《结构化学》第二章习题

《结构化学》第二章习题

2001 在直角坐标系下， Li 2+ 的Schr ödinger 方程为________________ 。

2002 已知类氢离子 He +

的某一状态波函数为：

()

22-02

302

1

e 222241a r a r a ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π

则此状态的能量为 )(a ， 此状态的角动量的平方值为 )(b ， 此状态角动量在 z 方向的分量为 )(c ， 此状态的 n ， l ， m 值分别为 )(d ， 此状态角度分布的节面数为 )(e 。 2003

已知 Li 2+ 的 1s 波函数为

32

130s

1e

27a r -α⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡π=ψ

(1)计算 1s 电子径向分布函数最大值离核的距离；

(2)计算 1s 电子离核平均距离； (3)计算 1s 电子概率密度最大处离核的距离。 （1

0!d e

+∞

-=⎰n ax

n

a

n x x ）

2004 写出 Be 原子的 Schr ödinger 方程 。

2005 已知类氢离子 He +

的某一状态波函数为

)

22-02

302

1

e 222241a r a r a ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛π

则此状态最大概率密度处的 r 值为 )(a ， 此状态最大概率密度处的径向分布函数值为 )(b ， 此状态径向分布函数最大处的 r 值为 )(c 。

2006 在多电子原子中， 单个电子的动能算符均为2

2

28∇π-

m

h

所以每个

电子的动能都是相等的， 对吗？ ________ 。

2007 原子轨道是指原子中的单电子波函数， 所以一个原子轨道只能容纳一个电子，对

吗？ ______ 。

2008 原子轨道是原子中的单电子波函数， 每个原子轨道只能容纳 ______个电子。 2009 H 原子的()υr,θψ,可以写作()()()υθr R ΦΘ,,三个函数的乘积，这三个函数分别

由量子数 (a) ，(b)， (c) 来规定。

2010 已知 ψ=

Y

R ⨯ =

ΦΘ⨯⨯R ， 其中Y R ,,,ΦΘ皆已归一化， 则下列式

中哪些成立？----------------------------------------------------（ ）

(A)⎰∞

=0

2

1d r ψ (B)⎰

∞=0

2

1d r R

(C)⎰⎰∞

=0π

202

1d d υθY

(D)⎰

=π

2

1d sin θθΘ

2011 对氢原子Φ方程求解， (A) 可得复数解()φΦm A m i exp = (B) 根据归一化条件数解1d ||202

=⎰π

υm Φ，可得 A=(1/2π)1/2

(C) 根据m

Φ

函数的单值性，可确定 │m │= 0，1，2，…，l

(D) 根据复函数解是算符

M

z

ˆ的本征函数得 M z = mh /2π

(E) 由Φ方程复数解线性组合可得实数解

以上叙述何者有错？--------------------------------------------------------------（ ） 2012 求解氢原子的Schr ödinger 方程能自然得到 n ， l ， m ， m s 四个量子数，对吗？ 2013

解H 原子()υΦ方程式时，由于波函数φ

m i e 要满足连续条件，所以只能为整数，对吗？

2014

z y x p 4p 4p 4,,ψψψ是否分别为：410141411,,ψψψ-

2015 2p x ， 2p y ， 2p z 是简并轨道， 它们是否分别可用三个量子数表示： 2p x ： (n =2， l =1， m =+1) 2p y ： (n =2， l =1， m =-1) 2p z ： (n =2， l =1， m =0 )

2016 给出类 H 原子波函数

()

θa r Z a Zr a Z a Zr

cos e 68120

32

02

202

302

1-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛π=

ψ

的量子数 n ，l 和 m 。

2017 已知类氢离子 sp 3杂化轨道的一个波函数为：

x

p

s

3

sp

2

32

1φφψ

+

=

求这个状态的角动量平均值的大小。

2018 已知 H 原子的 ()

θa r a

a r z

c o s e 2410

02130p 2-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛π=

ψ

试回答： (1) 原子轨道能 E 值； (2) 轨道角动量绝对值│M │； (3) 轨道角动量和 z 轴夹角的度数。 2019 已知 H 原子的一波函数为 ()υθa r A υθr a r

2s i n s i n e ,,0

32

0-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=ψ

试求处在此状态下电子的能量E 、角动量 M 及其在z 轴上的分量M z 。

2020 氢原子基态波函数为0

e

12

130a r a -⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛π， 求氢原子基态时的平均势能。

2021 回答有关 Li 2+ 的下列问题：

(1)写出 Li 2+

的薛定谔方程；

(2)比较 Li 2+ 的 2s 和 2p 态能量的高低。 2022 证明氢原子的Φ方程的复函数解()φ

Φm i 2

1e

π21

±=

是算符υ

h M

∂∂π=2ˆ的本征函数。而实函数m υm υsin 1cos 12

122

11π

=

π

=

φφ，不是M

ˆ的本征函数。 2023 计算H 原子1s 电子的1/r 的平均值， 并以此1s 电子为例， 验证平均动能在数值

上等于总能量，但符号相反 (即维里定理)。

（积分公式0!d e

1

0>=+∞

-⎰a a

n x x n ax

n

，)

2024 对于氢原子或类氢离子 1s 态， 验证关系式 = 2

1-

( 已知： Zr

Z -⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛π=e

2

13s

1ψ，积分公式

0!d e

1

>=+∞

-⎰

a a

n x x n ax

n ，)

2025 H 原子中的归一化波函数1

213320

2311

1-++=ψ

ψ

ψ

ψc c c 所描述的状态的能量、

角动量和角动量的 z 轴分量的平均值各为多少？1

21320

311

-ψ

ψψ和，是H 原子

的归一化波函数。

2026 氢原子中处于 z

p 2ψ

状态的电子，其角动量在x 轴和y 轴上的投影是否具有确定