4.6Riemann-Christoffel张量(曲率张量)

s Γ ik r r r s r s r Sikj = ai,kj ar ,k Γ ij ai,r Γ kj ar , j Γ ik as j Γ rk Γ ij Γ ir Γ kj x
s s Γ ik Γ ij i j k s r r s i j k (Sijk Sikj )g g g = as j k + Γ rj Γik Γij Γ rk g g g x x Γ lik Γ lij i j k s l r r l = as g + Γ rj Γ ik Γ ij Γ rk gl g g g x j x k = as g s Rlijk gl g i g j g k
xi = xi ξ 1, ξ 2
(
)
i = 1, 2, 3
称为Gauss 坐标，xi 是 ξ α 的单值函数。 坐标， 的单值函数。 ( ξ 1，ξ 2 ) 称为
Q ( ξ 1来自百度文库dξ 1，ξ 2+dξ 2 )
ξ2
切平面 Π
ds
dρ
ξ1
P ( ξ 1 ，ξ 2 )
曲面上相邻两点之间的距离的平方
ds 2 = dρ dρ = aαβ dξ α dξ β
y l ′ det p = 0 x
则
2x p x r x q p X p = i ′ j ′ + i′ Γ rq = 0 j′ y y y y
( p,
i′, j ′ = 1, 2, 3)
p 的函数，故表示了一组18个 上式中 Γ rq 是坐标 x p(yi ) 的函数，故表示了一组 个 x p 对于
2 x p x r x q p X p = i′ j ′ + i′ j ′ Γ rq y y y y
Γ li′′j′ = 0 可以看作是 X p 的一组（三个）齐次线性代数方程组 的一组（三个）
y l ′ p X =0 p x
(l ′ = 1,
2, 3)
新老坐标系一一对应， 新老坐标系一一对应，故应满足行列式
是与坐标无关的标量， 是一个正定二次型， 式中 ds2 是与坐标无关的标量，aαβ 是一个正定二次型，称为 曲面的第一基本型系数。对于这种距离的平方 ds2 的由一个正 面的第一基本型系数。 定二次型决定的空间， 空间。 定二次型决定的空间，定义为 Riemann 空间。Euclidean 空间 空间。 本身也是一中特殊的 Riemann 空间。
张量的性质 4.6.4 Riemann-Christoffel 张量的性质
Riemann-Christoffel 张量的81个（三维空间）或16个 张量的 个 三维空间） 个 （二维空间）分量并非完全独立。 二维空间）分量并非完全独立。
Γ rjl Γ rjk r r s s r Rijkl = g ir R jkl = g ir k l + Γ sk Γ jl Γ jk Γ sl x x Γ rjl Γ jl ,i r r g ir k = k (g ir Γ jl ) Γ jl g ir ,k = Γ rjl (Γ ik ,r + Γ rk ,i ) 式中 x x x k
张量分析 及连续介质力学
张量(曲率张量) 4.6 Riemann-Christoffel 张量(曲率张量)
4.6.1 Euclidean 空间与 Riemann 空间
Euclidean 空间是指 Euclidean 几何学能够成立的空 间。例如：平面、平面经等距变换而成的可展曲面（如 例如：平面、平面经等距变换而成的可展曲面（ 等距变换而成的可展曲面 圆柱面、圆锥面等） 圆柱面、圆锥面等）都是三维 Euclidean 空间的二维子 空间，在其上，Euclidean 几何学仍然适用。 几何学仍然适用。 空间，在其上， 对于 Euclidean 空间，必定存在一个适用于全空间 n 空间， 的笛卡儿坐标系， 的笛卡儿坐标系，其他的坐标系与此笛卡儿坐标系满足 一一对应的坐标转换关系。 一一对应的坐标转换关系。 空间中可以定义两个矢量的点积： 在 Euclidean 空间中可以定义两个矢量的点积：
k 变换变为gkl=const），即找不到一个坐标系使 Γ ij = 0 。 ），即找不到一个坐标系使 变换变为 ），
4.6.2 Euclidean 空间应满足的条件
给定一组曲线坐标系 xi，从而得到它的度量张量 gjk 及 全部（ 全部（共18个）Γ ij ，寻找一组新坐标系 个
k
y l′ = y l′ xi
1 空间， 对于一个 m 维的 Riemann 空间，必定有一个 n = m(m + 1) 2 空间包容它， 空间是嵌入 维的 Euclidean 空间包容它，使 m 维的 Riemann 空间是嵌入 n 维 Euclidean 空间的一个子空间。 空间的一个子空间。 空间中， 在 Riemann 空间中，一般来说找不到一个适用于全空间的 笛卡儿坐标系（ 笛卡儿坐标系（即其度量张量的分量 gij 不一定能通过一种线性
张量（曲率张量） 称为 Rieann-Christoffel 张量（曲率张量）。
空间任一曲线坐标系都应满足的条件。 Rprsq = 0 是 Euclidean 空间任一曲线坐标系都应满足的条件。 对于二维曲面，则是检验该曲面是否为可展曲面的条件。 对于二维曲面，则是检验该曲面是否为可展曲面的条件。 对于可变形固体， 空间， 对于可变形固体，在变形前属于 Euclidean 空间，满足 变形后仍应满足此式，此式是固体变形的协调条件。 Rprsq = 0，变形后仍应满足此式，此式是固体变形的协调条件。
1 ks g is g js g ij Γ = g j + i s 2 x x x
k ij
=0
k 笛卡儿坐标系是直线坐标系的一个特例，此时 笛卡儿坐标系是直线坐标系的一个特例，此时gij= δij，Γ ij = 0 。
Riemann 空间是 Euclidean 几何学不能成立的空间。例 几何学不能成立的空间。 如：球面是三维 Euclidean 空间的二维子空间，但在其上， 空间的二维子空间，但在其上， Euclidean 几何学不再适用：球面上三角形三内角之和大于 几何学不再适用： 180。 。 二维的Riemann 空间（除柱面、锥面外的一般曲面）是 空间（除柱面、锥面外的一般曲面） 二维的 空间的子空间，曲面上的点可以用三维Euc三维 Euclidean 空间的子空间，曲面上的点可以用三维 lidean 空间中的坐标 ( x1，x2，x3 ) 的参数方程表达为
因此可积性条件可以写作
x r x q p x r x q p i′ j ′ Γ rq = j′ i′ k ′ Γ rq k′ y y y y y y
由 2x p x r x q p X p = i ′ j ′ + i′ Γ rq = 0 j′ y y y y 2 xt x q x s t = j ′ k ′ Γ qs , j′ k′ y y y y 2 xt x r x s t = i′ k ′ Γ rs i′ k′ y y y y
x r x q p i′ k ′ Γ rq j′ y y y
p x r x q x s Γ rs t p t p q Γ rq Γ ts Γ sq Γ rt = i′ j′ k′ y y y x
可积性条件可写成
p p Γ rq Γ rs x x x t p t p q + Γ rq Γ ts Γ rs Γ tq = 0 i′ j′ k′ s y y y x x (i′, j′, k ′, p = 1, 2, 3) r q s
故
S ST = a R
式中，S－S T 是三阶张量，a 是矢量，根据商法则，R 是四 式中， 是三阶张量， 是矢量，根据商法则， 阶张量。 阶张量。 空间， 在 Euclidean 空间，R=0，S=ST ，则 ，
ai; jk = ai;kj
而在 Riemann 空间
ai; jk ai;kj = al Rlijk
u v = u i vi = g ij u i v j
的模定义： 两点距用连接两点的矢量 u 的模定义：
u = u i ui = g ij u i u j
2
是常张量， 是随点变化的。 度量张量实体 G = gijgi gj 是常张量，但一般 gij 是随点变化的。 只有在全空间采用直线坐标系时， 只有在全空间采用直线坐标系时，在空间每个点处 gij= const， ， 使得
得
代入可积性条件
x r x q p i′ Γ rq k′ j′ y y y
p Γ rq x s x x p x x x x p = i′ k ′ j′ Γ rq + i′ Γ rq + i′ y y y y y j′y k ′ y y j′ x s y k ′ 2 r q r 2 q r q p x r x q x s Γ rq 2 x t x q p 2 x t x r p = i′ j ′ k ′ + i′ k ′ j′ Γ tq + j′ k ′ i′ Γ rt s y y y x y y y y y y p x r x q x s Γ rq t p t p = i′ j′ k ′ s Γ rs Γ tq Γ qs Γ rt y y y x
yi 的非线性微分方程组。这组方程的可积性条件是 x p 对 yi 的非线性微分方程组。 混合偏导数与求导次序无关，此时这 个方程彼此是协调的 个方程彼此是协调的。 混合偏导数与求导次序无关，此时这18个方程彼此是协调的。
即
2x p x r x q p 2 x p x r x q p i′ j ′ + i′ j′ Γ rq = j ′ i′ k ′ + i′ k ′ Γ rq k′ y y y y y y y y y y
r Sijk = (ai; j );k = (ai; j ),k ar ; j Γ ik ai ;r Γ rjk s = ai, j as Γ ij
(
) (a
,k
s r s as Γ rj Γ ik ai,r as Γ ir Γ rjk r, j
)
(
)
= ai, jk
s Γ ij r r r s r s r ar , j Γ ik ai,r Γ jk ar ,k Γ ij as k Γ rj Γ ik Γ ir Γ jk x
用同样的方法（运用三次），由上式求证得可积性条件是 用同样的方法（运用三次），由上式求证得可积性条件是 ），
p Γ rq p Γ rs p p q + Γ trq Γ ts Γ trs Γ tq = 0 x s x
( p,
q, r , s = 1, 2, 3)
定义
Rprsq
p Γ rs p p = q + Γ trq Γ ts Γ trs Γ tq x s x p Γ rq
4.6.3 证明 R
设任意矢量函数 其梯度为 设 T 的梯度为
p rsq
是张量分量
a = a i gi
T = a = ai; j g i g j = Tij g i g j
S = T = (a ) = Tij ;k g i g j g k = ai; jk g i g j g k = Sijk g i g j g k
使满足
( )
或
x i = x i y l′
( )
2x p x r x q p y l ′ Γ = i′ j ′ + i′ Γ rq p = 0 j′ y y x y y
l′ i ′j ′
空间的条件。 方程的可积性条件就是空间是否为 Euclidean 空间的条件。 若在上式中固定 i，j，考察 l =1，2，3 三个方程，令 ， ， ， ， 三个方程，
g ir Γ rjk x l = Γ jk ,i x l Γ rjk (Γ il ,r + Γ rl ,i )
代入得
Rijkl
1 = (g il , jk + g jk ,il g ik , jl g jl ,ik ) + g rs (Γ il ,r Γ jk , s Γ ik ,r Γ jl ,s ) 2