高考数学专题：空间角——线线角与线面角专题复习

1.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称
A→B为直线 l 的方向向量，与A→B平行的任意 非零向量 也是直线 l 的方 向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面 α 内两不共线向量，
n
为平面
α
的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0， n·b＝0.
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2.空间位置关系的向量表示
位置关系
直线 l1，l2 的方向向量分别为 n1，n2.
直线 l 的方向向量为 n， 平面 α 的法向量为 m
l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α
向量表示
n1∥n2⇔n1＝λn2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
n⊥m⇔ m·n＝0 n∥m⇔n＝λm
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一、异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当 异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就 是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异 面直线所成的角.如(1)(6) 二、直线和平面所成的角与其向量的夹角：当斜 线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角或直 角时，取其余角就是斜线和平面所成的角；否则 将向量夹角减去90°是斜线和平面所成的角.如(5)
因为 PD＝ 22＋2 22＝2 3，CD＝2， 所以三角形 PCD 的面积为12×2×2 3＝2 3.
知识回顾
知识梳理 辨析感悟
方法探究
探究一 求异面直线所成的角
例1
探究二 求直线与平面所成的角 例2
经典题目再现
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求异面直线所成的角
【例 1】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面
ABCD，E 是 PC 的中点．已知 AB＝2，AD＝2 2，PA＝2.求： (1)三角形 PCD 的面积． (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小．
解 (1)因为 PA⊥底面 ABCD， 所以 PA⊥CD． 又 AD⊥CD， 所以 CD⊥平面 PAD， 从而 CD⊥PD．
3.两条异面直线所成角的求法
设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，则
l1 与 l2 所成的角 θ a 与 b 的夹角 β
范围
0，ห้องสมุดไป่ตู้2
[0，π]
求法
cosθ＝||aa|·|bb||
cosβ＝|aa|·|bb|
l2
l2
l1 l1
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4.直线与平面所成角的求法
设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成 的角为 θ，a 与 n 的夹角为 β. 则 sinθ＝|cosβ|＝||aa|·|nn||.
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一种方法
两种关系
利用空间向量求空间角， 避免了寻找平面角和垂线 段等诸多麻烦，使空间点 线面的位置关系的判定和 计算程序化、简单化．主 要是建系、设点、计算向 量的坐标、利用数量积的 夹角公式计算．
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空间角——线线角与线面角
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n0＝±13，－23，23.( )
(3)已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 a∥c，a⊥b.( )
2.空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，
二面角的范围是[0，π]．( ) (5)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，则 l 与 α 所成的角为 150°.( ) (6)在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60°.( )
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1.直线的方向向量与平面的法向量
(1) 两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．( ) (2) 已知A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量是