dd狭长矩形截面杆自由扭转的材料力学解法

狭长矩形截面杆自由扭转的材料力学解法

孟宪红 白昭宇

(北京航空航天大学飞机设计与应用力学系固体所，北京100083)

摘要 以往矩形截面杆自由扭转问题的解仅在弹性力学中查到，本文从材料力学的教学法和便于应用的观点重新分析了该问题，得到了其材料力学的解，当6/≥b h 时，可以满足工程应用的精度要求。

关键词 狭长矩形截面杆，自由扭转，材料力学

众所周知矩形截面杆自由扭转问题的解可在弹性力学中查到。为便于过程应用，

将其写成如下形式

2

max hb T ατ=∗，3hb

Tl βϕ=∗

(1) 其中，α，β与b h /=ϕ有关，并以表格形式给出。

若从材料力学的教学法和便于应用的观点考虑，用材料力学的方法来研究该问题仍有一定的价值。为此，用材料力学的解法介绍如下。 1 应力分布

首先，我们将图示长为h ，宽为b 的狭长矩形截面杆的截面用一矩形ABCD 和两个半圆截面代替。矩形ABCD 的长=12h

b h −，两半圆的半径2/b R =。参考坐标

系如图

1所示。

图 1

根据余能概念我们设剪应力分布如下，在矩形部分截面内

)0(max

1R Y R

Y x ≤≤==τττ (2)

在半圆截面内

)0(max

2R r R

r

≤≤=ττ (3)

即剪应力在各部分均为线性分布， ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫

=−=θττθττcos sin max 2max 2R

r R

r y x (4)

在半圆内点的坐标均为

θθ

cos sin 1r h x r y +== (5)

2 确定max τ

由平衡条件，我们有

2

max 2

122max 12

max 2

2211161131)cos (cos sin )(12

2

1

hb dA r h R r R

r dA R y dA x y ydA T A A A y x A ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧+⎟

⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎥⎦⎤

++⎢⎣⎡+=+−+=∫∫∫∫ςπςτθθθ

τττττ(6) 其中

b

h

=

ς (7) k

W T

hb T

=

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎟

⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=

2

max 113116ςςπτ (8) 2

113116hb W k ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=ςςπ (9) 3 求扭转角ϕ

杆件的余能

hb W T G l b b b h W T G l rdrd R r dydx R

y G l dV dV G dV G U k

k R R h V V V c ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜

⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=

⎭⎬⎫

+⎩⎨⎧=⎪⎭

⎪⎬

⎫⎪⎩⎪⎨⎧+==∫∫∫∫∫∫∫ςςππθττττπ11318232)(12124242122

22

02/022

0022

2max 22

21212

121(10)

⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬⎫

⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟

⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+==∂∂=

ςςπςςπϕ1131811311632

hb J GJ Tl T U k k

c (11) 4 精度分析

将式(8)、式(11)之结果与精确解式(1)两式对比可得其精度，max τ和ϕ的相对误差分别以r δ及ϕδ表示，则有

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−+−=−=∗

∗

ςςπ

α

τττδ1131161max max max r 2

113116113181⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=−=∗∗

ςςπςςπ

βϕϕϕδϕ 其结果列于表1中。

表1

ς α

r δ β

ϕδ

1.0 0.208-5.93% 0.141 -43.6%

1.2 0.2190.08%0.166 -3

2.3%1.5 0.231 4.55%0.196 -24.8%1.75 0.239 6.30%0.214 -20.8%2.0 0.2467.11%0.229 -18.5%2.5 0.2587.37%0.249 -14.6%

3.0 0.2677.19%0.263 -12.2%

4.0 0.282

5.71%0.281 -9.37%

6.0 0.299 3.70%0.299 -6.44%8.0 0.307 2.91%0.307 -4.62%10.0 0.313 2.08%0.313 -3.94%∞ 0.333

0 0.333 0

由表1可知：当6/≥b h 时，用上述材料力学方法求得的max τ与ϕ可以满足工程应用的精度要求。max τ稍小于∗

max τ，ϕ稍低于∗

ϕ。

参考文献

1 单辉祖主编．材料力学．北京：国防工业出版社，1995

2 徐芝纶．弹性力学．北京：高等教育出版社，1990