网络流问题.

V2 (4,3) Vs
(4,0)
V4 (7,2) (6,0) Vt (9,3) V3 (b)
(1,1)
(4,2)
(8,2) V1 (2,2) (2,2)
运输方案应满足： 1) 实际运输量不能是负的； 2) 每条弧的实际运输量不能大于该弧的容量； 3) 除了起点Vs和终点Vt外，对其它顶点来说，所有流入Vi的弧上 的运输量的和应该等于所有从Vi出发的弧上的运输量的和。
9
2 最大流最小割切定理(2F定理)
Ford, Fulkerson, 1956 (一)割切
容量网络(V,A,C)，S是V的一个子集，满足：起点Vs S， 终点Vt S，令 S V S 。起点在S，终点在 S 的所有弧的 集合，称为割切，用 ( S, S ) 表示。容量用 C(S, S ) 表示。 V2 (4,3) (4,0) V4 (7,2) Vt (9,3) V3
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3 求网络最大流的标号法(2F,1957)
基本概念
设D=(V,A,C)中，有一可行流F={fij}，按每条弧上流量的 多少，可将弧分四种类型： – 饱和弧， 即fij=Cij – 非饱和弧，即fij<Cij
– 零流弧， 即fij=0
– 非零流弧，即fij>0 V2 (4,0) (1,1) (6,0) V4 (7,2) Vt (9,3) V3
7
(二)可行流与最大流
1) 可行流 在容量网络D=(V,A,C)中，满足以下条件的网络流F， 称为可行流： （1）弧流量限制条件 （2）平衡条件 流入量 流出量
当i s V ( F ) 0 f f 当i s, t ij ji j j V ( F ) 当i t
V1
V3
可行的运输方案： 1) 2百吨物资沿着有向路径P1(Vs,V2,V1,V4,Vt)运到销售地 2) 2百吨物资沿着有向路径P2(Vs,V1,V3,Vt)运到销售地 3) 1百吨物资沿着有向路径P3(Vs,V2,V3,Vt)运到销售地 (在下图中每条边旁边两个数字如(4,3)分别代表容量和实际流量)
4
V2 (4,3) Vs (4,2) (8,2) V1
(4,0) (1,1)
V4 (7,2) (6,0) Vt
(2,2) (2,2) V3
(9,3)
现在的问题是： 1) 从Vs到Vt的运输量是否可以增多？ 2) 从Vs到Vt的最大运输量是多少？
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1 基本概念
(一)容量网络和网络流
1) 容量网络：D=(V,A,C) 设D是一个简单有向图( D=(V,A) )。在V中指定了一个 顶点，称为源点(记为Vs)和另一个顶点，称为汇点(记为 Vt)，对于每一条弧(Vi,Vj)∈A，对应有一个Cij＞0，称 为弧的容量。通常我们就把这样的D叫做一个容量网络， 记作D＝(V,A,C)。 2) 网络流 – 流量：通过D中弧(Vi,Vj)的物流量fij，称为弧(Vi,Vj)上 的流量。 – 网络流：所有弧上流量的集合f={fij}称为该网络D的 一个网络流。
V2
V3 V5 V6
V4
图论算法理论、 实现及应用
V1 V2 4 Vs 8 V1 4 2 2 V3 1 6 4 V4
V7
V8
V9
V10
第6章 网络流问题
7 Vt 9
信息学院信息技术教研室
王桂平
网络流及其应用
网络最大流 容量有上下界的网络的最大流和最小流 最小费用最大流 容量有上下界的网络的最小费用最大流 图的顶点连通度 图的边连通度
(4,3)
Vs (4,2)
(8,2)
V1
(2,2)
(2,2)
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设P是D中从Vs别Vt的一条链（有向路径），沿此方向， 各弧可分为两类： – 前向弧（与链的方向一致的弧），其集合记为P+ – 后向弧（与链的方向相反的弧），其集合记为P前向弧和后向弧是相对(相对指定的链)的。 V2 (4,3) Vs (4,2) (8,2) V1 (2,2) (4,0) (1,1) (6,0) (9,3) V3 V4
6
V2
(4,0) (1,1)
V4
(4,3)
Vs (4,2) (8,2) V1
(7,wenku.baidu.com)
(6,0) Vt (b) (9,3) V3
(2,2) (2,2)
在图(b)中，弧旁边括号中的两个数字(Cij,fij)，第1个数字 表示弧容量，第二个数字表示通过该弧的流量。弧(Vs,V1)上 的(8,2)，前者是弧容量，表示可通过该弧最大流量的能力 为8，后者是目前通过该弧的实际流量为2。 从图(b)中可见：1)通过每弧的流量均不超过弧容量；2) 源点vs流出的总量为3+2=5，等于流入汇点vt的总量2+3=5； 3)各中间点的流出量等于其流入量。中间点v2的流出量减去 其流入量等于0,即3-(2+1)=0
(1,1) (6,0)
(2,2) V1
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S Vs ,V1 ,V2 ,V3 S V4 , Vt
Vs
(4,2)
(8,2)
(2,2)
C S , S C24 C14 C34 C3t 4 2 6 9 19

(二)最大流量最小割切定理
在一个给定的容量网络上，流的最大值等于割切容量的 最小值。
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一、网络最大流问题
例子：运输方案的设计： 图(a)是连接产品产地Vs和销售地Vt的交通网，每一条 弧(Vi,Vj)代表从Vi到Vj的运输线，产品经这条弧由Vi输送到 Vj，弧旁的数字表示这条运输线的最大通过能力(以后简称 容量)。产品经过交通网从Vs输送到Vt。现在要求制定一个 运输方案，使Vs运到Vt的产品数量最多。 V2 4 Vs 8 4 2 1 6 9 2 (a)3 4 V4 7 Vt
0fijcij
(vi,vj)A
式中V(F)为该可行流的流量，即源点的净输出量，或汇 点的净输入量。 对于网络的流，可行流总是在存在的。如F={0}。
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2) 最大流 在容量网络D=(V,A,C)中，满足以下条件的最大容量的 可行流，称为最大流：
(vi , v j ) A 0 f ij cij is V ( F ) f 0 f i s, t ij ji j j V ( F ) i t