算法设计技巧与分析课件--13回溯法

2020/10/25
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13.3 8皇后问题
• 八皇后问题 在一个8×8国际象棋盘上，有8个皇后，每 个皇后占一格；要求皇后间不会出现相互" 攻击"的现象，即不能有两个皇后处在同一 行、同一列或同一对角线上。问共有多少 种不同的方法。
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13.2 3着色问题
• G＝（V，E）用1，2，3三个色着顶点，邻 接顶点不同色着法为合法解。
– 避免：要求找到一个满足某些条件的最优解， 如果进行彻底的搜索，要进行大量的比较，要 以大量的运算时间为代价。
– 借助：回溯法（backtracking）求助于回溯技 巧，常常可以大大地减少实际的搜索数目。
– 初始化空棋盘（起始状态）；
– 从第一行开始准备放子，直至第一行出现回溯 – 在当前行r中查找下一个可以放置王后的位置
– 如果找到了可以摆放的位置 – 放下一个子
– 如果已经是最后一行 – 得到一个解
– 撤掉该子，继续寻找下一个解 – 否则（未到最后一行）
– 准备处理下一行
– 否则（没有找到可以摆放的位置）
第13章 回溯法
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13－1 引言
• 现实问题有很多无法穷尽可能解 • 穷尽列举现实某些问题的可能解，代价巨大
• 在解空间搜索解的系统化方法－－因需要而研究。
– 回溯法，其中一个常用的，希望将搜索空间收缩到尽 可能小。
– 优点：可以有条理有组织地穷尽式搜索，避免搜索所 有解空间
– 适用：有潜在的大量解，但有限个解已经检查过的问 题
• 一旦走到叶子，就找到了一组解。
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运用回溯法解题三个步骤：
（1）针对所给问题，定义问题的解空间； （2）确定易于搜索的解空间结构； （3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在
搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
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2020/10/25 – 回溯到上一行华，南师并范撤大学掉计该算行机学的院棋子
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N后问题
回溯过程分析
1、从空棋盘起，逐行放置棋子。 2、每在一个布局中放下一个棋子，即推演
到一个新的布局。 3、如果当前行上没有可合法放置棋子的位
置，则回溯到上一行，重新布放上一行的 棋子。
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N后问题
• 算法描述
– 仅合某些法才着是色问的题路的径解多长？
– 对于图1，可以看作3色着法的搜索树
– 注意：局部不合法的解，必整体不合法
– 对应：部分解，
完整解
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过程
• 如果所有颜色都已经试过 且 没有成功， • 返回到父结点，它的颜色被修改， • 反复直至搜到解。
• 由于回溯方法的本质是用深度优先的方法 在解的空间树中搜索。所以在算法中都需 要建立一个栈，用来保存搜索的路径。一 旦产生的部分解序列不合要求，就要从栈 中找到回溯的前一个位置，继续试探。
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3着色的搜索树
对于仅有3个顶点的图
1
1 23
1 3 12 3
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着色的表示
• 一种对n个顶点的着色，可以用n元组表示
– （c1,c2,c3,…,cn) ci属于颜色集合C
– 问如题上：图对，（于1n，个1结，点1）的，图1属，于搜{1索,2树,3从} • N个根顶到点当的前图叶有子|C给|n种出可合能法着着色色，，解中空止间；大
2、回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯 法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索 整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成 为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方 向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点， 并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向 纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。换句话说， 这个结点不再是一个活结点。此时，应往回移动（回溯） 至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展 结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索， 直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
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例子13－2
C={1,2,3}, 问题：为图（a）着色
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生 成 搜 索 树 的 一 个 部 分
深度优先 只需存储根 到当前活动 结点的路径
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品
• 穷举测试是对所有的叶子都一一测试，
• 而回溯的方法是从树根开始，边试探边往 下走，若在某一层次查明不符合解的限制， （即局部不是解，整体不是解）则不往下 走，砍掉以下的树杈，跳到下一杈上继续 试探着往下走。这样边走边砍，砍掉大量 的树杈，从而省掉大量（解空间）测试。
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N后问题
• 问题：在一个n×n的棋盘上布置n个王后，使其相互不 能攻击；
• 问题的状态即棋盘的布局状态，状态空间树的根为空 棋盘，每个布局的下一步可能布局为该布局结点的子 结点；
• 由于可以预知，在每行中有且只有一个王后，因此为 了简化状态空间树，采用逐行布局的方式，即每个布 局有n个子结点；
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算法在生成了总共341个可能结点的27个结点后，就 找到了下图的解。
……
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回顾
1、问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义 问题的解空间。问题的解空间应到少包含问题的一个（最 优）解。
3着色递归算法
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3着色迭代算法
2020/10/百度文库5
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13.3 引例 4×4 棋盘
不合
相法
互：
攻不
击相
的互
少攻
于击
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个 皇 后 的 放 置
的 皇 后 布 置 ， 部
分
解
：
没有两个queen可以在同行，同列，用4维数组记录顺 序行中Queen的列位置，原有解空间44个降到4！