第四章习题与复习题详解(线性空间)----高等代数

习题5. 1

1.判断全体n阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答是.

因为是通常意义的矩阵加法与数乘，所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性•由n阶实对称矩阵的性质知，n阶实对称矩阵加n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，数乘n阶实对称矩阵仍然是n阶实对称矩阵，所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭，构成实数域上的线性空间•

2 .全体正实数R+,其加法与数乘定义为

a 三

b =ab

k a =a k

其中a,b三R ,k =R

判断R+按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间

答是.设，，」…R .

因为；.■ a ,b・_R =，a = b= ab ■- R ,

.三R, a 三R = ■ a = a '三R ,

所以R •对定义的加法与数乘运算封闭

下面 -- 验证八条线性运算规律

(1) a^b=ab=ba =b^a;

(2) a ： J b ： J c = ab ：F c = ab c =abc =a bc =a：J b：J c ；

(3) R •中存在零元素1, - a • R ［有a二1二a 1 =a ；

⑷对R冲任- 「元素a ,存在负元素a — R n,使a㊉a」=aa」=1 ;

(5) 1 a ^a1=a ;

(7) - .■- f a 二a H' =a 'a，=a '二a" -，a 二「a ;

(8) 工一，(a 二b) i (ab )=ab =a b =a 二b a - •b.

所以R+对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间

3.全体实n阶矩阵，其加法定义为

A ：.门

B = AB -BA

按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间答否.

：A 二 B =AB -BA , B 二 A = BA - AB = -(AB -BA)

A 二

B 与B 二A 不一定相等

故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则（1）

数乘不构成实数域上的线性空间 • 4 .在P 2 中，W ={A/| A] =0, A 乏P 2>? },判断W 是否是P 2涙的子空间. 答否.

的线性相关性

解设 x 1

A '~x 2 A 2 - x 3

A 3

- x 4

A 4

=0 ,

知, a = -3且a = 1时，方程组只有零解

,这组向量线性无关;

a = £或a =1时，方程组有非零解

，这组向量线性相关

2 •在R 中，求向量：在基：-1, ：-2, ：'3, >4下的坐标•其中

解设〉=片-x 2■ x 3二匚 3 ■ x /s 4

，全体实n 阶矩阵按定义的加法与

例如"2和1，1

1

的行列式都为零, U 2丿13

3

丿

圭封闭.

3

的行列式不为零,也就是说集合对加法不 5

fax 1

亠 x 2

亠 x 3

亠 x 4

=0 即

X i - ax 2 X 3 X 4 =0

|x 1

- x 2

- ax 3

- x 4

=0

J x 1

x 2

x 3

ax 4

= 0

由系数行列式

a 1 1 1 1 a 1 1 1

1

a 1

111a

=(a - 3)( a -1)3

由

：

'1

：

2

爲爲

2

1 0 : \

・0

『

1 0 0 0 1

1

1 1

1 -0 初等行变换

0 1

0 -0

«)=

9

---------------- Q

9

3 0 -1 -0

0 0

1 0 --1

1

-1

「丿

1

-0丿

1 — 1 -

a — 1 -

A

得：•- _7 二• 11〉2 -21： 3 • 30 ：-4 .故向量:■在 基 1, ：-2, ：-3, ：-4下的坐标为(-7 , 11, -21 , 30)

(1)

求由基(I)到基(n)的过渡矩阵；

<1、

(2) 已知向量a 在基<^,(^,0(3下的坐标为 0 ,求a 在基 P 1^2,P 3

下的坐标；

C 1丿 <1 :

(3)

已知向量p 在基冃，月，良下的坐标为-1求p 在基码,0(2,03下的坐标；

(4) 求在两组基下坐标互为相反数的向量

得：.=- R.故向量：•在基?1 , ?2 , ：'3, :• 4下的坐标为(1,0，- 1，0 )•

3.在P 2 2中求

解设

则有

( X i -.-0X 2 -.-X 3 -.-X 4 = 2

Xt —x 2 —x 3 -.-0x 4

=3

| X t -.-X 2-.-OX 3 -.-0x 4

=4

x t -.-0x 2 -.-0x 3 -「0x 4 - _7 L

1

1 =2、

(1

0 0 0 :-7 ' -1

0 a

:3

初等行变换

1

:11

3 --------- >

0 0 :4 0

0 1 0 :-21 0 0

--7 i

,0

1

:30

2 ，A

3 ，P 3 = 4

解(1)

C 是由基(

)到基(n)的过渡矩阵

,由：1, ：2, ：3 - 「，〉2 = 3 C

2

厂3

+x 2

C (2 +x 3

Ct 3 +x 4

O(4

1 1

■1 0 4 •已知R 3的两组基