文科高考数学立体几何大题求各类体积方法.

A B C

D P

A B C

D

P

文科高考数学立体几何大题求各类体积方法

【三年真题重温】

1.【2011⋅新课标全国理，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：

PA ⊥BD ；

(Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 2.【2011 新课标全国文，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形．60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD ．

(Ⅰ) 证明：PA BD ⊥；

(Ⅱ) 设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．

根据DE PB PD BD ⋅=⋅，得32DE =．即棱锥D PBC -的高为32

．

3.【2010 新课标全国理，18】如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯

形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.

（1） 证明：PE ⊥BC

（2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值

【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角

等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.

4.【

2010 新课标全国文，18】如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等

腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。

5.【2012 新课标全国理】（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，

112AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1

（1）证明：BC DC ⊥1

（2）求二面角1

1C BD A --的大小。

6.【2012 新课标全国文】（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1

2AA 1，D 是棱AA 1

的中点

(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

【命题意图猜想】

1.纵观2011年和2010年高考对本热点的考查，均以四棱锥为背景，并且建立空间直角坐标系较为容易，在第一问中均考查线线垂直的证明，这种位置关系的证明已经连续三年进行了考查.理科考查了线面角和二面角，这两种角的考查有隔年考查的规律.两年的文科试题考查了体积问题.在2012年以三棱柱为背景，考查垂直关系的证明和二面角的求解，文科考查了面面垂直的证明和几何体的体积求解.猜想2013年很可能以棱锥或者球相关的组合体为背景，在建坐标系上不会太直观，考查线面平行位置关系，理科第二问可能给出某个角，考查点的位置或设置一问探索性问题，而文科第二问仍以求体积或表面积为主.

2.从近几年的高考试题来看，直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中等偏低；主要考查线面平行的判定，考查线∥线⇌线∥面⇌面∥面的转化思想，并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．预测2013年仍将以线面平行的判定为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力．

3.从近几年的高考试题来看，线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、线面角（理）等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．预测2013年高考仍将以线面垂直、面面垂直、线面角为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．

4.从近几年的理科高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．预测2013年高考仍将以用向量证明平行与垂直，以及利用向量求空间角为主要考点，重点考查向量的数量积及学生的空间想象能力、运算能力等．

【最新考纲解读】

1．点、直线、平面之间的位置关系

(1)理解空间直线、平面位置关系的定义．了解可以作为推理依据的公理和定理．

(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．

(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

2．空间向量及其运算（理）

(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及

其坐标表示．

(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．

(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

(4)理解直线的方向向量与平面的法向量定义．

(5)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．

(6)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．

(7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用．

【回归课本整合】

1.直线与平面平行的判定和性质

（1）判定：①判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；

②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行. （2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

注意：在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.

2.直线和平面垂直的判定和性质

（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直. （2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直.②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.

3.平面与平面平行

（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行.

注意：这里必须清晰“相交”这个条件.如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的所有直线与另一个平面无公共点，即这些直线都平行于另一个平面.

（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

注意：这个定理给出了判断两条直线平行的方法，注意一定是第三个平面与两个平行平面相交，其交线平行.

4.两个平面垂直的判定和性质

（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；

注意：在证明两个平面垂直时，一般先从已知有的直线中寻找平面的垂线，若不存在这样的直线，则可以通过添加辅助线解决，而作辅助线应有理论依据；如果已知面面垂直，一般先用面面垂直的性质定理，即在一个平面内作交线的垂直，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

（2）性质：①如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

②两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 注意：性质定理中成立有两个条件：一是线在平面内，二是线垂直于交线，才能有线面垂直.

(3)立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：