正弦函数、余弦函数的图像(附答案)

正弦函数、余弦函数的图象

[学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．

知识点一 正弦曲线

正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线．

利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示．

②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π

2，…，2π等角的正弦线．

③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合．

⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象．

在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π

2，－1)，

(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图．

思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？

答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下：

只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象．

知识点二 余弦曲线

余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．

根据诱导公式sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)．

要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3

2π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象．

思考 在下面所给的坐标系中如何画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象？

答案

题型一 “五点法”作图的应用

例1 利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解 (1)取值列表：

(2)描点连线，如图所示：

跟踪训练1 作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与函数y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系． 解 按五个关键点列表：

利用正弦函数的性质描点作图：

由图象可以发现，把y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．

题型二 利用正弦、余弦函数图象求定义域 例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．

解 由题意得，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧

sin x >0，16－x 2≥0， 即⎩

⎪⎨⎪⎧

－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．

结合图象可得定义域：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．

跟踪训练2 求函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域．

解 由题意得，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧

cos x >0

25－x 2≥0，

即⎩

⎪⎨⎪

⎧

cos x >0－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示． 结合图象可得定义域：

x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3

2π，5.

题型三 利用正弦、余弦函数图象判断零点个数

例3 在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数．

解 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．

描出点(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．

由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．

跟踪训练3 方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是 ． 答案 2

解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．

数形结合思想在三角函数中的应用

例4 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．

解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩

⎪⎨⎪⎧

3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈π，2π].

图象如图，

若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据图可得k 的取值范围是(1,3)．

1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x

D ．直线x ＝π

2

2．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A ．(π6，12)

B ．(π

2，1)

C ．(π，0)

D ．(2π，0)

3．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－1

2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2

＝ .

4．利用“五点法”画出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0,2π]的简图．

5．已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系．