拓展题目

拓展题目

例1 如图，过梯形ABCD 的对角线交点M 作底AB 的平行线，交两腰于P 和Q ，你认为MP ＝MQ 吗？

点悟：从位似变换的观点看，我们可以把点D 作为位似中心，将PM 放大为AB ，

然后以C 为位似中心，把AB 缩成MQ ，如果放缩的倍数相同，即

AB MQ AB PM =，这样也就得到PM ＝MQ ．图中包含了三条互相平行的直线AB ，CD 和PQ ，为构成位似形创造了条件．实际上，梯形的四个顶点和对角线的交点都可以作为位似中心．

解：因为PQ ∥DC ∥AB ，

从而△DPM ∽△DAB ，得DB DM AB PM =．

同样，由△CMQ ∽△CAB ，得CA CM AB MQ =．

由△MCD ∽△MAB ，得AM CM BM DM =．AM CM CM DM BM DM +=+，即AC CM BD DM =，

所以AB MQ AB PM =，所以PM ＝MQ ．

例2 已知：如图，直线l 和l 外且在l 同侧的两个点P ，Q ．

求作：等边三角形ABC ，使BC 在直线l 上，AB ，AC 分别经过点P ，Q ．

点悟：这个作图题不是要求求作的等边三角形的某些元素必须等于某些量，而只要求这个等边三角形必须在指定的位置上．利用位似变换，先在l 上任取两点B '，C '，作等边三角形C B A '''，然后过P 作直线n 平行于B A ''交l 于B 点，过Q 作直线m 平行于C A ''交l 于C 点，交n 于A 点，△ABC 就是所求作的三角形．

例3 已知：如图，△ABC ，求作等边三角形DEF ，使它的三个顶点分别在△ABC 的边上，且EF ∥B C ．

点悟：本题所求作的等边三角形也只是满足位置上的要求，按照位似变换的思想，先设法作一个与所求作的等边三角形相似的等边三角形，且对应边分别平行．由题设EF ∥BC ，所以它的位似三角形有一边应平行于BC ，不妨就用BC 作一条边，在A 点的异侧作等边三角形OBC ，A 点就是位似中心．连接OA 与BC 交于D 点，再过D 点作出等边三角形DEF ．

作法：(1)以BC 为一边，在点A 的异侧作等边三角形OB C ．

(2)连接AO ，交BC 于点D ．

(3)经过D 作DE ∥OB 交AB 于E ，作DF ∥OC 交AC 于点F ．

(4)连接EF ．

△DEF 就是所求作的等边三角形．

例4 如图，求作内接于已知三角形ABC 的矩形DEFG ，使它的边EF 在BC 上，顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，且DE ∶EF ＝1∶2．

点悟：要作出DEFG 的关键是确定它的一个顶点，如果我们选择B 作位似中心，

那就在△ABC 中作出矩形G F E D ''''，使E '，F '在BC 上，D '在AB 上，且21=''''F E E D ．连

接G B ' 并延长交AC 于点G ，就可作出符合条件的矩形DEFG ．

作法：(1)在AB 上靠近B 点取一点D '，经过D '作E D ''⊥BC ，E '是垂足．

(2)在C E '上取E D F E ''=''2．

(3)经过D '作BC 的平行线，经过F '作E D ''的平行线，这两条直线相交于点G '．

(4)连接G B '，并延长G B '交AC 于点G ．

(5)经过G 作GD ∥BC ，交AB 于点D ，作GF ⊥BC 于点F ．

(6)经过D 作DE ∥GF ．

四边形DEFG 是所求作的矩形．