第1课时相似三角形的定义及判定1
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图 4－4－12
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
解：(1)证明：∵△ABC,△ADE 均为等边三角形, ∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°, ∴∠ADB＋∠FDC＝∠DFC＋∠FDC, ∴∠ADB＝∠DFC. ∴△ABD∽△DCF. (2)∵∠C＝∠E,∠AFE＝∠DFC, ∴△AEF∽△DCF, ∴△ABD∽△AEF. ∵△ABC 与△ADE 均为等边三角形, ∴△ABC∽△ADE. ∵∠ADC＝∠ADF＋∠CDF＝∠C＋∠CDF＝∠AFD,又∠DAF＝∠CAD, ∴△ADF∽△ACD. 故除了△ABD∽△DCF 外,图中的相似三角形还有：△AEF∽△DCF,△ABD∽△ AEF,△ABC∽△ADE,△ADF∽△ACD.
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
知识点 2 利用两角分别相等判定三角形相似
7. 如图 4－4－3 所示的三个三角形,相似的是( A )
图 4－4－3 A. (1)和(2) B. (2)和(3) C. (1)和(3) D. (1)和(2)和(3)
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
8. （教材习题 4. 5 第 3 题变式题 ）如图 4－4－4,在 Rt△ABC 中,CD
是斜边 AB 上的高,则图中相似三角形有( D )
A. 0 对
B. 1 对 C. 2 对 D. 3 对
图 4－4－4
[解析] ∵CD 是斜边 AB 上的高,∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠CAD＝∠BAC,∴Rt△ACD∽Rt△ABC. ∵∠DBC＝∠CBA,∴Rt△ABC∽Rt△CBD, ∴Rt△CBD∽Rt△ACD. 共有 3 对. 故选 D.
∠B′的度数与其对应角∠B 的度数相比( D )
A. 增加了 10%
B. 减少了 10%
C. 增加了(1＋10%)
D. 没有改变Leabharlann Baidu
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
4. 如图 4－4－1,已知△ADE∽△ACB,且∠ADE＝∠C,则 AD∶AC 等 于( B )
A. AE∶AC
图 4－4－1 B. DE∶CB C. AE∶BC
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
2. 已知△ABC∽△A′B′C′,且 BC∶B′C′＝AC∶A′C′,若 AC＝3,A′
C′＝4. 5,则△A′B′C′与△ABC 的相似比为( B )
A. 1∶3
B. 3∶2
C. 3∶5
D. 2∶3
3. (2017·河北)若△ABC 的每条边长都增加各自的 10%得△A′B′C′,则
第1课时相似三角形的定 义及判定1
2020/8/17
第四章 图形的相似
第1课时 相似三角形的 定义及其判定1
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
A 知识要点分类练
知识点1 对相似三角形定义的理解
1. 下列说法中错误的是( B ) A. 两个全等三角形一定相似 B. 两个直角三角形一定相似 C. 两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例 D. 相似的两个三角形不一定全等
图 4－4－9
[解析] ∵截得的小三角形与△ABC 相似, ∴过点 P 作 AC 的垂线,作 AB 的垂线,作 BC 的垂线, 所截得的三角形均满足题意,则点 D 的位置最多有 3 处.
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
14. 如图 4－4－10,在△ABC 中,AB＝AC,BD＝CD,CE⊥AB 于点 E. 求证：△ABD∽△CBE.
求：(1)∠ADE 的度数；
(2)∠AED 的度数；
( 3)DE 的长.
图 4－4－2
解：(1)∵△ABC∽△ADE,∴∠ADE＝∠B＝50°. (2)在△ADE 中,∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°, ∴∠AED＝180°－70°－50°＝60°.
(3)∵△ADE∽△ABC,∴AADB＝DBCE,即6＋6 3＝D9.E9,∴DE＝6. 6(cm).
解：答案不唯一,如△ADE∽△BDA. 证明：∵∠CAB＝30°,∠BAD＝60°, ∴∠DAE＝30°＝∠DBA. 又∵∠ADE＝∠BDA＝90°, ∴△ADE∽△BDA.
图 4－4－6
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
B 规律方法综合练
11. 如图 4－4－7,在▱ABCD 中,E 是 AD 延长线上一点,BE 交 AC 于点 F,交 DC 于点 G,则下列结论中错误的是 ( D )
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
12. [2016·安徽] 如图 4－4－8,在△ABC 中,AD 是中线,BC＝8,∠B＝ ∠DAC,则线段 AC 的长为( B )
A. 4
B. 4 2 C. 6 D. 4 3
图 4－4－8
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
13. 如图 4－4－9,已知 P 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上任意一点,若过点 P 作直线 PD 与直角边 AB 或 AC 相交于点 D,截得的小三角形与 △ABC 相似,则点 D 的位置最多有_____3___处.
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
9. 如图 4－4－5,添加一个条件：____∠__A_D_E_＝__∠__C_(_答_案__不__唯_一__)_____(写 出一个即可),使△ADE∽△AC B.
图 4－4－5
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
10. 将两块大小一样的含 30°角的直角三角板叠放在一起,使得它们 的斜边 AB 重合,直角边不重合(如图 4－4－6),AC 与 BD 相交于点 E.连接 CD,请写出图中的一对相似三角形,并加以证明.
证明：∵△PMN 是等边三角形, ∴∠PMN＝60°,PN＝MP, ∴∠AMP＝180°－∠PMN＝120°＝∠APB. 又∵∠A＝∠A, ∴△AMP∽△APB,
∴AAMP ＝MPBP, ∴AM·PB＝MP·AP, ∴AM·PB＝PN·AP.
图 4－4－11
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
16. （教材习题 4. 5 第 4 题变式题）如图 4－4－12,点 D 在等边三角 形 ABC 的 BC 边上,△ADE 为等边三角形,DE 与 AC 相 交 于 点 F. (1)求证：△ABD∽△DCF； (2)除了△ABD∽△DCF 外,请写出图中其他所 有的相似三角形.
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
C 拓广探究创新练
17. 如图 4－4－13,在平面直角坐标系内,已知点 A(0,6),点 B(8,0).动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移 动,同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速 度向点 A 移动,设点 P,Q 移动的时间为 t 秒. (1)求直线 AB 的函数表达式； (2)当 t 为何值时,△APQ 与△AOB 相似？ 并求出此时点 P 与点 Q 的坐标. 图 4－4－13
[解析] ∵△ABC∽△A′B′C′,
∴AA′BB′＝BB′CC′,即21＝B′3C′, 解得 B′C′＝1. 5. 故选 A.
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
6. 如图 4－4－2 所示,已知△ABC∽△ADE,AD＝6 cm,BD＝3 cm,BC
＝9. 9 cm,∠A＝70°,∠B＝50°.
D. DE∶AB
[解析] 根据相似三角形的定义可知,△ADE∽△ACB,且∠ADE 和∠C 是对 应角,因此 AD,AC 与 DE,CB 对应成比例.
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
5. 若△ABC∽△A′B′C′,AB＝2,BC＝3,A′B′＝1,则 B′C′等于( A )
A. 1. 5
B. 3 C. 2 D. 1
证明：∵在△ABC 中,AB＝AC,BD＝CD, ∴AD⊥BC. ∵CE⊥AB, ∴∠ADB＝∠CEB＝90°. 又∵∠B＝∠B, ∴△ABD∽△CBE.
图 4－4－10
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
15. 如图 4－4－11,△PMN 是等边三角形,∠APB＝120°,求证： AM·PB＝PN·AP.
A. △ABE∽△DGE B. △CGB∽△DGE C. △BCF∽△EAF D. △ACD∽△GCF
图 4－4－7
[解析] ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠EDG＝∠EAB. 又∵∠E＝∠E,∴△ABE∽△DGE； ∵AE∥BC,∴∠EDG＝∠BCG,∠E＝∠CBG,∴△CGB∽△DGE； ∵AE∥BC,∴∠E＝∠FBC,∠EAF＝∠BCF,∴△BCF∽△EAF. 第四个无法证得. 故选 D.
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
解：(1)证明：∵△ABC,△ADE 均为等边三角形, ∴∠B＝∠C＝∠ADE＝60°, ∴∠ADB＋∠FDC＝∠DFC＋∠FDC, ∴∠ADB＝∠DFC. ∴△ABD∽△DCF. (2)∵∠C＝∠E,∠AFE＝∠DFC, ∴△AEF∽△DCF, ∴△ABD∽△AEF. ∵△ABC 与△ADE 均为等边三角形, ∴△ABC∽△ADE. ∵∠ADC＝∠ADF＋∠CDF＝∠C＋∠CDF＝∠AFD,又∠DAF＝∠CAD, ∴△ADF∽△ACD. 故除了△ABD∽△DCF 外,图中的相似三角形还有：△AEF∽△DCF,△ABD∽△ AEF,△ABC∽△ADE,△ADF∽△ACD.
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
知识点 2 利用两角分别相等判定三角形相似
7. 如图 4－4－3 所示的三个三角形,相似的是( A )
图 4－4－3 A. (1)和(2) B. (2)和(3) C. (1)和(3) D. (1)和(2)和(3)
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
8. （教材习题 4. 5 第 3 题变式题 ）如图 4－4－4,在 Rt△ABC 中,CD
是斜边 AB 上的高,则图中相似三角形有( D )
A. 0 对
B. 1 对 C. 2 对 D. 3 对
图 4－4－4
[解析] ∵CD 是斜边 AB 上的高,∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠CAD＝∠BAC,∴Rt△ACD∽Rt△ABC. ∵∠DBC＝∠CBA,∴Rt△ABC∽Rt△CBD, ∴Rt△CBD∽Rt△ACD. 共有 3 对. 故选 D.
∠B′的度数与其对应角∠B 的度数相比( D )
A. 增加了 10%
B. 减少了 10%
C. 增加了(1＋10%)
D. 没有改变Leabharlann Baidu
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
4. 如图 4－4－1,已知△ADE∽△ACB,且∠ADE＝∠C,则 AD∶AC 等 于( B )
A. AE∶AC
图 4－4－1 B. DE∶CB C. AE∶BC
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
2. 已知△ABC∽△A′B′C′,且 BC∶B′C′＝AC∶A′C′,若 AC＝3,A′
C′＝4. 5,则△A′B′C′与△ABC 的相似比为( B )
A. 1∶3
B. 3∶2
C. 3∶5
D. 2∶3
3. (2017·河北)若△ABC 的每条边长都增加各自的 10%得△A′B′C′,则
第1课时相似三角形的定 义及判定1
2020/8/17
第四章 图形的相似
第1课时 相似三角形的 定义及其判定1
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
A 知识要点分类练
知识点1 对相似三角形定义的理解
1. 下列说法中错误的是( B ) A. 两个全等三角形一定相似 B. 两个直角三角形一定相似 C. 两个相似三角形的对应角相等,对应边成比例 D. 相似的两个三角形不一定全等
图 4－4－9
[解析] ∵截得的小三角形与△ABC 相似, ∴过点 P 作 AC 的垂线,作 AB 的垂线,作 BC 的垂线, 所截得的三角形均满足题意,则点 D 的位置最多有 3 处.
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
14. 如图 4－4－10,在△ABC 中,AB＝AC,BD＝CD,CE⊥AB 于点 E. 求证：△ABD∽△CBE.
求：(1)∠ADE 的度数；
(2)∠AED 的度数；
( 3)DE 的长.
图 4－4－2
解：(1)∵△ABC∽△ADE,∴∠ADE＝∠B＝50°. (2)在△ADE 中,∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°, ∴∠AED＝180°－70°－50°＝60°.
(3)∵△ADE∽△ABC,∴AADB＝DBCE,即6＋6 3＝D9.E9,∴DE＝6. 6(cm).
解：答案不唯一,如△ADE∽△BDA. 证明：∵∠CAB＝30°,∠BAD＝60°, ∴∠DAE＝30°＝∠DBA. 又∵∠ADE＝∠BDA＝90°, ∴△ADE∽△BDA.
图 4－4－6
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
B 规律方法综合练
11. 如图 4－4－7,在▱ABCD 中,E 是 AD 延长线上一点,BE 交 AC 于点 F,交 DC 于点 G,则下列结论中错误的是 ( D )
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
12. [2016·安徽] 如图 4－4－8,在△ABC 中,AD 是中线,BC＝8,∠B＝ ∠DAC,则线段 AC 的长为( B )
A. 4
B. 4 2 C. 6 D. 4 3
图 4－4－8
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
13. 如图 4－4－9,已知 P 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上任意一点,若过点 P 作直线 PD 与直角边 AB 或 AC 相交于点 D,截得的小三角形与 △ABC 相似,则点 D 的位置最多有_____3___处.
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
9. 如图 4－4－5,添加一个条件：____∠__A_D_E_＝__∠__C_(_答_案__不__唯_一__)_____(写 出一个即可),使△ADE∽△AC B.
图 4－4－5
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
10. 将两块大小一样的含 30°角的直角三角板叠放在一起,使得它们 的斜边 AB 重合,直角边不重合(如图 4－4－6),AC 与 BD 相交于点 E.连接 CD,请写出图中的一对相似三角形,并加以证明.
证明：∵△PMN 是等边三角形, ∴∠PMN＝60°,PN＝MP, ∴∠AMP＝180°－∠PMN＝120°＝∠APB. 又∵∠A＝∠A, ∴△AMP∽△APB,
∴AAMP ＝MPBP, ∴AM·PB＝MP·AP, ∴AM·PB＝PN·AP.
图 4－4－11
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
16. （教材习题 4. 5 第 4 题变式题）如图 4－4－12,点 D 在等边三角 形 ABC 的 BC 边上,△ADE 为等边三角形,DE 与 AC 相 交 于 点 F. (1)求证：△ABD∽△DCF； (2)除了△ABD∽△DCF 外,请写出图中其他所 有的相似三角形.
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
C 拓广探究创新练
17. 如图 4－4－13,在平面直角坐标系内,已知点 A(0,6),点 B(8,0).动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移 动,同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速 度向点 A 移动,设点 P,Q 移动的时间为 t 秒. (1)求直线 AB 的函数表达式； (2)当 t 为何值时,△APQ 与△AOB 相似？ 并求出此时点 P 与点 Q 的坐标. 图 4－4－13
[解析] ∵△ABC∽△A′B′C′,
∴AA′BB′＝BB′CC′,即21＝B′3C′, 解得 B′C′＝1. 5. 故选 A.
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
6. 如图 4－4－2 所示,已知△ABC∽△ADE,AD＝6 cm,BD＝3 cm,BC
＝9. 9 cm,∠A＝70°,∠B＝50°.
D. DE∶AB
[解析] 根据相似三角形的定义可知,△ADE∽△ACB,且∠ADE 和∠C 是对 应角,因此 AD,AC 与 DE,CB 对应成比例.
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
5. 若△ABC∽△A′B′C′,AB＝2,BC＝3,A′B′＝1,则 B′C′等于( A )
A. 1. 5
B. 3 C. 2 D. 1
证明：∵在△ABC 中,AB＝AC,BD＝CD, ∴AD⊥BC. ∵CE⊥AB, ∴∠ADB＝∠CEB＝90°. 又∵∠B＝∠B, ∴△ABD∽△CBE.
图 4－4－10
第1课时 相似三角形的定义及其判定1
15. 如图 4－4－11,△PMN 是等边三角形,∠APB＝120°,求证： AM·PB＝PN·AP.
A. △ABE∽△DGE B. △CGB∽△DGE C. △BCF∽△EAF D. △ACD∽△GCF
图 4－4－7
[解析] ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠EDG＝∠EAB. 又∵∠E＝∠E,∴△ABE∽△DGE； ∵AE∥BC,∴∠EDG＝∠BCG,∠E＝∠CBG,∴△CGB∽△DGE； ∵AE∥BC,∴∠E＝∠FBC,∠EAF＝∠BCF,∴△BCF∽△EAF. 第四个无法证得. 故选 D.