江苏盐城市2015届高三年级第一学 期期中考试 数学

盐城市2015届高三年级第一学期期中考试
数 学 试 题
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1. 若集合{}0,1A =，集合{}0,1B =-，则A
B = ▲ .
2．命题“若a b >, 则22a b
>”的否命题为 ▲ .
3．函数2()sin f x x =的最小正周期为 ▲ ． 4．若幂函数()()f x x Q αα=∈的图象过点2
(2,
)2
，则α= ▲ ． 5．若等比数列{}n a 满足23a =，49a =，则6a = ▲ .
6．若,a b 均为单位向量，且(2)⊥-a a b ，则,a b 的夹角大小为 ▲ .
7．若函数12()21
x x m
f x ++=-是奇函数，则m = ▲ .
8．已知点P 是函数()cos (0)3
f x x x π
=≤≤图象上一点，则曲线()y f x =在点P 处的切线斜率的最小值为
▲ .
9．在等差数列}{n a 中，n S 是其前n 项和，若75=+4S S ，则93S S -= ▲ . 10．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若4a =，
3b =，2A B =，则sin B = ▲ .
11．如图，在等腰ABC ∆中，=AB AC ，M 为BC 中点，点D 、
E 分别在边AB 、AC 上，
且1
=2
AD DB ，=3AE EC ，若90DME ∠=，则cos A =
▲ .
12．若函数2
()2f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲ . 13. 设函数2
1
1*32
24()n n y x x n N --=-⨯+⨯∈的图象在x 轴上截得的线段长为n d ，记数列{}n d 的前n 项和为n S ，
若存在正整数n ，使得()
2
2log 118m n n S -+≥成立，则实数m 的最小值为 ▲ .
14．已知函数32|2|(1)
()ln (1)x x x x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩
，若命题“t R ∃∈，且0t ≠，使得()f t kt ≥”是假命题，则实数k 的
取值范围是 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的
M
E
D
A B C
第11题
指定区域内.
15. (本小题满分14分)
已知函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>满足(0)3f =，且()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π. （1）求a 与ω的值； （2）若()1f α=，(,)22ππ
α∈-，求5cos()12
π
α-的值.
16. (本小题满分14分)
设函数2lg(43)y x x =-+-的定义域为A ，函数2
,(0,)1
y x m x =
∈+的值域为B . （1）当2m =时，求A B ；
（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
17. (本小题满分14分)
设△ABC 的面积为S ，且230S AB AC +⋅=. （1）求角A 的大小；
（2）若||3BC =，且角B 不是最小角，求S 的取值范围．
18. (本小题满分16分)
如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD ，其中,,AB CD DA 都是线段，曲线段BC 是抛物线的一部分，
且点B 是该抛物线的顶点，BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，AB =2米，3AD =米，A B A D ⊥，点C 到,AD AB 的距离,CH CR 的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形AEFG （其中点F 在曲线段BC 或线段CD 上，点E 在线段AD 上，点G 在线段AB 上）. 设BG 的长为x 米，矩形AEFG 的面积为S 平方米. （1）将S 表示为x 的函数；
D
（2）当x 为多少米时，S 取得最大值，最大值是多少？
19. (本小题满分16分)
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21132(2,)n n n S S S n n n N *-+++=+≥∈. （1）若{}n a 是等差数列，求{}n a 的通项公式； （2）若11a =.
① 当21a =时，试求100S ；
② 若数列{}n a 为递增数列，且3225k S =，试求满足条件的所有正整数k 的值.
20. (本小题满分16分)
已知函数()x
f x e =，()
g x x m =-，m R ∈.
（1）若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求实数m 的值； （2）记()()()h x f x g x =⋅，求()h x 在[]01，上的最大值； （3）当0m =时，试比较()
2f x e
-与()g x 的大小.
盐城市2015届高三年级第一学期期中考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. {}0,1,1-
2. 若a b ≤, 则22a b
≤ 3. π 4. 12-
5. 27
6. 3
π
7. 2 8. 32- 9. 12 10. 5
3
11. 15 12. [4,0]- 13. 13 14. 1(,1]e
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．解：（1）
(0)3f =，∴sin 0cos03a +=，解得3a =， ……………2分
∴()sin 3cos 2sin()3
f x x x x π
ωωω=+=+， ……………4分
()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π，
∴22||
T π
πω==，∴||1ω=，又0ω>，所以1ω=. ……………6分 （2）()1f α=，∴1
sin()32
πα+=， ……………8分
(,)22ππα∈-，∴5(,)366πππα+∈-，∴36ππα+=，即6π
α=-， ……………10分
∴57cos()cos
1212ππα-=，又7cos cos()1234πππ
=+， ∴526
cos()cos cos sin sin 1234344
πππππα--=⋅-⋅=
. …………14分 16．解：（1）由2
430x x -+->，解得13x <<，所以(1,3)A =， …………2分
又函数21y x =+在区间(0,)m 上单调递减，所以2(
,2)1y m ∈+，即2
(,2)1
B m =+， …………4分 当2m =时，2
(,2)3
B =，所以(1,2)A B =. …………6分
（2）首先要求0m >， …………8分
而“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A Ø，即2
(
,2)(1,3)1
m +?， …………10分 从而
2
11
m ≥+， …………12分 解得01m <≤. …………14分 17．解：（1）设ABC ∆中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，由230S AB AC +⋅=，
得1
2sin 3cos 02
bc A bc A ⨯+=，即sin 3cos 0A A +=， …………2分
所以tan 3A =-， …………4分
又(0,)A π∈，所以23
A π
=. …………6分
（2）因为3BC =，所以3a =， 由正弦定理，得32sin sin sin
3
b c
B C π==
， 所以2sin ,2sin b B c C ==， …………8分
从而1sin 3sin sin 3sin sin()23
S bc A B C B B π
===- …………10分
3131cos 233
3sin (cos sin )3(sin 2)sin(2)2244264B B B B B B π-=-=-=+-， …………12分
又5(,),2(,)63626B B πππππ∈+∈，所以3
(0,)4
S ∈. …………14分
（说明：用余弦定理处理的，仿此给分） 18．解：（1）以点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，
建立平面直角坐标系. …………2分
设曲线段BC 所在抛物线的方程为22(0)y px p =>，
将点(1,1)C 代入，得21p =， 即曲线段BC 的方程为(01)y x x =
≤≤. …………4分
又由点(1,1),(2,3)C D 得线段CD 的方程
为21(12)y x x =-≤≤. …………6分
C
D E F
H y
而2GA x =-，
所以(2),01,(21)(2),1 2.x x x S x x x ⎧-<≤⎪
=⎨--<<⎪⎩
…………8分
（2）①当01x <≤时，因为1322
(2)2S x x x x =-=-，
所以112
232322x
S x
x x
--'=-=
，由0S '=，得23x =， …………10分 当2
(0,)3
x ∈时，0S '>，所以S 递增；
当2(,1)3
x ∈时，0S '<，所以S 递减，所以当23x =
时，max 469S =； …………12分 ②当12x <<时，因为259
(21)(2)2()48
S x x x =--=--+，
所以当54x =时，max 9
8
S =； …………14分
综上，因为946
89
>，所以当54x =米时，max 98S =平方米. …………16分
（说明：本题也可以按其它方式建系，如以点A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，仿此给分）
19．解：（1）由等差数列求和公式211(1)()222
n n n d d
S na d n a n -=+
=+-， 11n n n S S S -+∴++222111(1)()(1)()(1)()(1)222222
d d d d d d
n a n n a n n a n =-+--++-+++-+
21(32)3(),22d d
n a n =++- ……………2分 ∴222113(32)3()3()322222d d d d
n a n n a n d n ++-=
+-+=+， ∴133,,222
d d
a d =-=，解得12,1d a ==，∴ 21n a n =-； ……………4分 （说明：也可以设2n S an bn =+；或令2,3n n ==，先求出首项1a 与公差d ） （2）由21132(2)n n n S S S n n -+++=+≥，
得2123(1)2n n n S S S n ++++=++ ， ……………6分
∴1263(2)n n n a a a n n ++++=+≥， ∴10012345679899100()()()S a a a a a a a a a a =+++++++
+++
1
1(6236983)33100002
=+⋅++⋅+⋅=. ………………8分
（说明：用21a =，利用分组方法求和，类似给分.）
（3）设2a x =，由21132(2)n n n S S S n n -+++=+≥，得12314S S S ++=与23429S S S ++=，
∴1233214a a a ++=，∴3112a x =-，
∴123433229a a a a +++=，∴44a x =+， ……………10分
又2123(1)2n n n S S S n ++++=++，∴1263(2)n n n a a a n n ++++=+≥，
∴1163(3)n n n a a a n n -+++=-≥， 相减得216(3)n n a a n +--=≥， ∴5266a a x =+=+，数列{}n a 为递增数列，
∴12345a a a a a <<<<，解得711
33
x <<， ……………12分
由312345678932313()()()k k k k S a a a a a a a a a a a a --=+++++++++
+++，
∴31
12(6436(32)3)(1)2
k S x k k =-+⋅++-+-，
∴2393225k S k x =-+=， ……………14分
∴2711
9222(,)33
x k =-∈，解得5k =. ……………16分
20．解：（1）设曲线()x f x e =与()g x x m =-相切于点()00,P x y ，由()x f x e '=，知0=1x
e ，
解得00x =， ……………2分 又可求得点P 为()01，，所以代入()g x x m =-，得1m =-. ……………4分 （2）因为()()x h x x m e =-，所以()()()(1),[0,1]x x x h x e x m e x m e x '=+-=--∈.
①当10m -≤，即1m ≤时，()0h x '≥，此时()h x 在[]01，上单调递增，
所以()()()max 11h x h m e ==-； ……………6分 ②当011m <-<即12m <<时，当()01x m ∈-，时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()1,1x m ∈-时，()0h x '>，()h x 单调递增，()0h m =-，()()11h m e =-.
(i)当()1m m e -≥-，即
21
e
m e ≤<-时，()()max 0h x h m ==-； (ii) 当()1m m e -<-，即11
e
m e <<-时，()()()max 11h x h m e ==-； ……………8分
③当11m -≥，即2m ≥时，()0h x '≤，此时()h x 在[]01，上单调递减，所以()()min 0h x h m ==-. 综上，当1e m e <
-时，()()max 1h x m e =-；当1
e
m e ≥-时，()max h x m =-. ……………10分 (3)当0m =时，()
2
2=x f x e e
e
--，()g x x =，
①当0x ≤时，显然()
()2f x e g x ->；
②当0x >时，()
2
22ln =ln x f x e
x e e e ---=，()ln ln g x x =，
记函数()2
21=ln ln x x
x e
x e x e
ϕ--=
⨯-， ……………12分
则()2
2111=
e x x x e e x x
ϕ-'⨯-=-，可知()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，又由()10ϕ'<，()20ϕ'>知，()x ϕ'在()0,+∞上有唯一实根0x ，且012x <<，则()0
2001=0x x e x ϕ-'-
=，即020
1
x e x -=（*）
， 当()00,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当()0+x x ∈∞，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 所以()()02
00=ln x x x e x ϕϕ-≥-， ……………14分
结合（*）式02
1
x e
x -=
，知002ln x x -=-， 所以()()()2
200000000
1211
=2=0x x x x x x x x x ϕϕ--+≥+-=>，则()2=ln 0x x e x ϕ-->， 即2
ln x e
x ->，所以2
x e
e x ->.
综上，()
()2f x e
g x ->. ……………16分
（说明：若学生找出两个函数()2
f x y e -=与()y
g x =图象的一条分隔线，如1y x =-，然后去证()21f x e x -≥-与
()1x g x -≥，且取等号的条件不一致，同样给分）。