山西省忻州市静乐县静乐一中2020届高三数学上学期期中试题理 【含答案】

2
-4-
期中考试数学答案（理）
一、 选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A D A B C D B A D
二、填空题：
13. 2 5
14. 2
25
15.
3
16. (, 1] e
三、解答题：
17.解：（1）设等差数列{an} 的公差设为 d , a2 S2 5 , S5 15 ,
图2
图3
-3-
20.(本小题满分 12 分)在 ABC 中,角 A , B , C 的对边分別为 a , b , c , 若 cos A 3 , B 2 A , b 3 . 4 （1）求 a ; （2）如图 4，点 M 在边 BC 上,且 AM 平分 BAC , 求 ABM 的面积.
图4
21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) x(1 ln x) , g(x) k(x 1) (k Z ) . （1）求函数 f (x) 的极值; （2）对任意的 x (1,) ,不等式 f (x) g(x) 都成立,求整数 k 的最大值.
（1）求数列{an} 的通项公式;
（2）求 1 1 1 .
a1a2 a2 a3
an an1
18.(本小题满分
12
分)已知向量
a
(2 cos
x,
sin
x)
,
b
(cos
x,2
3 cos x) ,
且
f
(x)
a
b
1.
（1）求 f (x) 的单调递增区间;
（2）先将函数 y f (x) 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 1 倍（纵坐标不变）,再将 2
[
3
k , 5 6
k ] , k
Z
.
…………………12 分 …………………4 分
…………6 分
-5-
（2）由题意知
g(x)
2 sin
4( x
x
6
)
,
………8 分
由
g(x)
1,得 sin(4x
)
1
,
x
[0,
] ,
4x
[
, 13
]
62
2
6 66
4x 7 或 4x 11 , x 或 x 5 ,
2.“ m 4 ”是“直线 x my 4m 2 0 与圆 x 2 y 2 4 相切”的 3
A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在 ABC 中,若 b cosC c cos B a sin A ,则角 A 的值为
A.
B.
C.
D. 2
3
6
2
一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 A {x | log 2 (x 3) 1}, B {x | 4 x 2} ,则 A B
A.{x | 3 x 2} B.{x | 4 x 1} C.{x | x 1} D.{x | x 4}
PO 2 OB 2 PB 2 , PO OB .
AC OB O , AC , OB 平面 ABC , PO 平面 ABC ,
PO 平面 PAC , 平面 PAC 平面 ABC ．
……………5 分
（2）解:由（1） PO 平面 ABC 知: PO OB , PO OC ,
3a1 2d 5 , 5a1 10d 15 ,解得 a1 d 1 . an 1 (n 1) n , n N .
………………4 分 ………………6 分
（2） 1 1 1 1 an an1 n(n 1) n n 1
………………8 分
1 1 1
a1a2 a2 a3
y2 z2
0 0 ,令 x2
1
,得
n2
(1,1,1) .
设二面角 P BC M 的平面角为 ,
………9 分 ………11 分
-6-
则 cos
cos
n1 , n2
n1 n1
n2 n2
5 11
5 33 . 3 33
二面角 P BC M 的余弦值为 5 33 . 33
………………12 分
8
8
sin C sin( A B) sin A cos B cos Asin B 5 7 , …………7 分 16
由正弦定理知 c a , c a sin C 5
sin C sin A
sin A 2
AM 平分 BAC , CM AC b 6 , BM AB c 5
BM 5 BC 5 2 10 , 11 11 11
3
4.已知定义域为[a 4,2a 2] 的奇函数 f (x) 满足 f (x) 2020x3 sin x b 2 ,
则 f (a) f (b)
A. 0
B.1
C. 2
D.不能确定
5.设 m , n 为空间两条不同的直线, , 为空间两个不同的平面,给出下列命题:
①若 m , m // ,则 ; ②若 m , n , m // , n // ,则 // ;
an an1
1 1 1
1 2 23
n (n 1)
1
1 2
1 2
1 3
1 n
1 n 1
n n 1
18.解:（1）函数 f (x) 2 cos 2 x 2 3 sin x cos x 1
2sin(2x ) 6
令
2k
2x
3
2k
,k Z
2
62
即
k
x
5
k
,k
Z
,
3
6
函数的单调增区间为
限内的点,延长 PF2 交椭圆于点 Q ,若 PF1 PQ ,且 PF1 PQ ,则椭圆的离心率为
-2-
A. 2 2
B. 3 2
C. 2 1
D. 6 3
二、填空题：本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知向量
a
(1,2)
,b
(2,2) ,
c
(1,
)
,若
c
//(a
所得图象向左平移 个单位,得到函数 y g(x) 的图象，求方程 12
g(x) 1在区间 x [0, ] 上所有根之和. 2
19.(本小题满分 12 分)已知三棱锥 P ABC（如图 2）的展开图如图 3,其中四边形 ABCD 为
边长等于 2 的正方形, ABE 和 BCF 均为正三角形. （1）证明:平面 PAC 平面 ABC ; （2）若 M 是 PA 的中点, 求二面角 P BC M 的余弦值.
66
66
4
12
故所有根之和为
5
2
.
4 12 3
………………12 分
19.解:（1）证明:如图取 AC 的中点 O ,连结 BO PO .
PA PB PC 2 , PO 1, AO BO CO 1, 在 PAC 中, PA PC , O 为 AC 的中点, PO AC .
在 POB 中, PO 1, OB 1, PB 2 ,
(二)选考题:共 10 分.请考生在 22,23 题中任选一题作答.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选 题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x 3)2 ( y 1)2 r 2 （ r 0 ）, 以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 sin( ) 1,且直线 l 与圆 C 相切.
③若 m // , n // ,则 m // n ; ④若 m , n // , // ,则 m n .
其中所有正确命题的序号是
A.①②
B.②③
C.①③
D.①④
6.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A. 3600 种
B.1440 种
C. 2400种
D. 4800 种
22
设平面
MBC
的法向量
n1
( x1 ,
y1 ,
z1 )
,
……………7 分
则 nn11
BC 0
,即
MC 0
x1
3 2
x1
y1 0
1 2
z1
0
,令
x1
1,得
n1
(1,1,3)
.
设平面 PBC 的法向量 n2
(x2 ,y2, z2 ) ,
则 nn22
BC PC
0
,即
x2
0 x2
7.如图 1，在矩形 OABC 内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为
-1-
A. e
B. e 1
C. 3 e
D. 4 e
3
3
3
3
8.已知
log2
x
log3
y
log5
z
0
,则
2 x
,
3 y
,
5 z
的大小顺序为
图1
A. 5 2 3 B. 3 2 5 C. 2 3 5 D. 5 3 2
山西省忻州市静乐县静乐一中 2020 届高三数学上学期期中试题 理
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写