓布喇菲格子是指晶体由完全相同的原子组成， 原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都 一样。（Bravais格子） 氯化钠结构：面心立方Na+布氏格子和面心立方Cl-的 布氏格子套构而成的复式格子。
1.2 为何金刚石结构是复式格子？ 答：金刚石晶胞 位于立方体体内原子和立方体角或面心 原子价键的取向各不相同，所以是复式 格子
设n为一个晶胞中的刚性原子球数，r表示刚性原子球半径， V表示晶胞体积，则致密度为
4 3 n r x 3 V
(1) 简单立方 任意一个原子球有6个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则有 a 2r,V a3 晶胞内包含一个原子，所以有： (2) 体心立方 a
4 a 3 ( ) x 3 32 a 6
h3 h1 h2 k k0 Gh k0 x 2 ( x y z ) a b c 2 h3 2 h1 2 h2 ( k0 )x y z a b c 2 h3 2 h1 2 h2 k x k0 ky kz a b c
2 2 2 h 2 h1 h h 2 3 k x 2 2 12 2 2 2 2 a a b2 c2
2 h3 2 h1 2 h2 k Gh kx ky kz a b c
2 2 2 h h 1 2 2 h 3 Gh 2 ( 12 2 ) 2 2 2 a b c
1 2 k Gh Gh 2
2 2 2 2 h3 h 2 h1 2 h2 h h 3 kx ky k z 2 2 ( 12 2 ) 2 2 a b c a b c
任意一个原子球有8个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则体心原子与处在8个 顶角位置处的原子球相切，因此，对 角线长度为 3a 4r r 3 a 4 3 晶胞体积为 V a 4 3a 3 2 ( ) 3 3 4 晶胞内包含2个原子，所以有： x a3 8
a
(3) 面心立方 任意一个原子球有12个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则面心原子与面角处4 个原子球相切，因此，面对角线长度为
任意倒格矢
h h h ˆ 2 y ˆ 3 Gh h1b1 h2b2 h3b3 2 1 x b c a ˆ z
因入射X射线方向沿[100]方向故有 晶体衍射的布里渊表述
1 2 k Gh Gh 2
ˆ k0 k0 x
假定衍射极大出现在 k (k x , k y , k z ) 方向
倒格子基矢
2 b1 ( i j k ) a 2 b3 (i j k ) a
2 同理 b2 (i j k ) a
—— 可见由
为基矢构成的格子为体心立方格子
2.4 证明倒格子原胞体积
倒格子基矢
倒格子体积
3 (2 )
其中 s1 , s2 , s3 是保证 h1 , h2 , h3 为互质数的因子,称为互质因 子
1.14 如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上的两面心，求： （1）ABC面的密勒指数；
C
（2）AC晶列的指数。
（1） 矢量 BA 与矢量 BC 的叉乘即是 ABC面的法线矢量
c
B
b
a
A
1 1 BA OA OB (a b ) (b c ) (2a b c ) 2 12 a(2i j k ) 1 1 2 1 BC OC OB [c (a b )] (b c ) a(i k ) 2 2 2 1 1 a2 BA BC (2a b c ) (a c ) (i 3 j k ) 2 2 4 ABC面的密勒指数为 (131)
4 a 3 6 ( ) 2 3 2 x 6 3 3 2 ca 2
(5) 金刚石结构 任意一个原子球有4个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则空间对角线四分之一 处的原子与三个面上的面心原子球及顶 角处原子球相切，因此有
3a 8r
晶胞体积为 V a3
晶胞内包含8个原子，所以有：
4 3a 3 8 ( ) 3 3 8 x a3 16
（2）AC晶列的指数
c
C
B
Leabharlann Baidu
AC OC OA
b
a
A
1 1 [c (a b )] (a b ) a(i j 2k ) 2 2
所以AC晶列的晶列指数为
[112]
第二章 习题 2.1 证明简单六角布喇菲格子的倒格子仍为简单六角布喇菲 格子，并给出其倒格子的晶格常数。 解：在直角坐标系中，简单 六角布喇菲格子的基矢为： 相应的倒格子基矢为：
2
2
a
c/2 a
c 8 a 3
c 1.633 a
1/ 2
1.633
如果 ，则可认为是由原子密排面所组成，但这些平面 之间是疏松堆积的。
1.4 金属Na在273K因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆 积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶 格常数ac =0.423nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值， 试求其晶格常数。 解：体心立方每个晶胞包含2个原子，一个原子所占的体积为
ˆ a1 ax 3a a ˆ ˆ y a2 x 2 2 ˆ a3 cz
容易看出此倒格子为 简单六角布喇菲格子
3 1 ˆ acy ˆ acx 2 2 3 3 1 2 2 ˆ y ˆ x a 3 2 2 3 2 ac 2 2 2 3 ˆ acy ˆ a 3 y 3 2 ac 2 3 2 ˆ a z 2 2 ˆ z c 3 2 ac 2
这种复式格子实际上是两个面心立 方格子套构而成的。
1.3
c 8 1/2 ( 对于六角密堆积结构，试证明： a 3 ) 1.633
。
底面原子及与体心原子之间均紧密接触
则红线的长度为
y
3 a 3
c 3 2 a a 2 3
2 2
c y a2 2
2.5正格子中晶面指数为 （h1h2h3） 的晶面和倒格矢 K h 正交
其中Kh h1b1 h2b2 h3b3
意味着 倒格矢 K h是晶面指数为 （h1h2h3）所对应的晶面族的法线 证明
CA a1 a3 h1 h3
1 1 Vc Vs
即：
3 ac /2
2 3 a 2
a ac / 2
1
6
0.377nm
c 1.633as 0.615nm
1.5 如将等体积的刚球分别排成简立方、体心立方、面心立 方、六角密积以及金刚石结构，设x表示刚球体积与总体积 之比，试针对不同的结构求x 。 解：理想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原 子球占据的体积与晶胞体积的比值称为晶体的致密度，即题 中的x
a
2a 4r
晶胞体积为 V a3
晶胞内包含4个原子，所以有： 4 2a 3 4 ( ) 2 3 4 x (4) 六角密积 3 a 6 任意一个原子球有12个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则面心原子与面上其它 6个原子球相切，因此有 a 2r 8 2 由第1题知 c a 4 r 3 3 晶胞体积 V c (6 1 a 2 sin 60o ) 3 3 ca 2 2 2 晶胞内包含6个原子，所以有：
2 h1 k x k0 a
2 h32 a h12 h2 2 h1 ( 2 2 2) k0 k x h1 a b c a
为观察到衍射极大要求入射波波长满足
2 k0
2 h1 2 h32 h12 h2 a( 2 2 2 ) a b c
2.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方 面心立方晶格的倒格子是体心立方
a2 a3 b1 2 2 a1 a2 a3 a3 a1 b2 2 2 a1 a2 a3 a1 a2 b 2 3 2 a 1 a2 a3
a2 和 a3 , 现测知 1.11 已知三斜晶系的晶体中，三个基矢为 a1 ， 该晶体的某一晶面法线与基矢的夹角依次为α、β和γ，试求 该晶面的面指数
解： 最靠近原点的晶面在三 个基矢上的截距分别为
d a1 h1 cos d a2 h2 cos d a3 h3 cos
晶格常数为：
b1
4 3 3a
b2
4 3 3a
b3
2 c
2.2 对正交简单晶格，假设沿三个基矢方向的周期分别为a、b 和c的，当入射X射线方向沿[100]方向（其重复周期为a）时， 试确定在哪些方向上会出现衍射极大？什么样的X射线波长 才能观察到极大？
2 ˆ b1 a x 解：a1 ax ˆ 2 ˆ b2 ˆ y a 2 by b a ˆ 3 cz 2 ˆ b3 c z
a Vc c 2
3
单位体积内原子数（即密度）为
1 Vc
六角密堆积每个晶胞包含6个原子，一个原子所占的体积为
3 3 2 3 2 8 2 2 3 c / 6 Vs a a 3 a c a a a 2 4 4 2 3
1
因为密度不变，所以
由倒格子定义 体心立方格 子原胞基矢 倒格子基矢
2 ( j k) a
同理
a 3 a1 2 b2 2 (i k ) a1 a 2 a 3 a
—— 可见由
2 b3 (i j ) a 为基矢构成的格子为面心立方格子
面心立方格 子原胞基矢
简立方、体心立方、面心立方、六角密积以及金刚石结构 的致密度依次为
6
3 8
2 6
2 6
3 16
a 1.6 基矢为 a1 ai a2 aj a3 ( i j k ) 的晶体为何种结构？ 2
方法1：先计算出原胞体积 V a1 (a2 a3 ) a 3 由原胞体积可推断为体心结构 方法2：由已知的三个基矢构造三个新的基矢
1 2
a a a3 a1 ( i j k ) 2 a ' a2 a3 a2 ( i j k ) 2 a ' a3 a1 a2 a3 ( i j k ) 2
' 1
由此可推断为体心结构
1.7、1.8、1.9、1.10、1.12和1.13见课件