方差分析报告PPT
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方差分析的基本原理 方差分析的基本过程与步骤 方差分析的基本假定
方差分析中的方差方齐性检 验
方差分析中有关实验设计的问题
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设和部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数之间的 差异检验问题。 综合虚无假设：样本所归属的所有总体的平均数 都相等。H0: u1=u2=u3=u4=u5 部分虚无假设：组间的虚无假设 H1:至少有两个总体平均数不相等 如果综合虚无假设被拒绝，紧接着要确定究竟哪两 个组之间的平均数之间存在着显著性差异时，需 要运用事后检验的方法来确定。
（二）方差的可分解性
方差分析依据的基本原理就是方差的可加性原则。 具体讲就是将总平方和分解为几个不同来源的平方和。 例如：噪音对解决数学问题的影响作用。 X：强、中、无 Y：解决数学问题时产生的错误频数。
源自文库
SST ( X ij X t )
j 1 i 1
k
n
2
总平方和 组间
Fmax
2 S max 2 S min
五、与方差分析有关的实验设计问题
如果用方差分析去检验一个双组设计的平均数差 异，将会得到与t检验同样的结果，得到一个完全 相同的结论，在这个意义上，可以将方差分析看 成一种t检验的延伸与扩展。 但是，t检验处理的是两个样本组之间的差异显著 性问题。检验的数据来自两种不同的实验处理， 它仅适用于只有两组样本的实验设计。这是最简 单的一种。大多数实验都包括两种以上的实验处 理，比较的对象都超过了两个实验组，需要同时 比较两个以上的样本平均数。这种同时对所有平 均数差数的显著性进行检验只能使用方差分析。
( X 2 ) ( X ) 2 变为 n nk
SSB
( X ) 2 ni
( X ) 2 N
例子
用不同强度的光做视觉反应时实验，光照强度分为1、2、3 三个等级，被试随机分为三组，随机分配分别做某一种光强 的反应时实验。由于某些原因，各组人数没能相同。下表是 不同光强下被试反应时测试结果。试问从表中结果能否得出 不同强度光的反应时有显著不同？
在组间设计中，虽然每种处理中个体差异也很明显，但不同 处理之间由于被试不是同一组人，因而整个实验的个体差异 无从了解，只知道他混在组内变异中。随机区组设计的方差 分析，根据实验设计的特点，把区组效应从组内平方和中分 离出来。当整个实验中的个体差异知道后，就可以算出个体 差异造成的变异，即区组变异。 这时，总平方和被分解为三部分： 被试间平方和：被试之间个别差异的影响效果 区组平方和：反应的是自变量的影响作用 误差项平方和：除被试间个别差异外其他干扰因素的影响。 求区组平方和与求组间平方和实质上差不多，因此，计算区 组间的平方和就可以表示区组效应，区组平方和用 SSR 表 示。
一、各实验处理组样本容量相同
各实验处理组样本容量相同时，对于每一种实验 处理而言，它们被重复进行的次数是相同的。
解题的具体步骤：
设虚无假设和备择假设 计算自由度 计算均方 计算F比值，进行F检验，做出决断 列出方差分析表
二、各实验处理组样本容量不同
这种情况又称作“不等重复”。进行方差分析的过程与“ 等重复”情况基本相同。只是在计算组间平方和时，要注 意公式中的n各组不相同， SSB
从理论上讲，在这类设计中，各个组别在接 受实验处理前各方面相同，若实验结果中组 与组之间有显著差异，就说明差异是由不同 的实验处理造成的。 被试的分组一般采用完全随机方式，也可以 用配对组方式。 但是，在这类设计中，实验误差既包括实验 本身的误差，又包括被试个别差异引起的误 差，无法分离，因而他的效率受到限制。
随机区组设计由于同一区组接受所有实验处理， 使实验处理之间有相关，因此又称之为相关组设 计，或称之为被试内设计。 与完全随机设计相比，其最大优点是考虑到个别 差异的影响。这种由于被试之间性质不同导致产 生差异就称为区组效应。 随机区组设计可以将这种影响从组内变异中分离 出来，从而提高效率。但是这种设计也有不足， 主要表现为划分区组困难，如果不能保证同一区 组内尽量同质，则有出现更大误差的可能。
SSW MSW dfW
SSB MS B dfB
dfW k (n 1)
dfB k 1 dfT nk 1
MS B F MSW
二、方差分析的基本过程与步骤
SST X 2
SSB ( X )
2
( X ) 2
( X ) 2 nk
2
nk
n
SSW SST SSB X
SSW SST SSB X
2
( X ) n
2
=816-792=24
（二）计算自由度
总自由度
dft N 1
dfB k 1
=12-1=11 =3-1=2 =3×（4-1）=9
组间自由度 组内自由度
dfW k (n 1)
（三）计算均方
SSB MS B dfB
1.一个被试作为一个区组，这时不同的被试均需 接受全部K个实验处理。每人接受K种实验处理的 顺序不同所产生的误差，应该用一定的方法加以 平衡。 2.每一区组内被试的人数是实验处理数的整数倍 。 3.区组内的基本单位不是个别被试，而是以一个 团体为单位，例如以不同学校为实验对象，同一 学校的几个班成为一个区组，每个班接受一种实 验。 总之，对于每一区组而言，它应该接受全部实验 处理；对于每种实验处理而言，它在不同的实验
混合设计
一般涉及两个以上的自变量， 其中每个自变量的实验设计各不相 同。 如一个用组间设计，一个用组 内设计，实际上是同时进行几个实 验。
第二节 完全随机设计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素组间设计的方差分 析。 在这种实验研究设计中，各种处理的分类仅以单个实验变量 为基础，因而，把它称为单因素方差分析或单项方差分析。 这种实验设计安排被试的一般格式如下：
用方差分析方法处理的实验数据，大多属于 方差分析实验设计类型产生的结果。 这类实验设计中的被试组超过二组以上，是 一种多组设计。 最常见的类型有组间设计、组内设计与混合 设计。
组间设计
通常把被试分成若干个组，每组分别接受一 种实验处理，有几种实验处理，被试也就相 应地被分为几组，即不同的被试接受自变量 不同水平的实验处理 由于被试是随机取样并随机分组安排到不同 的实验处理中，因此，它又叫做完全随机设 计。 完全随机分组后，各实验组的被试之间相互 独立，因而这种设计又被称为“独立组”设 计，或被试间设计。
SSR
1
n
( R ) 2 k
( R) 2 nk
把 SSR 从组内平方和中分离出来，则所余部分仅仅是 实验误差了
SSW SSB SSE
这时总变异被分解为三部分
SST SSB SSW SSB SSR SSE
总平方和=组间平方和+区组平方和+误差平方和
总自由度也被分为三部分：
=258.67/2=129.34
MSW
SSW dfW =24/9=2.67
(四）计算F值
MS B F MSW
=129.34/2.67=48.44
(五）查F值表进行F检验并做出决断 假如拒绝虚无假设的P值定为P=0.05 ，如果计算的值远大于所确定的显著性水平 临界值，表明F值出现的几率小于0.05，就 可拒绝虚无假设，可以说不同组的平均数之 间在统计上至少有一对有显著差异。 之后就可以做事后检验，可以确定究竟 是那一对平均数之间有显著差异，得出更深 层次的结论。
SSB n ( X j X t )
j 1
•
k
2
SSW ( X ij X j )
j 1 i 1
k
n
2
组内
SST SSB SSW
在方差分析中，如果实验中各个组内部被试之间 存在着不同程度的差异，即接受同样处理的被试 在因变量上有量的差别，那么组内平方和就会比 较大。相反，如果组间平方和越大，组内平方和 就会越小，各组平均数之间有显著性差异的可能 性也越大。 样本平均数之间的变异和样本内部的变异相差越 大，就说明总体处理中平均数之间的差别也越大 。 这样，从统计学角度考虑，缩减样本内部的变异 ，使样本平均数真正的变异就能显示出来。这是 所有实验研究在设计时的一个关键。
三、利用样本统计量进行方差分析
有时欲分析的资料只有各组的 X i , Si2 , ni 等样本特 征值，没有原始数据，在这种情况下要进行方差分析，关 键在于对方差分析的思想和基本概念的理解，只要对平方 和、均方等概念真正理解，进行方差分析比用原始数据进 行方差分析还要简单。
例如：把20名被试随机分成ABCD四个组，每组5人接受 一种教学方法。教学效果评估后，每组平均数依次为 5、5、4、8、7.2；方差依次为1.99、1.04、1.20、 1.76 问四种教法是否有显著差异？
dfT dfB dfR dfE
这种设计将区组效应从完全随机设计的误差平方和中分解出来， 是配对设计的扩展和延伸。同时，也可验证分组是否合理。使用 的统计分析程序然是单因素方差分析。
例题
为了测查刺激呈现的时间长短在记忆过程中的作 用，一名认知心理学家把10个无意义音节以不同 长度的时间呈现给被试。每种情况下这组音节呈 现30秒，中间间隔10分钟，要求被试完成一些简 单的数学题，以避免被试练习记忆无意义音节， 然后要求被试在60秒内尽可能多的回忆记住的音 节。下表是7个被试的实验结果，问呈现时间长短 是否显著影响无意义音节的回忆量。
组内设计
又称被试内设计，是指每个被试都要接受所有自 变量水平的实验处理。由于接受每种实验处理后 都要进行测量，因此又称“重复测量设计”。 组内设计中，当用被试样本组代替单个被试时， 又称为“随机区组设计”。此时，每个被试组都 要接受所有实验处理，但组中的每个被试只随机 接受一种实验处理。通常，把这样的被试组叫做 区组。 同一区组内应尽量同质，即在各个方面都相似或 相同。这种设计将被试的个别差异从被试内差异 中分离出来，提高了实验处理的效率。
求平方和 自由度 均方 F检验 方差分析表
第三节 随机区组设计的方差分析
随机区组设计的方差分析，就是重复测量设计的 方差分析，或称为组内设计的方差分析。 随机区组设计根据被试特点把被试划分为几个区 组，再根据实验变量的水平数在每一个区组内划 分为若干个小区，同一区组随机接受不同的处理 。 这类实验设计的原则是同一区组内的被试应尽量 同质。每一区组内被试的人数分配大致有三种情 况：
主要功能在于分析实验数据中不同 来源的变异对总变异的贡献大小， 从而确定实验中的自变量是否对因 变量有重要影响。 方差分析所满足的基本条件是： 总体服从正态分布，方差齐性。
第 九 章 方 差 分 析
方差分析
1 2
方差分析的基本原理及步骤
完全随机设计的方差分析
随机区组设计的方差分析
3
4
事后检验
第一节 发差分析的基本原理及步骤
（六）陈列方差分析表
三、方差分析的基本假定
（一）总体正态分布 （二）变异的相互独立性 （三）各实验处理内的方差要一致
四、方差分析中的方差齐性检验
在进行方差分析时，各组实验内部的方差彼此有无显著 差异，这是最为重要的一个假定，为了满足这一假设条 件，往往在做方差分析前首先要对各组内方差做齐性检 验。 方差分析中的齐性检验常用哈特来最大F比率法，这种 方法简便易行。具体的实施步骤是先找出要比较的几个 组内方差中最大值与最小值，带入下式
( X ) n
2
(一）求平方和
1.总平方和 2 6400 ( X ) 2 SST X =816nk
12
=282.67
2.组间平方和 ( X 2 ) ( X ) 2 6400 SSB n nk =792=258.67 12 3.组内平方和
方差分析中的方差方齐性检 验
方差分析中有关实验设计的问题
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设和部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数之间的 差异检验问题。 综合虚无假设：样本所归属的所有总体的平均数 都相等。H0: u1=u2=u3=u4=u5 部分虚无假设：组间的虚无假设 H1:至少有两个总体平均数不相等 如果综合虚无假设被拒绝，紧接着要确定究竟哪两 个组之间的平均数之间存在着显著性差异时，需 要运用事后检验的方法来确定。
（二）方差的可分解性
方差分析依据的基本原理就是方差的可加性原则。 具体讲就是将总平方和分解为几个不同来源的平方和。 例如：噪音对解决数学问题的影响作用。 X：强、中、无 Y：解决数学问题时产生的错误频数。
源自文库
SST ( X ij X t )
j 1 i 1
k
n
2
总平方和 组间
Fmax
2 S max 2 S min
五、与方差分析有关的实验设计问题
如果用方差分析去检验一个双组设计的平均数差 异，将会得到与t检验同样的结果，得到一个完全 相同的结论，在这个意义上，可以将方差分析看 成一种t检验的延伸与扩展。 但是，t检验处理的是两个样本组之间的差异显著 性问题。检验的数据来自两种不同的实验处理， 它仅适用于只有两组样本的实验设计。这是最简 单的一种。大多数实验都包括两种以上的实验处 理，比较的对象都超过了两个实验组，需要同时 比较两个以上的样本平均数。这种同时对所有平 均数差数的显著性进行检验只能使用方差分析。
( X 2 ) ( X ) 2 变为 n nk
SSB
( X ) 2 ni
( X ) 2 N
例子
用不同强度的光做视觉反应时实验，光照强度分为1、2、3 三个等级，被试随机分为三组，随机分配分别做某一种光强 的反应时实验。由于某些原因，各组人数没能相同。下表是 不同光强下被试反应时测试结果。试问从表中结果能否得出 不同强度光的反应时有显著不同？
在组间设计中，虽然每种处理中个体差异也很明显，但不同 处理之间由于被试不是同一组人，因而整个实验的个体差异 无从了解，只知道他混在组内变异中。随机区组设计的方差 分析，根据实验设计的特点，把区组效应从组内平方和中分 离出来。当整个实验中的个体差异知道后，就可以算出个体 差异造成的变异，即区组变异。 这时，总平方和被分解为三部分： 被试间平方和：被试之间个别差异的影响效果 区组平方和：反应的是自变量的影响作用 误差项平方和：除被试间个别差异外其他干扰因素的影响。 求区组平方和与求组间平方和实质上差不多，因此，计算区 组间的平方和就可以表示区组效应，区组平方和用 SSR 表 示。
一、各实验处理组样本容量相同
各实验处理组样本容量相同时，对于每一种实验 处理而言，它们被重复进行的次数是相同的。
解题的具体步骤：
设虚无假设和备择假设 计算自由度 计算均方 计算F比值，进行F检验，做出决断 列出方差分析表
二、各实验处理组样本容量不同
这种情况又称作“不等重复”。进行方差分析的过程与“ 等重复”情况基本相同。只是在计算组间平方和时，要注 意公式中的n各组不相同， SSB
从理论上讲，在这类设计中，各个组别在接 受实验处理前各方面相同，若实验结果中组 与组之间有显著差异，就说明差异是由不同 的实验处理造成的。 被试的分组一般采用完全随机方式，也可以 用配对组方式。 但是，在这类设计中，实验误差既包括实验 本身的误差，又包括被试个别差异引起的误 差，无法分离，因而他的效率受到限制。
随机区组设计由于同一区组接受所有实验处理， 使实验处理之间有相关，因此又称之为相关组设 计，或称之为被试内设计。 与完全随机设计相比，其最大优点是考虑到个别 差异的影响。这种由于被试之间性质不同导致产 生差异就称为区组效应。 随机区组设计可以将这种影响从组内变异中分离 出来，从而提高效率。但是这种设计也有不足， 主要表现为划分区组困难，如果不能保证同一区 组内尽量同质，则有出现更大误差的可能。
SSW MSW dfW
SSB MS B dfB
dfW k (n 1)
dfB k 1 dfT nk 1
MS B F MSW
二、方差分析的基本过程与步骤
SST X 2
SSB ( X )
2
( X ) 2
( X ) 2 nk
2
nk
n
SSW SST SSB X
SSW SST SSB X
2
( X ) n
2
=816-792=24
（二）计算自由度
总自由度
dft N 1
dfB k 1
=12-1=11 =3-1=2 =3×（4-1）=9
组间自由度 组内自由度
dfW k (n 1)
（三）计算均方
SSB MS B dfB
1.一个被试作为一个区组，这时不同的被试均需 接受全部K个实验处理。每人接受K种实验处理的 顺序不同所产生的误差，应该用一定的方法加以 平衡。 2.每一区组内被试的人数是实验处理数的整数倍 。 3.区组内的基本单位不是个别被试，而是以一个 团体为单位，例如以不同学校为实验对象，同一 学校的几个班成为一个区组，每个班接受一种实 验。 总之，对于每一区组而言，它应该接受全部实验 处理；对于每种实验处理而言，它在不同的实验
混合设计
一般涉及两个以上的自变量， 其中每个自变量的实验设计各不相 同。 如一个用组间设计，一个用组 内设计，实际上是同时进行几个实 验。
第二节 完全随机设计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素组间设计的方差分 析。 在这种实验研究设计中，各种处理的分类仅以单个实验变量 为基础，因而，把它称为单因素方差分析或单项方差分析。 这种实验设计安排被试的一般格式如下：
用方差分析方法处理的实验数据，大多属于 方差分析实验设计类型产生的结果。 这类实验设计中的被试组超过二组以上，是 一种多组设计。 最常见的类型有组间设计、组内设计与混合 设计。
组间设计
通常把被试分成若干个组，每组分别接受一 种实验处理，有几种实验处理，被试也就相 应地被分为几组，即不同的被试接受自变量 不同水平的实验处理 由于被试是随机取样并随机分组安排到不同 的实验处理中，因此，它又叫做完全随机设 计。 完全随机分组后，各实验组的被试之间相互 独立，因而这种设计又被称为“独立组”设 计，或被试间设计。
SSR
1
n
( R ) 2 k
( R) 2 nk
把 SSR 从组内平方和中分离出来，则所余部分仅仅是 实验误差了
SSW SSB SSE
这时总变异被分解为三部分
SST SSB SSW SSB SSR SSE
总平方和=组间平方和+区组平方和+误差平方和
总自由度也被分为三部分：
=258.67/2=129.34
MSW
SSW dfW =24/9=2.67
(四）计算F值
MS B F MSW
=129.34/2.67=48.44
(五）查F值表进行F检验并做出决断 假如拒绝虚无假设的P值定为P=0.05 ，如果计算的值远大于所确定的显著性水平 临界值，表明F值出现的几率小于0.05，就 可拒绝虚无假设，可以说不同组的平均数之 间在统计上至少有一对有显著差异。 之后就可以做事后检验，可以确定究竟 是那一对平均数之间有显著差异，得出更深 层次的结论。
SSB n ( X j X t )
j 1
•
k
2
SSW ( X ij X j )
j 1 i 1
k
n
2
组内
SST SSB SSW
在方差分析中，如果实验中各个组内部被试之间 存在着不同程度的差异，即接受同样处理的被试 在因变量上有量的差别，那么组内平方和就会比 较大。相反，如果组间平方和越大，组内平方和 就会越小，各组平均数之间有显著性差异的可能 性也越大。 样本平均数之间的变异和样本内部的变异相差越 大，就说明总体处理中平均数之间的差别也越大 。 这样，从统计学角度考虑，缩减样本内部的变异 ，使样本平均数真正的变异就能显示出来。这是 所有实验研究在设计时的一个关键。
三、利用样本统计量进行方差分析
有时欲分析的资料只有各组的 X i , Si2 , ni 等样本特 征值，没有原始数据，在这种情况下要进行方差分析，关 键在于对方差分析的思想和基本概念的理解，只要对平方 和、均方等概念真正理解，进行方差分析比用原始数据进 行方差分析还要简单。
例如：把20名被试随机分成ABCD四个组，每组5人接受 一种教学方法。教学效果评估后，每组平均数依次为 5、5、4、8、7.2；方差依次为1.99、1.04、1.20、 1.76 问四种教法是否有显著差异？
dfT dfB dfR dfE
这种设计将区组效应从完全随机设计的误差平方和中分解出来， 是配对设计的扩展和延伸。同时，也可验证分组是否合理。使用 的统计分析程序然是单因素方差分析。
例题
为了测查刺激呈现的时间长短在记忆过程中的作 用，一名认知心理学家把10个无意义音节以不同 长度的时间呈现给被试。每种情况下这组音节呈 现30秒，中间间隔10分钟，要求被试完成一些简 单的数学题，以避免被试练习记忆无意义音节， 然后要求被试在60秒内尽可能多的回忆记住的音 节。下表是7个被试的实验结果，问呈现时间长短 是否显著影响无意义音节的回忆量。
组内设计
又称被试内设计，是指每个被试都要接受所有自 变量水平的实验处理。由于接受每种实验处理后 都要进行测量，因此又称“重复测量设计”。 组内设计中，当用被试样本组代替单个被试时， 又称为“随机区组设计”。此时，每个被试组都 要接受所有实验处理，但组中的每个被试只随机 接受一种实验处理。通常，把这样的被试组叫做 区组。 同一区组内应尽量同质，即在各个方面都相似或 相同。这种设计将被试的个别差异从被试内差异 中分离出来，提高了实验处理的效率。
求平方和 自由度 均方 F检验 方差分析表
第三节 随机区组设计的方差分析
随机区组设计的方差分析，就是重复测量设计的 方差分析，或称为组内设计的方差分析。 随机区组设计根据被试特点把被试划分为几个区 组，再根据实验变量的水平数在每一个区组内划 分为若干个小区，同一区组随机接受不同的处理 。 这类实验设计的原则是同一区组内的被试应尽量 同质。每一区组内被试的人数分配大致有三种情 况：
主要功能在于分析实验数据中不同 来源的变异对总变异的贡献大小， 从而确定实验中的自变量是否对因 变量有重要影响。 方差分析所满足的基本条件是： 总体服从正态分布，方差齐性。
第 九 章 方 差 分 析
方差分析
1 2
方差分析的基本原理及步骤
完全随机设计的方差分析
随机区组设计的方差分析
3
4
事后检验
第一节 发差分析的基本原理及步骤
（六）陈列方差分析表
三、方差分析的基本假定
（一）总体正态分布 （二）变异的相互独立性 （三）各实验处理内的方差要一致
四、方差分析中的方差齐性检验
在进行方差分析时，各组实验内部的方差彼此有无显著 差异，这是最为重要的一个假定，为了满足这一假设条 件，往往在做方差分析前首先要对各组内方差做齐性检 验。 方差分析中的齐性检验常用哈特来最大F比率法，这种 方法简便易行。具体的实施步骤是先找出要比较的几个 组内方差中最大值与最小值，带入下式
( X ) n
2
(一）求平方和
1.总平方和 2 6400 ( X ) 2 SST X =816nk
12
=282.67
2.组间平方和 ( X 2 ) ( X ) 2 6400 SSB n nk =792=258.67 12 3.组内平方和