水力学第三章 流体运动学
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第三章 流体运动学
在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方 法，根据运动要素的特性对流动进行分类。
本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流 动的动力学因素。
连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个 具体约束，也在本章的讨论范围之中。
第三章 流体运动学
§3—1 描述流动的方法 §3—2 有关流场的几个基本概念
•
流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间
域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：
a =a( x,y,z,t )
p =p( x,y,z,t )
拉格朗日法
跟踪
着眼于流体质点，跟踪 质点描述其运动历程
欧拉法
布哨
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显 • 如 • 如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显 含时间 tt，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。
• 拉格朗日法是质点系
法，它定义流体质点的
位移矢量为：
(( a,, b, c)) 是拉格朗日变数，即 t=t00 时刻质点的空间位置，用
来对连续介质中无穷多个质点 来对连续介质中无穷多个质点 进行编号，作为质点标签。 进行编号，作为质点标签。
易知 体在运动过程中其它运动要 •• 流流体在运动过程中其它运动要 素和物理量的时间历程也可用拉 素和物理量的时间历程也可用拉 格朗日法描述，如速度、密度 格朗日法描述，如速度、密度 等：
u =u(a,b,c,t )
=(a,b, c,t)
三. 欧拉法
•
欧拉法是流场法，
它定义流体质点的速 度矢量场为： u =u(
((x,y,,zz ) ) 是空间点（场 点）。流速 u 是在 tt 时 刻占据(x ,,y , ,)( zz) 的那个流
x, y, z, t )
体质点的速度矢量。 体质点的速度矢量。
u
t
(u )u
举例
A A’
B
B’
uAdt
uBdt
算子
全质 导点 数导 数
d dt
=
t
+
(u )
位变导数 迁移导数 对流导数
时变导数 当地导数 局部导数
例如
d +(u ) = t dt d = +u x +u y +u z t x y z dt
• 若流场是用欧拉
法描述的，流体质 点加速度的求法必 须特别注意。
u =u( x, y, z, t )
x
y
z
的问题。
u u d x udy udz d u a= = + + + t xdt y dt zdt dt u u u u = =( +u )u +u x +u y +u z t x y z t
r (a , b, c, t ) d r ( a, b, c, t ) u ( a, b, c, t ) = = t dt
u(a, b, c, t ) 2 r( a , b , c, t ) d u(a, b, c, t ) a (a , b , c , t ) = = = t t2 dt
不可压
d =0 dt
=const
是其特例
§3—2 有关流场的几个基本概念
一. 恒定流、非恒定流
• 若流场中各空间点上的
任何运动要素均不随时间 变化，称流动为恒定流。 否则，为非恒定流。 例如，恒定流的
•
恒定流中，所有物 理量的欧拉表达式中 将不显含时间，它们 只是空间位置坐标的 函数，时变导数为 零。 定流的时变加速 ••恒恒 定流的时变加速 度为零，但位变加速 度为零，但位变加速 度可以不为零。 度可以不为零。
§3—3 流体微团运动的分析
§3—4 连续性方程
§3—1 描述流动的方法
一. 描述流体运动的困难
离散 质点系
流体
刚体
质点间 的约束 质点数
无 N个
弱 无穷
强 无穷
离散 质点系
流体
刚体
离散 质点系
流体
刚体
编号，逐点 描述
困难： 无穷多质点 有变形
六个自由
度运动
3N个自由度
不易显示
二. 拉格朗日法
• 速度是同一流体质点的位
移对时间的变化率，加速度 则是同一流体质点的速度对 时间的变化率。
• 通过位移求速度或通过速
度求加速度，必须跟定流体 质点，应该在拉格朗日观点 下进行。
• 若流动是用拉格朗日法描述
的，求速度和加速度只须将位移 矢量直接对时间求一、二阶导数 即可。
• 求导时 a,b,c
作为参数不 变，意即跟定 流体质点。
流速场： u
=u( x, y, z)
du dt
质 点 加 速 度
=
u t
+
(u )u
位变 加速度
由流速不均 匀性引起
时变加速度 由流速 不恒定 性引起
u du a= = +(u )u t dt
分量 形式
ux uxห้องสมุดไป่ตู้ ux ux d u x = ax = +u x +u y +u z t x y z dt uy uy uy uy d u y= ay= +ux +u y +uz t x y z dt uz uz uz uz d u z = az = +u x +u y +u z t x y z dt
拉法把流场的运动要素和物理量都 场 形 表 ， • 欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在 •欧
分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条 分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条 件。 件。
• 欧拉法是描述流体运
动常用的一种方法。
四. 流体质点的加速度、质点导数
间因素与空间因素对加速度贡献的分解
z
M0
t
z y
M0 ’
t+Δt M
y
x
0 0
x
0 0
uM (uM uM ) +(uM uM ) du u M a ==lim =lim 0 t 0 t t d t t
在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方 法，根据运动要素的特性对流动进行分类。
本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流 动的动力学因素。
连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个 具体约束，也在本章的讨论范围之中。
第三章 流体运动学
§3—1 描述流动的方法 §3—2 有关流场的几个基本概念
•
流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间
域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：
a =a( x,y,z,t )
p =p( x,y,z,t )
拉格朗日法
跟踪
着眼于流体质点，跟踪 质点描述其运动历程
欧拉法
布哨
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显 • 如 • 如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显 含时间 tt，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。
• 拉格朗日法是质点系
法，它定义流体质点的
位移矢量为：
(( a,, b, c)) 是拉格朗日变数，即 t=t00 时刻质点的空间位置，用
来对连续介质中无穷多个质点 来对连续介质中无穷多个质点 进行编号，作为质点标签。 进行编号，作为质点标签。
易知 体在运动过程中其它运动要 •• 流流体在运动过程中其它运动要 素和物理量的时间历程也可用拉 素和物理量的时间历程也可用拉 格朗日法描述，如速度、密度 格朗日法描述，如速度、密度 等：
u =u(a,b,c,t )
=(a,b, c,t)
三. 欧拉法
•
欧拉法是流场法，
它定义流体质点的速 度矢量场为： u =u(
((x,y,,zz ) ) 是空间点（场 点）。流速 u 是在 tt 时 刻占据(x ,,y , ,)( zz) 的那个流
x, y, z, t )
体质点的速度矢量。 体质点的速度矢量。
u
t
(u )u
举例
A A’
B
B’
uAdt
uBdt
算子
全质 导点 数导 数
d dt
=
t
+
(u )
位变导数 迁移导数 对流导数
时变导数 当地导数 局部导数
例如
d +(u ) = t dt d = +u x +u y +u z t x y z dt
• 若流场是用欧拉
法描述的，流体质 点加速度的求法必 须特别注意。
u =u( x, y, z, t )
x
y
z
的问题。
u u d x udy udz d u a= = + + + t xdt y dt zdt dt u u u u = =( +u )u +u x +u y +u z t x y z t
r (a , b, c, t ) d r ( a, b, c, t ) u ( a, b, c, t ) = = t dt
u(a, b, c, t ) 2 r( a , b , c, t ) d u(a, b, c, t ) a (a , b , c , t ) = = = t t2 dt
不可压
d =0 dt
=const
是其特例
§3—2 有关流场的几个基本概念
一. 恒定流、非恒定流
• 若流场中各空间点上的
任何运动要素均不随时间 变化，称流动为恒定流。 否则，为非恒定流。 例如，恒定流的
•
恒定流中，所有物 理量的欧拉表达式中 将不显含时间，它们 只是空间位置坐标的 函数，时变导数为 零。 定流的时变加速 ••恒恒 定流的时变加速 度为零，但位变加速 度为零，但位变加速 度可以不为零。 度可以不为零。
§3—3 流体微团运动的分析
§3—4 连续性方程
§3—1 描述流动的方法
一. 描述流体运动的困难
离散 质点系
流体
刚体
质点间 的约束 质点数
无 N个
弱 无穷
强 无穷
离散 质点系
流体
刚体
离散 质点系
流体
刚体
编号，逐点 描述
困难： 无穷多质点 有变形
六个自由
度运动
3N个自由度
不易显示
二. 拉格朗日法
• 速度是同一流体质点的位
移对时间的变化率，加速度 则是同一流体质点的速度对 时间的变化率。
• 通过位移求速度或通过速
度求加速度，必须跟定流体 质点，应该在拉格朗日观点 下进行。
• 若流动是用拉格朗日法描述
的，求速度和加速度只须将位移 矢量直接对时间求一、二阶导数 即可。
• 求导时 a,b,c
作为参数不 变，意即跟定 流体质点。
流速场： u
=u( x, y, z)
du dt
质 点 加 速 度
=
u t
+
(u )u
位变 加速度
由流速不均 匀性引起
时变加速度 由流速 不恒定 性引起
u du a= = +(u )u t dt
分量 形式
ux uxห้องสมุดไป่ตู้ ux ux d u x = ax = +u x +u y +u z t x y z dt uy uy uy uy d u y= ay= +ux +u y +uz t x y z dt uz uz uz uz d u z = az = +u x +u y +u z t x y z dt
拉法把流场的运动要素和物理量都 场 形 表 ， • 欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在 •欧
分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条 分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条 件。 件。
• 欧拉法是描述流体运
动常用的一种方法。
四. 流体质点的加速度、质点导数
间因素与空间因素对加速度贡献的分解
z
M0
t
z y
M0 ’
t+Δt M
y
x
0 0
x
0 0
uM (uM uM ) +(uM uM ) du u M a ==lim =lim 0 t 0 t t d t t