曲线的凹凸性与拐点

y
a<0
o

b 3a
x
二、曲线的拐点及其求法
定义2 连续曲线的凹段与凸段的分界点叫做曲线 的拐点.
注意: 由于拐点是曲线凹凸的分界点, 所以拐点左右两侧
近旁f ( x )必然异号.因此, 曲线拐点( x0 , f ( x0 ))的横坐标x0 , 只可能是使f ( x ) 0的点或f ( x )不存在的点.
当a>0时, y 0 ,抛物线开口向上,曲线是凹的. 当a<0时, y 0 ,抛物线开口向下,曲线是凸的. y
a>0
o x
y o
a<0 x
例2 讨论三次函数 y ax3 bx2 cx d 在定义域内的凹凸性. 解：函数的定义域为 (,)
2
b y 3ax 2bx c y 6ax 2b 6a x 3a b 令 y 0 ，得 x 3a 当a>0时,如下表
一阶和二阶导数 , 若在 (a , b) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在[a , b] 上的图形是凹的 ; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在[a , b] 上的图形是凸的 .
说明：（1）曲线凹凸的判定图形解释
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
（2）为熟练掌握凹凸性的判定，介绍淋雨法则： +
y Βιβλιοθήκη 0, >y 0,
例1 利用二阶导数验证二次函数 y ax bx c
2
曲线的凹凸性. 解：函数的定义域为( ,) ,且 y 2ax b, y 2a,
例3 求曲线 y x 4 4 x 3 1 的凹、凸区间及拐点 解：函数的定义域为 (,)
y 4 x 3 12x 2
y 12 x 2 24 x 12 x x 2
若令 y 0, 得x1 0 x
x2 2 ,列表
y
y
(－∞,0)
0
4 3 y x , x 0时, y不存在. 9
(,0)
5
0
不存在
(0,)
y( x )
y f ( x)
+
－
0
所以, y在区间(－∞,0)是凹的, 在 (0,＋∞)上是凸的, (0,0)是拐点.
说明1:
函数有二阶导数
（x0 , f ( x0 ) ）是拐点. f ( x0 ) 0
x
b b , 3a 3 a
b , 3a
y
y f ( x)
－
0
＋
y
a>0 o x
b b , 内凹的. y在 , 内凸的 , 在 3a 3a

b 3a
当a＜0时,如下表
如f ( x ) x 4 , f (0) 0但（ ， 00 ）不是拐点.
, ）也可能是拐点. 说明2: 若f ( x )在x0处二阶不可导（x0 , f ( x0 )
1 3
如y x , 在x 0处二阶不可导，但它是拐点.
说明3: 拐点横坐标的可疑点 : f ( x ) 0的点x及二阶 不可导点x .
注:求凹凸 区间及拐点的步骤：
(1)求定义域 .
( 2)求y .
( 3)求拐点的可疑点 y 0及y 不存在的点 : .
(4)列表判断 .
小结
曲线的弯曲方向——凹凸性;
凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法
x
b , 3a
b y 6ax 2b 6a x 3a
b 3a
b , 3a
y
y f ( x)
＋
0
－
b b , 内凸的. y在 , 内凹的 , 在 3a 3a
第六节 曲线的凹凸性与拐点
• 内容提要 1.函数的凹凸性及其判别方法; 2.拐点及其求法. • 教学要求 掌握函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法.
一、曲线凹向的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f (x )
y
y f (x )
o
x
o
x
曲线弧位于任一 切线上方
曲线弧位于任一 切线下方
(0，2)
2 0
拐点
(2,＋∞)
+
0
拐点
－
+
所以, y在区间(－∞,0)及(2,＋∞)上是凹的, 在(0,2)上是凸的, 拐点有(0,1)和(2, －15).
例4 讨论曲线 y 3 x 的凹凸性并求其拐点.
函数 y 3 x 的定义域为（ ， ） . 解
1 y x 3 x
2 3,
定义1 设函数f (x)在[a，b]上连续,在 (a, b) 可导，在曲 线上任取一点做切线，曲线弧位于任一切线上方,则称
曲线在[a，b]上是凹的；如果曲线弧位于任一切线下方,
则称曲线在[a，b]上是凸的. 曲线的凹凸,可以用函数的二阶导数的符号来判定. 定理
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续 , 在 (a , b) 内具有
拐点的求法:
(1)先求f ( x ), 找出在(a , b)内使f ( x ) 0的点和f ( x )不存在的点;
( 2)用上述各点按照从小到大依次将(a , b )分成小区间, 再在 每个小区间上考察f ( x )的符号; (3)若f ( x )在某点x i ( i 0,1,2, )两侧近旁异号, 则( x i , f ( x i )) 是曲线y f ( x )的拐点, 否则不是 .