dd狭长矩形截面杆自由扭转的材料力学解法
材料力学 第五章扭转变形.强度、刚度条件(6,7,8)汇总
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
材料力学4.
'dxdz dy dydzdx 0
得： '
图4-1
2. 剪切虎克定律 在弹性范围内应有：
G G ——剪切弹性模量
图4-2
3.E、G、μ μ μ 的关系
G
E
21
低碳钢：
E 2 105 MPa
Mnmax 4.5KN m
max
M nmax Wn
Wn
D3
16
M nmax
解得： D 66mm
（三）由刚度条件设计 D 。
max
M nmax GI p
180
D4
32
Ip
M nmax
G
180
解得： D 102mm
从以上计算可知，该轴直径应由刚度条件确定，选用 D=102mm 。
六、矩形截面杆的自由扭转
1. 矩形截面杆的剪应力及扭转角计算
最大剪应力发生在长边中点处：
max
Mn
hb2
4
9
单位长度的扭转角为：
Mn
G hb3
4 10
剪应力分布图 图4-10
材料力学
第四章 扭转
一、扭转时的内力及扭矩图
扭转时横截面上的内力以 Mn 表示，称为扭矩。杆件 上各截面上的扭矩如果以图来表示，该图就是扭矩图。
下面结合实例来加以说明。
例1 传动轴受力如图示，试求各段内力并绘扭矩图。 例1图
钢结构抗扭设计的探讨
钢结构抗扭设计的探讨摘要：本文通过阐述钢梁抗扭设计的材料计算公式,然后通过有限元软件进行计算和对比,并提出钢结构抗扭设计的建议,使得钢结构设计更加经济、安全和合理。
关键词:抗扭截面模量，抗扭刚度，有限元计算Abstract: This article elaborates on the material calculation formula for the torsional design of steel beams, and then uses finite element software to calculate and compare, and proposes suggestionsfor the torsional design of steel structures, making the design ofsteel structures more economical, safe, and reasonable.Keywords: torsional section modulus, torsional stiffness, finite Metacomputing.一、引言在建筑结构设计中，钢结构受力一般只需考虑受弯、受剪和轴力的计算，并且在钢结构设计规范中缺少抗扭计算公式(钢结构设计规范的征求意见稿曾给过)。
但是实际工程中，钢构件承受扭转是比较普遍的现象，而且往往与受弯同时作用。
结构设计师在设计中,有些会忽视抗扭计算，有些只是在构造上做一些处理，这样往往给结构设计带来安全隐患，也比较盲目。
本文从材料力学上介绍钢梁抗扭转的计算公式，并且采用有限元软件进行抗扭计算和对比，并提出钢结构抗扭设计的建议,供结构设计师及有关人员参考。
二、材料力学抗扭计算公式扭转变形是杆件的基本变形之一，它的荷载特征是，杆件受力偶作用，这力偶作用于与轴线垂直的平面内。
力偶矩矢方向可用右手螺旋法则确定。
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学 扭转3
T i L i j = å i (GI P )i
二、刚度条件 对于传动轴，有时即使满足了强度条件，还不一定能保证它 正常工作。例如：机器的传动轴如有过大的扭转角，将会使机器 在运转中产生较大的振动；精密机床上的轴若变形过大，则将影 响机器的加工精度等。因此对传动轴的扭转变形要加以限制。 一般地说：标志杆件扭转变形的物理量有两个： 绝对扭转角 相对扭转角
4
d 2 = 76 mm
5.选同一直径时
d = d . 4 mm 1 = 86
d1
6.将主动轮按装在 两从动轮之间
C
M e 2
(- )
d 2 B
M e 3
A
M e 1
4580 N × m 7640 N × m
d1 C
受力合理
M e 2
A
M e 1
1.5kN∙m
j AC = j AB + j BC = 0. 0239 rad 0318 rad - 0 . 0079 rad = 0.
&
例题2
M 2
图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M1＝9KN∙m，轮2、轮 3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M2＝4KN∙m，M3＝3.5KN∙m，M4＝ 1.5KN∙m。已知空心轴内外径之比d/D＝1/2，试设计此轴的外径D，并 求出全轴两端的相对扭转角φ24。G＝80GPa，［τ］＝60MPa。
t t¢
等直圆杆扭转时的应变能
x
dx
2 2
V e dAdx e = ò v e dV = ò ò v
V l A
1 = tg g 2
Tr = I P
=
材料力学第四章扭转
⊕
○ 1kN.m条件
l1
B l C 2
2kN.m
T 180 ( /m) max GI
⊕
○ 1kN.m
T max180 I d P 32 G
2m
4kN .m
2m
1m
3m
6kN .m
扭矩图
⊕
⊕
_ ○
2kN .m
×
§4–3 薄壁筒扭转
薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 （r0：为平均半径） 10
一、实验： 1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②两端施加一对外力偶 m。
×
2.实验后： ①圆周线不变；
②纵向线变成螺旋线。
3.结果： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变， 只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此 结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面
×
例1 画图示杆的扭矩图 3kN.m 1 5kN.m 2 2kN.m A C 1 3kN.m 2 B 2kN.m T2 扭矩图 3kN.m ⊕ 2kN.m
○ -
解： AC段：
m0 m0
T 3 0 ;T 3 kN . m 1 1
BC段：
T1
T 2 0 ;T 2 kN . m 2 2
1. 横截面变形后仍为平面，满足平面假设； 2. 轴向无伸缩，横截面上没有正应力； 3. 纵向线变形后仍为平行。
×
二、等直圆杆扭转横截面上的切应力
a b
o1
o2
A
B
o1
C’
o2
矩形截面杆的扭转
§9.5 矩形截面杆的扭转学习思路:应力函数的确定是扭转应力解法的关键。
但是矩形横截面柱体的扭转问题不能采用与椭圆形截面柱体相同的方法建立扭转应力函数。
矩形截面柱体分析的第一步是引入特解，将基本方程—泊松方程简化为拉普拉斯方程。
第二步是将应力函数表达为坐标x和y的函数。
并且根据问题性质，简化应力函数，为求解级数形式表达的应力函数作准备。
第三步是根据面力边界条件确定级数形式的应力函数。
最后，根据应力函数求解横截面切应力表达式。
并且分析横截面切应力分布。
学习要点：1. 矩形截面柱体的扭转分析；2. 扭转应力函数；3. 扭转级数解；4. 矩形截面柱体扭转切应力；5. 横截面应力分析设矩形的边长为a和b，如图所示。
矩形截面杆件的扭转问题，不能像椭圆截面杆件扭转问题一样假设扭转应力函数为原因很简单，这个应力函数虽然满足ψc＝0，但是泊松方程却不可能满足。
由于根据边界条件难以直接确定满足基本方程的扭转应力函数，因此首先简化扭转问题的基本方程。
对于扭转问题的应力解法，基本方程为泊松方程。
为了简化分析，需要找到泊松方程的特解，将基本方程转化为拉普拉斯方程。
因为拉普拉斯方程求解相对简单。
因为变形协调方程有一个特解，所以设则变形协调方程转化为对于柱体的侧面面力边界条件，ψc＝0 ，则要求ψ0满足边界条件由于柱体横截面是关于坐标轴x和y对称的，而扭矩T是关于坐标轴反对称的，因此横截面切应力必然是与坐标轴反对称的。
所以，设扭转应力函数ψ 0(x,y)为代入变形协调方程，则将上式改写为，, 其中λ为任意常数。
根据所以根据薄膜比拟，矩形横截面切应力是坐标的奇函数，因此应力函数应该为坐标x和y的偶函数。
所以上式仅是方程的一个特解。
如果将所有特解作线性迭加就是方程的通解，所以 0(x,y)写作根据边界条件的第二式，有由于，所以。
因此，。
回代可得根据边界条件的第一式，有对于上式两边同时乘以，并在（-b，b）区间积分，可得所以，应力函数为根据应力函数表达式，应力分量为上式中的单位长度扭转角ϕ由端面面力边界条件确定，即对于上述级数，其收敛很快，取n=0一项分析，则根据切应力表达式，可以得到矩形横截面的应力分布，如图所示。
材料力学扭转变形
1、扭转变形：（相对扭转角）
d T 扭转变形与内力计算式
dx GI P
d T dx
GI P
T dx
L GI P
扭矩不变的等直轴
Tl
GI p
各段扭矩为不同值的阶梯轴
Tili
扭转角单位：弧度（rad）
d T
dx GI P
d d1 86.4mm
6.将主动轮装在两从 动轮之间
受力合理
d1
B d2
A
C
M e1
M e2
M e3
4580N m
7640N m
d1
A d2
B
C
M e2
M e1
M e3
ห้องสมุดไป่ตู้
3060N m
4580N m
圆轴扭转破坏分析
低碳钢试件：沿横截面断开。
材料抗剪切能力差，构 件沿横截面因切应力而发生 破坏(塑性材料）；
T
故 1 2 0
b
n 0
故 n 0 max
h
1、 横截面上角点处，切应力为零
1
2、 横截面边缘各点处，切应力 // 截面周边
3、 横截面周边长边中点处，切应力最大
矩形截面杆自由扭转时应力计算 （弹性力学解）
长边中点 最大
max
T Wt
T
hb2
1 max
(1)试确定AB 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AB和BC 两段选同一直径，试确定直径d；
(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
d1
B d2
A M e1
材料力学 扭转(2)
1
M d n1 dx 1 GIp
2
M d n2 dx 2 GI p
M n1 d 因 M n1 M n 2 故 max 1 GI p dx max
max
180 N m 180 0.43 ( ) / m [ ] (80109 Pa)(3.0 105 10-12 m 4 ) π
§4-5 扭转扭转时的变形和刚度条件
一、圆轴扭转时的变形计算 1、扭转变形（相对扭转角）
d M n dx GI P Mn d dx GI P d M n dx GI P
扭转变形与内力计算式
Mn Mn
Mn L dx GI P
rad m ——单位长度的扭转角
扭转角单位：弧度（rad） GIP——抗扭刚度。
2.绘扭矩图
7640 N m
3.直径d1的选取 按强度条件
d1
A M e1
( )
M e2
d 2 M e3
C
max
3
16M n 3 d1
3
B
4580 N m
16M n d1 π[ ]
16 7640 π 70 106
82.2 103 m 82.2mm
n
3）等直圆杆受分布扭矩 t 作用，t 的单位为 N m m。
从中取 dx 段，dx 段两相邻截面的扭转角为：
M n x dx AB 截面相对扭转角为： l d l GI p
M n x dx d GI p
4）变截面圆杆，A、B 两端直径 分别为 d1、d2 。
解： 1.外力
P M e1 9549 1 n
《材料力学》第四章 扭转
第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
材料力学课件扭转
而无正应力的状态称为纯
剪切应力状态。
b '
c
§3-4 圆轴扭转时截面上的应力
扭转强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力 一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律 1、实验：
观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
P(kW)的功率相当于每分钟作 功
W = P ×1000×60 (1) kW
外力偶矩
M
所作的功：
e
W = 2nMe
( 2)
(1) = (2) 得
P kW ×1000×60 = 2n M e N.m
Me
9550
P n
P kW n r/min m N m
N Me 7024 n
0 0
t
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布,
D
且方向垂直于其半径方向。
3、切应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
偶作用面垂直于杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
阻抗力偶
Me
主动力偶
mA
me
主要发生扭转变形的杆——轴。
三、两个名词
Me
Me
外扭矩（Me）——使得杆产生扭转变形的外力偶矩
材料力学第三章3
例4-9 设有一弹簧，其工作圈数（即扣除两端与簧座接
触部分的圈数）为10圈，弹簧直径D=50mm，簧丝直 径d=8mm，材料的容许应力[]Pa, G=80GPa， 受拉力P=1000N作用，试校核弹簧强度，并计算弹簧 伸长。
4c–1 0.615 k= —— + ——— =1.24 c 4c–4 8PD 81000005 max=k —— = 1.24 —————— =308MPa 0.0083 d3 未超过容许应力的5%，为工程所允许。 (2) 变形计算 81000005 8PD3n = ———————— =0.03m=30mm = ——— Gd4 801090.084 弹簧伸长30mm。
第三章 扭转
第八节 矩形截面杆在自由扭转时的应力和 变形计算
第九节 密圈螺旋弹簧的计算
1
2
第三章 扭转
1. 1. 2. 1. 一. 基本内容 非圆截面杆扭转。 二. 教学目的 掌握矩形截面杆自由扭转时的应力和变形计算 掌握密圈螺旋弹簧的计算。 三、重点、难点 重点掌握矩形截面杆在自由扭转时的应力和变 形计算。 2. 难点是矩形截面杆在自由扭转时，横截面上的 应力分布规律。 1
8PD max=k —— (b) 3 d 式中k为修正系数，按下式计算 4c–1 0.615 k= —— + ——— c = D/d c 4c–4 c称为弹簧指数。例如当c =D/d=10时， k= 1.15，可 见按(a)式计算的误差为15%。 三、强度条件 max [] 容许应力[]可查阅有关设计手册。
当簧丝直径d远小于弹簧平均直径D时，括 号内第二项d/2D与1相比甚小，可以忽略不计， 例如当D/10时，d/2D 0.05。也就是说忽略 了剪切的影响，只考虑扭转的作用。故有： max
矩形截面杆、薄壁杆的扭转
薄壁杆的扭转
一 开口薄壁杆件的扭转
实际工程上经常遇到开口薄壁杆件，例如角钢、槽钢、工 字钢等，这些薄壁件其横截面大都是由等宽的狭长矩形组 成。无论是直的还是曲的，根据薄膜比拟，只要狭长矩形 具有相同的长度和宽度，则两个扭杆的扭矩及其横截面剪 应力没有多大差别。
1
a1 a1
a1
a1
2
3
a2
a2
1 h2 2 2 h1 h2 11 1 2 3 3 3
1
h1
(2-11)
其中，h1和h2表示薄膜内边 界s1和s2的高度。
图7
求得扭矩
T 2( A 1h 1 A 2 h2 )
也可以表示为
T 2( A111 A2 2 2 )
(1-7)
(1-8)
所以，修正函数F1的边界条件为
a b2 2 F1 ( , y ) y 2 4 b F1 ( x, ) 0 2
(1-9) (1-10)
设
F1 ( x, y) X ( x)Y ( y)
X Y 2 X Y
将(1-10)代入(1-7)中，有 (1-11)
n 0
(1-16)
由边界条件(1-9)的第一式,确定其中的系数An
(2n 1) πa (2n 1) π b2 2 An ch cos yy 2b b 4 n 0
等式两边同时乘以 cos
(2m 1) π ydy，并在区间(-b/2,b/2)积分,得 b
(1) n 1 8b 2 An (2n 1) a 3 3 π (2n 1) ch 2b
R a 2 a 2 2 3 b b ab 2 2 b ( y )dy dx 4 3 2
材料力学课件 第四章扭转
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
昆明理工大学材料力学第八章 杆件的扭转.
（2）计算各段上的扭矩
M2 4.78 1 B M2 B M2
1 1
M3 4.78
2
M1 15.9 A
3
M4 6.37
(kN.m)
C T1
2 3
D
x
M3 2 T2
1
T1 M 2 0 T1 M 2 4.78kN m
x
T2 M2 M3 0
T2 M 2 M 3 9.56kN m
例1. 传动轴如图所示，已知：转速 n = 300r/min；主动 轮功率 P1= 500kW， 从动轮功率分别为P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 求各段的扭矩并画出轴的 扭矩图。
M2 B
M3 C
M1 A
M4
D
解: （1）计算各传动轮所受的外力偶矩
M2 4.78 B M3 4.78 C M1 15.9 A M4 6.37
2 A
基本变形公式
I p dA ——极惯性矩
● 切应力的计算式：
d G dx
d T dx GI P
T IP
T
max
( )
r
T max Tr T T max Ip I p I p Wt r IP —— 扭转截面模量(抗扭矩） Wt
D2 d 2
空心圆截面
I p dA
A
2 2 d
D d
O
D 32
4
d4
D4
32
4
1
4
32 IP D 3 Wt 14 D / 2 16
材料力学_扭转
2
A1 =
πD12
4
= 2122mm 2
因此在承载能力相同的条件下,使用空心轴比较节约材料,比较经济. 因此在承载能力相同的条件下,使用空心轴比较节约材料,比较经济.
3.4 圆轴扭转时的变形 刚度条件
一,扭转变形 圆轴扭转的变形用相对扭转角度量
d T = dx GI p
d =
T dx GI p
Tdx l GI p Tl = GI p
用截面法计算各段轴内的扭矩
T = MB = 1637Nm 1 T2 = MB MC = 3274Nm T3 = MD = 2183Nm
根据扭矩方程画扭矩图 从图上可看出,最大扭矩发生在 段内各截面 从图上可看出,最大扭矩发生在CA段内各截面 扭矩方程
1637
3274 ( Nm )
Tmax = 3274Nm
例: 某传动轴,用45号钢无缝钢管制成,其外径D =66mm,壁厚 t=5 某传动轴, 45号钢无缝钢管制成,其外径 =66 , =5mm,使用时 , 号钢无缝钢管制成 =5 最大扭矩为T =1500N.m,试校核此轴的强度.已知[τ]=60 最大扭矩为 =1500 ,试校核此轴的强度.已知[ ]=60MPa.若此轴改为实心轴, .若此轴改为实心轴, 并要求强度仍与原空心轴相当, 为多少? 并要求强度仍与原空心轴相当,则实心轴的直径 D1为多少? 解:计算传动轴的抗扭截面模量
Ip R
=
πD / 32
4
D/2
=
πD
3
16
空心圆截面: 空心圆截面:
Ip = ∫
D/2
d /2
2πρ 3dρ =
α =d/D πD 4 πd 4 πD 4
32 32 = 32
材料力学03章 扭转
t dA T
A
d T • 积分后得到： dx GI p 其中I p 2 dA是圆截面对其中心的极惯性矩。
A
• GIp 称为圆轴的扭转刚度。
32
4、 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
–将
d T 。 dx GI p
d – 代入 t G G dx
t G
29
3. 静力学方程
d • 将变形协调方程 带入剪切胡克定律 t G dx 得到：
d • G dx 对于确定的横截面是一个不变的量。
d t G G dx
• 上式表明：横截面上各点的剪应力与点到横截面中 心的距离成正比，即剪应力沿横截面的半径呈线性 分布。方向如图所示。
13
315
1 1
315 B
2 2
1116 C
3 3
486 D
图a
A
315
1 1
315 B
图c
A
2 T2 2
T3
3 3
486 D
图d
由平衡方程：∑M=0 得：T2+315+315=0 T2=-630N.m 由平衡方程：∑M=0 得：T3-486=0 T3=486N.m
14
3. 建立T-x坐标系，画出扭矩图，如图e。
第三章
扭 转
1
§3-1、概述
传动轴
一、概 述
2
§3-1、概述
汽车方向盘
3
§3-1、概述
丝锥攻丝
4
§3-1、概述
Me Me
受力特点： 圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线的外力偶作用 变形特点： 1.圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 2.杆表面上的纵向线变成螺旋线。
7-4矩形截面杆的扭转
7-4矩形截面杆的扭转等截面直杆受扭，如果其截面的翘曲不受任何限制，此时各横截面的翘曲变形相同，纵向纤维的长度不变，所以横截面上没有正应力，只有切应力，这种扭转称为自由扭转（free torsion ）。
如果截面的翘曲受到限制，如杆件端面处受到固定面的约束使其不能翘曲，使各个相邻截面的翘曲变形程度不同，从而引起纵向纤维的长度改变。
所以截面上不仅有切应力，还有正应力。
这种情况称为约束扭转（constrained torsion ）。
假设矩形截面杆长l ，截面长边和短边长度分别为 h 和 b ，杆件两端受力偶矩T 作用。
矩形截面长边中点的最大切应力τmax 、短边中点处的切应力τ1、以及两端面相对转角ϕ可以由下面的式子表示Δ max tT W τ= 1max τξτ=⋅tTl GI Δ=ϕ 其中截面系数W t 、I t 由下列公式给出：2t W b α=h h3t I b β=系数α、β 和ξ 随长短边之比h b 而变化，其数值可查表。
系数 α、β 和 ξ 的值h/b 1.0 1.2 1.5 1.75 2.0 2.5 3.0 10.0 ∞ α0.208 0.219 0.2310.2390.2460.2580.2670.313 0.333 β0.141 0.166 0.1960.2140.2290.2490.2630.313 0.333 ξ1.00 0.93 0.86 0.82 0.80 0.77 0.75 0.74 0.74由上表可见，当长短边之比h /b >10时，13αβ≈≈，因此，狭长矩形截面的截面系数为 2t 13W t =h 3t 13I t =h 式中用t 代替b 来表示截面宽度（厚度）。
建筑力学——扭转
g
A D BC
j
建筑力学
由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭 dj T j 转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的 d x GI 相对扭转角j为
p
T j dj dx l 0 GI p
l
当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切 变模量G为常量时有
建筑力学
横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：
a T
b
A
E
O1
T
g
G D G' D' dx dx
O2
dj
g
a O1
GG g ρ tang ρ EG dj dx
b
即
G
D D'
d/2
A
E
O2 dj G'
g
g
dj gρ dx
建筑力学
a T
b
gρ
dj dx
Tl j GI p
建筑力学
例题3-5 图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 N· m，M2 = 955 N· m，M3 = 637 N· m，lAB = 300 mm，lAC =
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狭长矩形截面杆自由扭转的材料力学解法
孟宪红 白昭宇
(北京航空航天大学飞机设计与应用力学系固体所，北京100083)
摘要 以往矩形截面杆自由扭转问题的解仅在弹性力学中查到，本文从材料力学的教学法和便于应用的观点重新分析了该问题，得到了其材料力学的解，当6/≥b h 时，可以满足工程应用的精度要求。
关键词 狭长矩形截面杆，自由扭转，材料力学
众所周知矩形截面杆自由扭转问题的解可在弹性力学中查到。
为便于过程应用，
将其写成如下形式
2
max hb T ατ=∗，3hb
Tl βϕ=∗
(1) 其中，α，β与b h /=ϕ有关，并以表格形式给出。
若从材料力学的教学法和便于应用的观点考虑，用材料力学的方法来研究该问题仍有一定的价值。
为此，用材料力学的解法介绍如下。
1 应力分布
首先，我们将图示长为h ，宽为b 的狭长矩形截面杆的截面用一矩形ABCD 和两个半圆截面代替。
矩形ABCD 的长=12h
b h −，两半圆的半径2/b R =。
参考坐标
系如图
1所示。
图 1
根据余能概念我们设剪应力分布如下，在矩形部分截面内
)0(max
1R Y R
Y x ≤≤==τττ (2)
在半圆截面内
)0(max
2R r R
r
≤≤=ττ (3)
即剪应力在各部分均为线性分布， ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
=−=θττθττcos sin max 2max 2R
r R
r y x (4)
在半圆内点的坐标均为
θθ
cos sin 1r h x r y +== (5)
2 确定max τ
由平衡条件，我们有
2
max 2
122max 12
max 2
2211161131)cos (cos sin )(12
2
1
hb dA r h R r R
r dA R y dA x y ydA T A A A y x A ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+⎟
⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎥⎦⎤
++⎢⎣⎡+=+−+=∫∫∫∫ςπςτθθθ
τττττ(6) 其中
b
h
=
ς (7) k
W T
hb T
=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎟
⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=
2
max 113116ςςπτ (8) 2
113116hb W k ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=ςςπ (9) 3 求扭转角ϕ
杆件的余能
hb W T G l b b b h W T G l rdrd R r dydx R
y G l dV dV G dV G U k
k R R h V V V c ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜
⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=
⎭⎬⎫
+⎩⎨⎧=⎪⎭
⎪⎬
⎫⎪⎩⎪⎨⎧+==∫∫∫∫∫∫∫ςςππθττττπ11318232)(12124242122
22
02/022
0022
2max 22
21212
121(10)
⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟
⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+==∂∂=
ςςπςςπϕ1131811311632
hb J GJ Tl T U k k
c (11) 4 精度分析
将式(8)、式(11)之结果与精确解式(1)两式对比可得其精度，max τ和ϕ的相对误差分别以r δ及ϕδ表示，则有
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−+−=−=∗
∗
ςςπ
α
τττδ1131161max max max r 2
113116113181⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=−=∗∗
ςςπςςπ
βϕϕϕδϕ 其结果列于表1中。
表1
ς α
r δ β
ϕδ
1.0 0.208-5.93% 0.141 -43.6%
1.2 0.2190.08%0.166 -3
2.3%1.5 0.231 4.55%0.196 -24.8%1.75 0.239 6.30%0.214 -20.8%2.0 0.2467.11%0.229 -18.5%2.5 0.2587.37%0.249 -14.6%
3.0 0.2677.19%0.263 -12.2%
4.0 0.282
5.71%0.281 -9.37%
6.0 0.299 3.70%0.299 -6.44%8.0 0.307 2.91%0.307 -4.62%10.0 0.313 2.08%0.313 -3.94%∞ 0.333
0 0.333 0
由表1可知：当6/≥b h 时，用上述材料力学方法求得的max τ与ϕ可以满足工程应用的精度要求。
max τ稍小于∗
max τ，ϕ稍低于∗
ϕ。
参考文献
1 单辉祖主编．材料力学．北京：国防工业出版社，1995
2 徐芝纶．弹性力学．北京：高等教育出版社，1990。