15动力计算B.

计算内力幅值：
应用实例

吸振减震 在主体结构上附加吸振器子系统，用以 减小主结构的振动。吸振器是包括质量系和弹簧系 的小型振动系统，以质量系产生的惯性力作为控制 力，通过弹簧系作用于主结构。常与粘滞阻尼器联 合使用，并以阻尼器命名。 吸振器原理可用两自由度的、底层横梁上受简谐 荷载作用的剪切型框架体系的受迫振动来说明（图 11.2.2）。体系稳态振动响应（振幅）为：
柔度法：
，展开得：
（续）
解得
代回振幅方程得
刚度法:
频率方程： （特征方程） 展开 解得
（续）
对应第一频率 1 ，得第一主振型：
对应 2 ，得第二主振型：
§15.4.3 主振型及主振型正交性
（续）
由功的互等定理
（续）
第一主振型惯性力在第二主振型上所做的虚功为零。
例15-9 求简支梁的自振频率。
动力荷载 (幅值P) （惯性力幅值）
（3）动内力幅值的计算
（动内力幅值） 最大？
§15.5.2 刚度法
运动微分方程组：
设特解： 得振幅方程（非齐次）：
（续）
解答：
例15.14 计算位移、惯性力及弯矩幅值。
已知：
解：
A
A
（续）
计算 D0、D1、D2 , 计算 Y1 、Y2 和I1 、I 2 :
• 偏微分方程解法可用分离变量法。 设 y( x, t ) Y ( x ) T (t ) ，这里Y(x)表示位置曲线形状 T(t)表示位移幅度随时间变化的规律。 t ) • 全解为各特解的线性组合，y( x, t ) a Y ( x ) sin( 待定常数 an 和 n 应由初始条件确定。
§15.5 简谐荷载下两自由度体系受迫振动
§15.5.1 柔度法
（1）振动微分方程的建立
简谐荷载
整理得
（续）
（2）动位移的解答及讨论 平稳阶段的纯强迫振动 设稳态受迫振动部分位移的解答 为
荷载幅度产生的静位移
（续）
（续）
Y1 1P , Y2 2 P ; D0 0; Y1 0, Y2 0; ; Y1或Y2 ;
惯性力
（续）
可用位移法求 刚度系数 两个自由度体 系微分方程组
如下：
运动微分方程组的解
假设两个质点为简谐振动：
特点： 1）在振动过程中，两质点同频同相。 2）两质点位移数值随时间变化，比值不变。 主振型或振型：结构位移形 状保持不变的振动形式称之。 振幅方程：
§15.4.2 频率方程和自振频率

质点2比较（多自由度体系没有统一的动力系数）
2 2
y 0.0224 0.009115 2.4576, M 0.2185 0.0625 3.496
§15.8 无限自由度体系的自由振动
• 按无限自由度体系进行分析，可了解近似算法的 应用范围和精确程度。 • 无限自由度体系运动方程是偏微分方程：

（续）
(k 2 2 m2 ) P k2 P Y1 ; Y2 D0 D0
(11.2.2)
m2 k2 m1 k1
2 D0 (k1 k 2 2 m1 )(k 2 2 m2 ) k 2
刚度法： k11 k1 k 2 ,Байду номын сангаас12 k 2 ,k 21 k 2 ,k 22 k 2
图11.2.2 吸振器原理
（续）

由式（11.2.2）可见，当 k2/m2=θ2时，下层（主结
构）质量m1 的位移为零，则上层（吸振器）质量 m2 的位移幅值为 : Y2=-P/k2 。也就是说，合理设 计（在主结构上安装吸振器，使其频率接近干扰 力频率）可以消除（或减小）主结构m1的振动，
从而保证主结构的安全。
例15.13 质点1、2位移、弯矩的动力系数

质点1比较（同一点的位移和弯矩的动力系数不同）
y1st 1P 3Pl3 Pl3 0.01172 256EI EI
1
Pl3 , Y1 0.0252 EI
y Y1 y1st 0.0252 0.01172 2.150
M 1st 3 Pl 0.1875 Pl , M 1max 0.3530 Pl 16 M1 0.3530 0.1875 1.883
亦即微分方程的全解，其中两对待定常数可由初 始条件确定。
§15.4.4 一般多自由度体系的自由振动
柔度法:
（续）
（续）
（续）
频率方程
刚度法：
小 结
1. 多自由度体系自由振动主要问题是确定 体系的全部 自振频率及其相应的主振型。 2. 多自由度体系自振频率个数与自由度的个数相等。自 振频率可由特征方程求出。 3. 每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自 由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。 4. 多自由度体系的自振频率和主振型是体系本身的固有 性质。自振频率只与体系本身的刚度系数及其质量的 分布情形有关，而与外部荷载无关。
第 15 章
结构动力计算
（B ）
§15.4 两个自由度体系的自由振动
§15.4.1 自由振动微分方程的建立
（1）柔度法 分别写出 各质量在惯 性力作用下 的任一时刻 的位移。
（续）
即
解微分方程组
（续）
（续）
（2）刚度法（建立微分方程）
思路：取质量m1和m2为隔离体，建立动力平衡方程。
恢复力 kij是结构的刚度系数。
( k 11 m 1 2 )Y1 k 12Y2 P k 21Y1 ( k 22 m 2 2 )Y2 0 k k2 P P Y1 0Y2 ,m 2 22 k 12 k2 2 2 选k 2 ,使Y2 满 足 刚 度 ,k 2 满 足 强 度 选m 2 ,使满 足 k2 m2
解：
例15-11 确定主振型，并验证正交性。
解：
第一个主振型是对称的，第二个主振型是反对称的
故两个主振型正交。
例15.10
两层刚架，其横梁为无限刚性。试求刚架水平振 动时的自振频率和主振型。
（续）
（续）
频率方程
（续）
§15.4.3 自由振动方程的一般解
两个自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件 是：初始位移和初始速度应当与此主振型相对应。 在一般情形下，两个自由度体系的自由振动可看作 是两种频率及其主振型的组合振动，即