#第十章_波动方程和薛定谔方程_郑大昉

2. 取
E 10.0eV
则波函数将随 r 的增加而 发散,因此该能级不属定态 玻尔能级.
3. 取
E 3.402072eV (2s态)
则可得其收敛解,因此 该能级即为对应的 n=2 的定态玻尔能级
本章(第10次)作业
用第二种差分格式计算波动方程混合问题:
2 y 2 y 0 x 1, 0 t T 2 2 t x y ( x,0) x(1 x) 0 x 1 y ( x,0) sin x, y (0, t ) y (1, t ) 0 t 0t T
(10-29)
(10-30) (10-31) (10-32)
令: 则:
A rRs
d2A c2 c1 ( E ) A 2 dr r
2m 1 2 其中: c1 2 26.2513(eV nm ) 2 e c2 1.43998(eV nm) 40
显然, 方程 (10-32) 可用龙格-库塔(R-K)方法求解.
同样应留意以上各
i, k 的取值范围.
计算步骤 1. 给定: 2. 计算: 3. 计算:
l M T , N , h v
, v, h, l , T h
xi ih, tk k ,
4. 计算初值(有两种格式供选)和边值. 5. 计算:
(10-28)
事实上, 能量是 n 2 度简并的, 与角动量量子数 l 无关. 故仅就 l 0(s态） 对上述方程做数值解, 同时可确定其玻尔能 级.
其方程进一步简化为: 1 d 2 dRs 2m e2 (r ) 2（E ）Rs 0 2 r dr dr 40 r
2 2 d ( rR ) 2 m e s 整理得: 2 (E )( rRs ) 2 dr 40 r
取: 解:
1,
h 0.2, , 计算 h 0.2,
k 1,2 的值. v 1, l 1,
参数值:
1,
h
l 0.2, N 5, v h
M 2
i 0,1,2,3,4,5 i 0,1,2,3,4,5 k 1,2 初值: k 0 : 2 0.9511 y0, 0 0, y1, 0 sin 0.5878, y2, 0 sin 5 5 y5, 0 0 y3,0 0.9511, y4, 0 0.5878,
yi , k 1
例: 用第一种差分格式计算波动方程混合问题:
2 y 2 y 0 x 1, 0 t 2 2 t x y ( x,0) x(1 x) 0 x 1 y ( x,0) sin x, y (0, t ) y (1, t ) 0 t 0t
k 1
y0,1
k 1: 0, y1,1 0.6198,
y2,1 0.9991, y5,1 0
y3,1 0.9991,
y4,1 0.6198,
边值: 利用:
y0,k y5,k 0,
k 1,2
yi ,k 1 yi 1,k yi 1,k yi ,k 1 i 1,2,3,4 y1, 2 y2,1 y0,1 y1, 0 0.4113
第十章
波动方程
波动方程和薛定谔方程
以一维弦线横振动为例，波动方程为：
2 y 2 y ( x ) 2 T 2 P ( x, t ) t x
其中:
(10-1)
( x)
T
---为弦线的 线质量密度. ---为弦线中的张力.
若考虑均匀弦线，即： ( x) ，则得一维非齐次波动方程：
初值:
按第一种差分格式有: yi ,k 1 yi 1,k yi 1,k yi ,k 1 yi , 0 sin( ih ) yi ,1 sin( ih ) ih (1 ih ) y y 0 1, k 0,k
i 1,2,3,4
R ( r ) ---为径向波函数
Ylm ( , )---为球谐函数
对于束缚态,其能量是量子化的,且仅由径向波函数满足的 径向方程确定,即:
1 d 2 dR 2m e2 2 l (l 1) (r ) 2 [E ]R 0 2 2 r dr dr 40 r 2m r
yi ,k y ( xi , t k )
(10-7)
(10-8)
其二阶中心差分近似为（参看热传导方程做法）：
yi 1, k 2 yi ,k yi 1,k y 2 2 x h yi ,k 1 2 yi ,k yi ,k 1 2 y 2 t 2
2
(10-9)
(10-10)
代入 (10-6) 便得波动方程的差分格式：
yi ,k 1 2(1 2 ) yi ,k 2 ( yi 1,k yi 1,k ) yi ,k 1
其中：
(10-11) (10-12)

v
h
1
上述差分格式的几何意义：
定解条件 a. 初始条件
y ( x,0) ( x) (10-13) 0 xl y ( x,0) ( x) (10-14) t
k 1
可得:
Leabharlann Baidu
y2, 2 y3,1 y1,1 y2,0 0.6678 y3, 2 y4,1 y2,1 y3,0 0.6678 y4, 2 y5,1 y3,1 y4,0 0.4113
以上已全部算出所需要的值.
薛定谔方程与氢原子能级
以氢原子为例,下面讨论定态薛定谔方程的数值解及能级 的确定. 定态薛定谔方程为:
定态解及能级确定思路: 波函数应满足标准条件,即应是单 值、有限且连续的. 例: 选初值: r0 0.01, A0 0.01,
r 0.001,
dA 1 dr 0
(以上初值的确定可参看量子力学书的有关讨论) 1. 取
E 13.60829eV (1s态)
则可得其收敛解,因此 该能级即为对应的 n=1 的玻尔能级
联立(10-18)及(10-19) 解得：
yi ,1 (1 2 ) yi ,0
2
2
( yi 1,0 yi 1,0 ) (ih ) (10-20)
b. 边界条件 y (0, t ) g1 (t ) 0t T y ( N , t ) g 2 (t ) 综合上述定解条件，得以下两种差分格式解： 第一种差分格式： yi , k 1 2(1 2 ) yi , k 2 ( yi 1, k yi 1, k ) yi , k 1 k 1,2,..., M 1 i 1,2,..., N 1 y (ih ) i 0,1,..., N i ,0 i 0,1,..., N yi ,1 (ih ) (ih ) y g (k ) k 1,2,..., M 0,k 1 k 1,2,..., M y N , k g 2 ( k ) 应留意以上各
上式可推广至二维及三维情形，即：
2 v ( 2 ) 2 2 t x y
2 2 2
(10-4)
及：
2 2 2 2 2 v ( 2 ) 2 2 2 t x y z
(10-5)
与热传导方程比较，波动方程中对时间的偏微商是二阶的．
(10-21)
(10-22)
i, k 的取值范围.
第二种差分格式：
yi ,k 1 2(1 2 ) yi ,k 2 ( yi 1,k yi 1,k ) yi ,k 1 k 1,2,..., M 1 i 1,2,..., N 1 y (ih ) i 0,1,..., N i ,0 2 2 y ( 1 ) (ih ) [ ((i 1)h) ((i 1)h)] (ih ) i ,1 2 (10-23) i 0,1,..., N 1 k 1,2,..., M y0,k g1 (k ) y N ,k g 2 (k ) k 1,2,..., M
的数值解. 给定: 试做出
yi , k
随
0.5, h 0.1, T 0.5 i 和 k 变化的三维图形, 并公布图形结果.
2 2 y y 2 v f ( x, t ) 2 2 t x
P( x, t ) ---为外加的强迫力.
(10-2)
其中:
v T / （波速）， f ( x, t ) P( x, t ) /
其相应的齐次方程为：
2 2 y y 2 v 2 t x 2
(10-3)
令： k 0, 则 (10-11) 变为：

yi ,1 yi , 1
(10-17) (10-18)
上述出现虚设的 yi , 1 ，但可联立差分格式(10-11)求出．
yi ,1 2(1 2 ) yi ,0 2 ( yi 1,0 yi 1,0 ) yi , 1 (10-19)
对 (10-14) 一般采用如下两种差分格式： (1) 向前一阶差商
yi , 0 t

yi ,1 yi , 0

(10-15) (10-16)
即：
yi ,1 yi , 0 (ih )
(2) 中心一阶差商
yi , 0
t 2 即： yi ,1 yi , 1 2 (ih )
2m 2 ( E U ) 0
对氢原子:
(10-24) (10-25)
U
e2 40 r
2 2 m e 则: (E ) 0 2 40 r
(10-26)
其定态波函数:
(r , , ) R(r )Ylm ( , )
其中:
(10-27)
一维波动方程的差分方法
差分格式 对其波动方程：
2 y 1 2 y 2 , 0 x l ,0 t T 2 2 x v t
其解法思路仍然是差分格式． 选： x h, 则：
(10-6)
t xi ih, i 0,1,..., N ( l / h) t k k ,k 0,1,..., M 1( T / )