离散第1讲 集合的概念、交并补差幂集
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ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -20-
关于子集的若干定理
定理1.2，1.4：对任意集合A， AU， A
定理1.5：空集是唯一的
证明：假设1, 2都是空集，根据定理3，应该有 1 2 且2 1 ，从而由定理1知1= 2 。
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -7-
集合举例
师范大学全体学生
师范大学所有班级
全体正整数1，2，3，4，… 偶质数的全体 09计算机1班和他们本学期选修的所有课程 所有长得像张三的人
中国所有著名导演
方程x2 -2 x + 1 = 0 的根 方程x2 + x + 1 = 0 的根
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -8-
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-18-
包含关系 vs. 隶属关系
包含——集合与集合之间的关系
{1,2} {1, 2 , 3, 4} {1,2} {1, 2 , 3, 4}
{a} {a}
隶属——元素与集合之间的关系
1 {1, 2 , 3, 4} 5 {1, 2 , 3, 4} {a} {{a}}
-21-
关于子集的若干定理
定理1.6：设A为一个有限集，且|A|=n，则A的子 集个数为2n
证明：集合A的子集最多有n个元素，最少有0个元素。
0个元素的子集共有C(n,0)个；
1个元素的子集共有C(n,1)个； …… n个元素的子集共有C(n,n)个. 因此，集合A共有子集C(n,0)+ C(n,1)+… C(n,n)= 2n个。
A¯ U – A，¯ U，U¯ ，A¯¯ = = = =A A∩A¯= ，A∪A¯ U = A A∪B，B A∪B，A∩B A，A∩B B A–BA
若A B，则A∪B = B，A∩B = A，A – B =
若A∩B = ，则A – B = A
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -29-
A={2, 4}, B={4, 5, 6, 7}, C={0, 8, 9}, D={1, 2, 3} A－B， A－C， C－D， B－D
ξ第一讲 集合的概源自文库、表示与基本运算 -26-
集合的补运算 complement（–）
定义1.5： (4)设U为全集，A为任意集合，则所有 在全集U中但不属于A的元素所组成的集合称为A 的补集，记成A¯ 。即：A¯= {x | xU且xA } x A¯ x A
集合(sets)：指确定的、互相区别的、作整体识别的一 些事物（对象）的全体。简称集。 集合中的对象称为集合的元素(members)，或称为元、 成员。
当某一个对象a 是集合A的成员时，就说“a属于A”，
记成aA，当a 不是集合A的成员时，就说“a不属于 A”，记成aA 。 对于任何对象a和任何集合A，a要么属于A，要么不属 于A，二者必居其一。
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -23-
集合的并运算union （∪）
定义1.5：(1)设 A、B为任意集合，则由A、B的所 有元素合在一起所组成的集合称为A与B的并集， 记成A∪B。即：A∪B={x | xA或xB} x A∪B xA或xB
例1.6
U={0, 1, 2, …, 9} A={2, 4}, B={4, 5, 6, 7}, C={0, 8, 9}, D={1, 2, 3} A∪B， A∪C， C∪D， B∪D
B
A
A C
B
B
U
A∪B
A－B
(A∪B)¯ ∩C
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-28-
关于并、交、差、补运算的一些直观结论
A∪A = A，A∪ = A，A∪U = U A∩A = A，A∩ = ，A∩U = A
A – A = ，A – = A，A – U = ， – A =
一般而言， A – (B – C) ≠ (A – B) – C
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -30-
关于分配律和吸收率
分配律 a×(b + c) = a×b + a×c A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
A∩(B－C) = (A∩B)－(A∩C) 一般而言，A∪(B－C) ≠ (A∪B)－(A∪C)
集合与元素
集合中的元素可以是任何具体或抽象的个体，也 可以是集合
A = { 1，2，{1，2} }
集合与其成员是两个截然不同的概念
1≠{1}
{{a}}≠{a}
通常用大写字母A, B, C表示集合，用小写字母a, b, c表示集合的元素（并非绝对）
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -9-
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-24-
集合的交运算intersection（∩）
定义1.5： (2)设 A、B为任意集合，则由A、B的 公共元素所组成的集合称为A与B的交集，记成A ∩B。即： A∩B={x | xA并且xB}
x A∩B xA并且xB
例1.6
U={0, 1, 2, …, 9} A={2, 4}, B={4, 5, 6, 7}, C={0, 8, 9}, D={1, 2, 3} A∩B， A∩C， C∩D， B∩D ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
关于交换律和结合律
交换律
2+3 = 3+2，a×b = b×a A∪B = B∪A，A∩B = B∩A
一般而言，A – B≠ B – A
结合律
2+(3+5) = (2+3)+5 ， a×(b×c) = (a×b)×c A∪(B∪C) = (A∪B) ∪C A∩(B∩C) = (A∩B) ∩C
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-19-
关于子集的若干定理
定理1.1：对任何集合A，B，A=B当且仅当AB且BA 。 对任何集合A， AA
定理1.3：对于任何集合A，B，C，若AB，BC，则A C。
证明：设x为A中任一元素，
因为AB，所以xB；
又因为BC，所以xC 这就是说，A中所有元素均属于C，所以有AC。
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -10-
集合的表示方法
归纳法（以后介绍） 文氏图（常用于表示集合之间的关系 ）
U
A B
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-11-
常用集合及其表示
{0, 1} = {x | x=0 或 x=1}
自然数集合（或非负整数的集合）
N = { 0, 1, 2, 3, … }
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-14-
空集、有限集和无限集
定义1.1：没有任何元素的集合称为空集，记为 ， = { }。由全体对象组成的集合称为全集，记为 U。 定义1.2：只含有限多个元素的集合称为有限集； 不是有限集的集合称为无限集。
空集是有限集 有限集合A中元素的个数称为A的基数(cardinality)，记 为|A| 空集的基数是0，即|| = 0
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-22-
集合的运算
集合运算——以集合作为运算对象，运算结果仍为集合的 运算 算术运算：3+5=8 4×6=24 集合运算：{1, 2}{2, 3}={2} 有哪些集合运算 交、并、差、补 {1, 2}{2, 3}={1, 2, 3}
求幂运算
广义并、交 求笛卡尔积运算
例1.6
U={0, 1, 2, …, 9} A={2, 4}, B={4, 5, 6, 7}, C={0, 8, 9}, D={1, 2, 3} A¯， B¯， C¯， D¯
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -27-
文氏图表示的集合并、交、差、补运算
U A A
U A B
U
A
A¯
A∩B
U
U
A
外延性公理事实上刻画了集合元素的无序性、相异 性及集合表示形式的不唯一性
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -17-
子集合(subsets)
定义1.3：设A，B为集合，若A中每一个元素都同时是B的 元素，则称A是B的子集。即对于任意元素x，当x属于A时 一定有x属于B。表示为AB，读成A包含于B，或B包含A。 任意集合A均是自己的子集，即：AA 若要说明A不是B的子集，只须在A中找到某一个元素x， 使得xB即可 定义1.4：设A、B为集合，当AB且AB时，称A为B的真 子集，记成AB。读做A真包含于B，或B真包含A
外延性公理：两个集合相等当且仅当这两个集合具 有完全相同的成员。
即对任意的集合A和B：A = B 当且仅当对任意元素x，x属 于A则一定有x属于B；反之，x属于B也一定有x属于A。 也就是说，集合A中的所有元素均是集合B中的元素，反 之，B中的所有元素均是A中的元素 例1.4 {0, 1} = {1, 0} = {0, 1, 0} = {x | x(x2-2x+1)=0}
整数集合
I = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …}
正整数集合
I+ = { 1, 2, 3, …} = { x | x I 且 x > 0}
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-12-
常用集合及其表示
偶数集合
E = { …, -4, -2, 0, 2, 4, … } = { x | x是偶数 } = { x | x I 且 2|x }
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -15-
空集、有限集和无限集举例
{x | x=0 或 x=1}
自然数集合N 正整数集合 A = { 1，2，{1，2} } {}
师范大学全体学生
方程x2 + x + 1 = 0 的根
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-16-
外延性公理（extensionality axiom）
计算机专业基础课程
授课人：梁妍
离散数学的特点与学习要求
特点
离散性 抽象性 逻辑性 有难度
要求
预习 复习 独立完成作业
PowerPoint Template_Sub
1.1
1.2 1.3
集合的概念与表示
集合运算
集合的归纳定义
PowerPoint Template_Sub
集合论是一门研究数学基础的学科，产生于16世纪末 德国数学家康托（Georg Cantor, 1845~1918）通过集合 的直观定义开创了朴素集合论，被公认为集合理论的创 始人 1902年英国数学家罗素（Russell, 1872~1970 ）证明朴素 集合论导致悖论，随后为弥补这一缺陷出现了各种公理 化集合论体系 集合不仅可以表示数及其运算，更可以用于非数值信息 及离散结构的表示和处理。集合论的原理和方法作为数 学基本技术广泛地应用于计算机科学的基础研究和实际 应用中
-25-
集合的差运算difference（–）
定义1.5： (3)设 A、B为任意集合，则由在A中而 不在B中的元素所组成的集合称为A对B的差，记 成A–B。即：A – B = {x | xA且xB} x A – B xA并且x B
例1.6
U={0, 1, 2, …, 9}
前n个自然数的集合
Nn = { 0，1，2，…, n-1} = { x | x N 且 x < n }
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-13-
常用集合及其表示
P：全体素数的集合
Q：全体有理数的集合 Q＋：全体正有理数的集合 R：全体实数的集合 R＋ ：全体正实数的集合
C：全体复数的集合
《离散数学》第1讲
集合的概念、表示与基本运算
Page 1 to 7
内容提要
基础知识
集合、元素的概念 怎样表示一个集合（列举、描述 … ） 空集、全集、有限集、无限集
外延性公理
集合相等、子集、若干定理
集合的基本运算
并、交、差、补 幂集运算
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -6-
何为集合？何为元素？
集合的表示方法
列举法（枚举法）
{a, b, c}, {秦始皇，汉武帝} {1, 2, 3, 4, …} , {2, 4, 6, 8, …}
{1, 2, 4, 7, 11, …}
描述法
A = {x | P(x)}（A中的元素均满足性质P，而A以外的 元素一个也不满足性质P） x A P(x) {x | x是整数且x>0}、 {x | x2 -2 x + 1 = 0 } {x | x出生于大连} 、{x | x是0到1区间的实数}
关于子集的若干定理
定理1.2，1.4：对任意集合A， AU， A
定理1.5：空集是唯一的
证明：假设1, 2都是空集，根据定理3，应该有 1 2 且2 1 ，从而由定理1知1= 2 。
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -7-
集合举例
师范大学全体学生
师范大学所有班级
全体正整数1，2，3，4，… 偶质数的全体 09计算机1班和他们本学期选修的所有课程 所有长得像张三的人
中国所有著名导演
方程x2 -2 x + 1 = 0 的根 方程x2 + x + 1 = 0 的根
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -8-
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-18-
包含关系 vs. 隶属关系
包含——集合与集合之间的关系
{1,2} {1, 2 , 3, 4} {1,2} {1, 2 , 3, 4}
{a} {a}
隶属——元素与集合之间的关系
1 {1, 2 , 3, 4} 5 {1, 2 , 3, 4} {a} {{a}}
-21-
关于子集的若干定理
定理1.6：设A为一个有限集，且|A|=n，则A的子 集个数为2n
证明：集合A的子集最多有n个元素，最少有0个元素。
0个元素的子集共有C(n,0)个；
1个元素的子集共有C(n,1)个； …… n个元素的子集共有C(n,n)个. 因此，集合A共有子集C(n,0)+ C(n,1)+… C(n,n)= 2n个。
A¯ U – A，¯ U，U¯ ，A¯¯ = = = =A A∩A¯= ，A∪A¯ U = A A∪B，B A∪B，A∩B A，A∩B B A–BA
若A B，则A∪B = B，A∩B = A，A – B =
若A∩B = ，则A – B = A
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -29-
A={2, 4}, B={4, 5, 6, 7}, C={0, 8, 9}, D={1, 2, 3} A－B， A－C， C－D， B－D
ξ第一讲 集合的概源自文库、表示与基本运算 -26-
集合的补运算 complement（–）
定义1.5： (4)设U为全集，A为任意集合，则所有 在全集U中但不属于A的元素所组成的集合称为A 的补集，记成A¯ 。即：A¯= {x | xU且xA } x A¯ x A
集合(sets)：指确定的、互相区别的、作整体识别的一 些事物（对象）的全体。简称集。 集合中的对象称为集合的元素(members)，或称为元、 成员。
当某一个对象a 是集合A的成员时，就说“a属于A”，
记成aA，当a 不是集合A的成员时，就说“a不属于 A”，记成aA 。 对于任何对象a和任何集合A，a要么属于A，要么不属 于A，二者必居其一。
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -23-
集合的并运算union （∪）
定义1.5：(1)设 A、B为任意集合，则由A、B的所 有元素合在一起所组成的集合称为A与B的并集， 记成A∪B。即：A∪B={x | xA或xB} x A∪B xA或xB
例1.6
U={0, 1, 2, …, 9} A={2, 4}, B={4, 5, 6, 7}, C={0, 8, 9}, D={1, 2, 3} A∪B， A∪C， C∪D， B∪D
B
A
A C
B
B
U
A∪B
A－B
(A∪B)¯ ∩C
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-28-
关于并、交、差、补运算的一些直观结论
A∪A = A，A∪ = A，A∪U = U A∩A = A，A∩ = ，A∩U = A
A – A = ，A – = A，A – U = ， – A =
一般而言， A – (B – C) ≠ (A – B) – C
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -30-
关于分配律和吸收率
分配律 a×(b + c) = a×b + a×c A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
A∩(B－C) = (A∩B)－(A∩C) 一般而言，A∪(B－C) ≠ (A∪B)－(A∪C)
集合与元素
集合中的元素可以是任何具体或抽象的个体，也 可以是集合
A = { 1，2，{1，2} }
集合与其成员是两个截然不同的概念
1≠{1}
{{a}}≠{a}
通常用大写字母A, B, C表示集合，用小写字母a, b, c表示集合的元素（并非绝对）
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -9-
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-24-
集合的交运算intersection（∩）
定义1.5： (2)设 A、B为任意集合，则由A、B的 公共元素所组成的集合称为A与B的交集，记成A ∩B。即： A∩B={x | xA并且xB}
x A∩B xA并且xB
例1.6
U={0, 1, 2, …, 9} A={2, 4}, B={4, 5, 6, 7}, C={0, 8, 9}, D={1, 2, 3} A∩B， A∩C， C∩D， B∩D ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
关于交换律和结合律
交换律
2+3 = 3+2，a×b = b×a A∪B = B∪A，A∩B = B∩A
一般而言，A – B≠ B – A
结合律
2+(3+5) = (2+3)+5 ， a×(b×c) = (a×b)×c A∪(B∪C) = (A∪B) ∪C A∩(B∩C) = (A∩B) ∩C
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-19-
关于子集的若干定理
定理1.1：对任何集合A，B，A=B当且仅当AB且BA 。 对任何集合A， AA
定理1.3：对于任何集合A，B，C，若AB，BC，则A C。
证明：设x为A中任一元素，
因为AB，所以xB；
又因为BC，所以xC 这就是说，A中所有元素均属于C，所以有AC。
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -10-
集合的表示方法
归纳法（以后介绍） 文氏图（常用于表示集合之间的关系 ）
U
A B
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-11-
常用集合及其表示
{0, 1} = {x | x=0 或 x=1}
自然数集合（或非负整数的集合）
N = { 0, 1, 2, 3, … }
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-14-
空集、有限集和无限集
定义1.1：没有任何元素的集合称为空集，记为 ， = { }。由全体对象组成的集合称为全集，记为 U。 定义1.2：只含有限多个元素的集合称为有限集； 不是有限集的集合称为无限集。
空集是有限集 有限集合A中元素的个数称为A的基数(cardinality)，记 为|A| 空集的基数是0，即|| = 0
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-22-
集合的运算
集合运算——以集合作为运算对象，运算结果仍为集合的 运算 算术运算：3+5=8 4×6=24 集合运算：{1, 2}{2, 3}={2} 有哪些集合运算 交、并、差、补 {1, 2}{2, 3}={1, 2, 3}
求幂运算
广义并、交 求笛卡尔积运算
例1.6
U={0, 1, 2, …, 9} A={2, 4}, B={4, 5, 6, 7}, C={0, 8, 9}, D={1, 2, 3} A¯， B¯， C¯， D¯
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -27-
文氏图表示的集合并、交、差、补运算
U A A
U A B
U
A
A¯
A∩B
U
U
A
外延性公理事实上刻画了集合元素的无序性、相异 性及集合表示形式的不唯一性
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -17-
子集合(subsets)
定义1.3：设A，B为集合，若A中每一个元素都同时是B的 元素，则称A是B的子集。即对于任意元素x，当x属于A时 一定有x属于B。表示为AB，读成A包含于B，或B包含A。 任意集合A均是自己的子集，即：AA 若要说明A不是B的子集，只须在A中找到某一个元素x， 使得xB即可 定义1.4：设A、B为集合，当AB且AB时，称A为B的真 子集，记成AB。读做A真包含于B，或B真包含A
外延性公理：两个集合相等当且仅当这两个集合具 有完全相同的成员。
即对任意的集合A和B：A = B 当且仅当对任意元素x，x属 于A则一定有x属于B；反之，x属于B也一定有x属于A。 也就是说，集合A中的所有元素均是集合B中的元素，反 之，B中的所有元素均是A中的元素 例1.4 {0, 1} = {1, 0} = {0, 1, 0} = {x | x(x2-2x+1)=0}
整数集合
I = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …}
正整数集合
I+ = { 1, 2, 3, …} = { x | x I 且 x > 0}
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-12-
常用集合及其表示
偶数集合
E = { …, -4, -2, 0, 2, 4, … } = { x | x是偶数 } = { x | x I 且 2|x }
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -15-
空集、有限集和无限集举例
{x | x=0 或 x=1}
自然数集合N 正整数集合 A = { 1，2，{1，2} } {}
师范大学全体学生
方程x2 + x + 1 = 0 的根
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-16-
外延性公理（extensionality axiom）
计算机专业基础课程
授课人：梁妍
离散数学的特点与学习要求
特点
离散性 抽象性 逻辑性 有难度
要求
预习 复习 独立完成作业
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1.1
1.2 1.3
集合的概念与表示
集合运算
集合的归纳定义
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集合论是一门研究数学基础的学科，产生于16世纪末 德国数学家康托（Georg Cantor, 1845~1918）通过集合 的直观定义开创了朴素集合论，被公认为集合理论的创 始人 1902年英国数学家罗素（Russell, 1872~1970 ）证明朴素 集合论导致悖论，随后为弥补这一缺陷出现了各种公理 化集合论体系 集合不仅可以表示数及其运算，更可以用于非数值信息 及离散结构的表示和处理。集合论的原理和方法作为数 学基本技术广泛地应用于计算机科学的基础研究和实际 应用中
-25-
集合的差运算difference（–）
定义1.5： (3)设 A、B为任意集合，则由在A中而 不在B中的元素所组成的集合称为A对B的差，记 成A–B。即：A – B = {x | xA且xB} x A – B xA并且x B
例1.6
U={0, 1, 2, …, 9}
前n个自然数的集合
Nn = { 0，1，2，…, n-1} = { x | x N 且 x < n }
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算
-13-
常用集合及其表示
P：全体素数的集合
Q：全体有理数的集合 Q＋：全体正有理数的集合 R：全体实数的集合 R＋ ：全体正实数的集合
C：全体复数的集合
《离散数学》第1讲
集合的概念、表示与基本运算
Page 1 to 7
内容提要
基础知识
集合、元素的概念 怎样表示一个集合（列举、描述 … ） 空集、全集、有限集、无限集
外延性公理
集合相等、子集、若干定理
集合的基本运算
并、交、差、补 幂集运算
ξ第一讲 集合的概念、表示与基本运算 -6-
何为集合？何为元素？
集合的表示方法
列举法（枚举法）
{a, b, c}, {秦始皇，汉武帝} {1, 2, 3, 4, …} , {2, 4, 6, 8, …}
{1, 2, 4, 7, 11, …}
描述法
A = {x | P(x)}（A中的元素均满足性质P，而A以外的 元素一个也不满足性质P） x A P(x) {x | x是整数且x>0}、 {x | x2 -2 x + 1 = 0 } {x | x出生于大连} 、{x | x是0到1区间的实数}