北大出版社 泛函分析 习题答案

由习题 1.4.7, 存在 x0 ∈ X , 使 x0 ≤ 2 [x0] 0 ≤ 2M y0 .
若 y0 = 0, 由习题 1.4.7, 存在 xn ∈ [xn], xn ≤ 2 [xn] 0 ≤ 2M yn → 0.
在
若 y0 [zn] ∈
= 0, 由 yn X /N (A), 使
→ y0, 则存在 k, 当 n A˜[zn] = yn − y0. 由习题
6.4 自伴扩张 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.5 自伴算子的扰动 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
.
证明: 存在 {xn} ⊂ X , 使
f
−
1 n
<
|f (xn)| xn
≤
f
.
令
yn
=
|f
1 (xn
)|
xn
,
则
|f (yn)|
=
1.
f
−
1 n
<
|f (xn)| xn
=
1 yn
≤
1 d
.
令 n → ∞ 可得
f
≤
1 d
.
另一方面, |f (x)| ≤
f
Hale Waihona Puke Baidu
x,
当 |f (x)| = 1 时, 有 1 ≤ f
泛函分析习题
Contents
1 度量空间
2
1.6 内积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 线性算子与线性泛函
2
2.1 线性算子的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3.4 设 X , Y 是 B∗ 空间, D 是 X 的线性子空间并且 A : D → Y 是线性映射. 求证: (1) 如果 A 连续且 D 是闭的, 则 A 是闭算子; (2) 如果 A 连续且是闭算子, 那么 Y 完备蕴涵 D 完备; (3) 如果 A 是单射的闭算子, 则 A−1 也是闭算子; (4) 如果 X 完备, A 是单射的闭算子, R(A) 在 Y 中稠密并且 A−1 连续, 那么 R(A) = Y .
1
1 度量空间
1.6 内积空间
1.6.1 (极化恒等式) 设 a 是复线性空间 X 上的共轭双线性函数, q 是由 a 诱导的二次型, 求 证: ∀x, y ∈ X 有
a(x, y)
=
1 4
{q(x
+
y)
−
q(x
−
y)
+
iq(x
+
iy)
−
iq(x
−
iy)}.
证明: 按照定义展开.
1.6.4 设 M, N 是内积空间中的两个子集, 求证: M ⊂ N =⇒ N ⊥ ⊂ M ⊥.
= lim
n→∞
Anx
= lim
n→∞
Anx
≤ lim
n→∞
An
x ≤M x ,
故 A ∈ L (X , Y ), 且 A ≤ limn→∞ An .
2.3.11 设 X , Y 是 B 空间, A ∈ L (X , Y ) 是满射. 求证: 如果在 Y 中 yn → y0, 则 ∃C > 0 与 xn → x0, 使得 Axn = yn, 且 xn ≤ C yn .
4.6 Fredholm 算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Banach 代数
19
5.1 代数准备知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
证明: 由 A 有界, 所以 N (A) 是闭子空间, 于是 X /N (A) 完备. 令 A˜ : X /N (A) → Y , [x] →
Ax. 则 A˜ 是单射, 满射且是线性的. 由 Banach 逆算子定理, A˜−1 有界, 设 A˜−1 = M . 于是,
由 yn → y0, 可知存在 {[xn]} ⊂ X /N (A), 使 A˜[xn] = yn, 则 [xn] 0 = A˜−1yn ≤ M yn .
6 无界算子
22
6.1 闭算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.2 Cayley 变换与自伴算子的谱分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 紧算子的谱理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4 Hilbert-Schmidt 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
证明: 显然 ϕ 是满射, 由开映象定理, ϕ 是开映射.
2.3.2 设 X , Y 是 B 空间, 又设方程 U x = y 对 ∀y ∈ Y 有解 x ∈ X , 其中 U ∈ L (X , Y ).
并且 ∃m > 0, 使得
Ux
≥ m x , ∀x ∈ X . 求证: U 有连续逆 U −1, 并且
U −1y
=
x
≤
1 m
Ux
=
1 m
y
,即
U −1
≤
1 m
.
2.3.3 设 H 是 Hilbert 空间, A ∈ L (H) 并且 ∃m > 0, 使得 |(Ax, x)| ≥ m x 2, ∀x ∈ H. 求 证: ∃A−1 ∈ L (H).
2
证明: 只需证明 A 既单又满. 设 Ax0 = 0, 则 0 = |(Ax0, x0)| ≥ m x0 2, 故 x0 = 0, 说 明 A 单. 对 ∀x0 ∈ R(A)⊥, 则有 (Ax0, x0) = 0, 于是, 由 |(Ax, x)| ≥ m x , 得 x0 = 0. 所以 R(A) 在 H 中稠密. 对 ∀y0 ∈ H, 存在 {xn}, 使 Axn − y0 → 0. 由 m xi − xj 2 ≤ |(A(xi − xj), xi − xj)| ≤ A(xi − xj) xi − xj , 可知 {xn} 是 H 中标准列. 由 H 完备, 设 xn → x0, 则由 A ∈ L (H), xn → x0, Axn → y0, 所以 Ax0 = y0, 即 A 满.
证明: 怎么看都是显然.
2.1.2 设 A ∈ L (X , Y ), 求证: (1) A = sup x ≤1 Ax ; (2) A = sup x <1 Ax .
证明: 显然.
2.1.5 设 f 是 X 上的非零线性有界泛函, 令 d = inf{ x
| f (x) = 1}, 求证:
f
=
1 d
2.3.7 设 X 是 B 空间, Y 是 B∗ 空间, An ∈ L (X , Y ), (n = 1, 2, · · · ), 又对 ∀x ∈ X , {Anx} 在 Y 中收敛. 求证: ∃A ∈ L (X , Y ), 使得 Anx → Ax, ∀x ∈ X , 并且 A ≤ limn→∞ An .
4 紧算子与 Fredholm 算子
8
4.1 紧算子的定义和基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Riesz-Fredholm 理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
证明: ∀x ∈ N ⊥, 则 (x, y) = 0, ∀y ∈ N . 于是 (x, y) = 0, ∀y ∈ M . 即 x ∈ M ⊥.
2 线性算子与线性泛函
2.1 线性算子的概念
2.1.1 求证: T ∈ L (X , Y ) 的充分必要条件是 T 为线性算子并将 X 中的有界集映为 Y 中 的有界集.
x ,即
x
≥
1 f
.
从而 d ≥
1 f
.
2.1.6 设 f ∈ X ∗, 求证: ∀ε > 0, ∃x0 ∈ X , 使得 f (x0) = f , 且 x0 < 1 + ε.
证明:
2.3 纲与开映象定理
2.3.1 设 X 是 B 空间, X0 是 X 的闭子空间. 映射 ϕ : X → X /X0 定义为 ϕ : x → [x], ∀x ∈ X , 求证: ϕ 是开映射.
2.3 纲与开映象定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.4 Hahn-Banach 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
U −1
≤
1 m
.
证明: 方程 U x = y 对 ∀y ∈ Y 有解 x ∈ X , 说明 U 是满射. ∃m > 0, 使得 U x ≥ m x ,
∀x ∈ X , 说明 U 是单射. 由 Banach 逆算子定理, U −1 ∈ L (Y , X ). 并且 ∀y ∈ Y , y = 0,
设 U −1y = x, 有
2.5 共轭空间, 弱收敛, 自反空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.6 线性算子的谱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
证明: (1) 设 {xn} ⊂ D, xn → x0, Axn → y0. 由 D 是闭的, 知 x0 ∈ D. Axn − Ax0 ≤ A xn − x0 → 0, 所以 Axn → Ax0, 所以 y0 = Ax0. (2) 设 {xn} ⊂ D, 是 X 中标准列. 因为 A 连续, 所以 Axn 是 Y 中标准列. 由 Y 完备, 所以 Axn 收敛, 设 Axn → y0. 由定理 2.3.12(B.L.T), A 能唯一的延拓到 D 上成为连续线性 算子 A1, 使 A1|D = A, A1 = A . 设 xn → x0, 其中 x0 ∈ D. 于是, xn → x0, Axn → y0, 由 A 闭, 得 x0 ∈ D, Ax0 = y0. 即 D 闭. (3) 由 A 单, A−1 存在, 且 D(A−1) = R(A). 设 yn −Y→ y0, A−1yn −X −→ x0. 记 xn = A−1yn. 则有 xn = A−1yn −X −→ x0, Axn = yn −Y→ y0. 由 A 是闭算子, 所以 Ax0 = y0, 即 x0 = A−1y0. (4) 对 ∀y0 ∈ Y , 由 R(A) 在 Y 中稠密, 所以 ∃{yn} ⊂ R(A), yn → y0. 于是存在 {xn} ⊂ X , 使 Axn = yn, ∀n. 又因为 {yn} 是 Y 中标准列, A−1 连续, 所以 {xn} 是 X 中的标 准列. 由 X 完备, 设 xn → x0. 由 Axn = yn → y0, 且 A 是闭算子, 可得 Ax0 = y0. 于 是 y0 ∈ R(A), 所以 R(A) = Y .
5.2 Banach 代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.4 C∗ 代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
证明: ∀x ∈ X , 定义映射 A : X → Y , x → lim Anx. 显然 A 是线性映射. 对 ∀x ∈ X , {Anx} 收敛, 故 ∀x ∈ X , 有 sup{ Anx | n ≥ 1} < ∞. 由共鸣定理, 存在 M , 使得 An ≤ M , ∀n ≥ 1. 于是
Ax