复变函数课件：2_1极限与连续
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复变函数ppt课件
为复数。其中 i 2 1 , i称为虚单位。
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其 中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
1i
1i i 1 i
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则 任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(complex conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其 中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
1i
1i i 1 i
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则 任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(complex conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
复变函数第2章
By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义：设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义，点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续，但连续却不一定可导例2问：函数f (z )=x +2yi 是否可导？求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导，则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z )，[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z )，其中w=g (z )。
.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数，其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数，且ϕ′(w )≠0。
)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ ）的导数。
复变函数第二章
z → z0
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求 两个二元实变函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
x → x0 y → y0
x → x0 y → y0
定理 ： 设 lim f ( z ) = A, lim g ( z ) = B , 那末
4
例2 : 求极限 lim cos z
解：因为 cos z = cos( x + yi ) = cos xchy − i sin xshy
z → z0
若取 u(x,y) = cos xchy , v(x,y) = sin xshy , z 0 = x 0 + iy 0 , 则有
( x , y )→ ( x0 , y0 )
0
→ 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 . 记作 lim f ( z ) = A. (或 f ( z ) zz → A) z→ z →
0
注意: 注意: 定义中 z → z0 的方式是任意的 . 几何意义: 几何意义 当变点z一旦进 当变点 一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 心邻域时 它的象 就落入A的 点f(z)就落入 的 就落入 一个预先给定的 ε邻域中 邻域中
z → z0 z → z0
(1) lim[ f ( z ) ± g ( z )] = A ± B;
z → z0 z → z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求 两个二元实变函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
x → x0 y → y0
x → x0 y → y0
定理 ： 设 lim f ( z ) = A, lim g ( z ) = B , 那末
4
例2 : 求极限 lim cos z
解：因为 cos z = cos( x + yi ) = cos xchy − i sin xshy
z → z0
若取 u(x,y) = cos xchy , v(x,y) = sin xshy , z 0 = x 0 + iy 0 , 则有
( x , y )→ ( x0 , y0 )
0
→ 那末称 A 为 f ( z ) 当 z 趋向于 z0 时的极限 . 记作 lim f ( z ) = A. (或 f ( z ) zz → A) z→ z →
0
注意: 注意: 定义中 z → z0 的方式是任意的 . 几何意义: 几何意义 当变点z一旦进 当变点 一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 心邻域时 它的象 就落入A的 点f(z)就落入 的 就落入 一个预先给定的 ε邻域中 邻域中
z → z0 z → z0
(1) lim[ f ( z ) ± g ( z )] = A ± B;
z → z0 z → z0
(2) lim[ f ( z ) g ( z )] = AB; f (z) A (3) lim ( B ≠ 0). = z → z0 g ( z ) B
与实变函数的极限运算法则类似. 与实变函数的极限运算法则类似
ch1.2复变函数、极限与连续
r2r1ຫໍສະໝຸດ z ̇0yo
x
连续曲线
如果x=x(t),
称曲线C为连续曲线.
⎧ ⎪x = x(t) y=y(t) (α≤t≤β)为连续函数时, C : ⎨ y = y ( t ) ( α ≤ t ≤ β ) ⎪ ⎩
z = z ( t ) = x ( t ) + iy (t ) (α ≤ t ≤ β ). 光滑曲线
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
高校工程数学第6节复变函数的极限和连续性教学课件
[例1-6-1]
1 x , lim 2 2 2 x 0 x (1 k ) 1 k
随 k 值的变化而变化 ,
所以 lim u( x , y ) 不存在, lim v ( x , y ) 0,
x x0 y y0
x x0 y y0
根据定理一可知, lim f ( z ) 不存在.
例如，函数
f(z)=ln(x2+y2)+i(x2–y2) 除原点外处处连续，因为u=ln(x2+y2)除原点外是处 处连续的，而v=x2–y2是处处连续的 处连续.
函数的连续性
[定理1-6-4] 连续函数的和、差积、商（分母不为 零）仍为连续函数，连续函数的复合函数仍为连续 函数。即：
关于极限的计算，有下面两个定理：
[定理1-6-1] 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0，
z0=x0+iy0，那么
的充要条件是：
说明：这个定理将求复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的极限 问题转化为求两个二元实变函数u=u(x,y)和v=v(x,y)的极 限问题。
[定理1-6-1]证明
z 0
二、函数的连续性
1、连续的定义
[定义] 如果 ，那么我们就说f(z)
在z0处连续。如果f(z)在区域D处处连续，我们f(z)
说在D连续。
函数 f ( z ) 在曲线 C 上 z0 处连续的意义是 lim f ( z ) f ( z0 ), z C .
z z0
函数的连续性
[定理1-6-3] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处连续 的充要条件是：u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续。
复变函数(1.2.1)--复变函数及其极限与连续性
v
x, y
= v0
证明 必要性
lim
zﾮ z0
f
(z)
=
A
�
"e > 0, $d > 0, (u + iv) - (u0 +
当0< (x iv0 ) < e ,
+
iy) -
( x0
+
iy0 )
<
d
时,
(u - u0 ) + i(v - v0 ) < e , u - u0 < e , v - v0 < e ,
定理 1.1 （极限计算定理）
设 函 数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + iy0
( ) ( ) ( ) lim f
z ﾮ z0
z
= A � lim u x, y
xﾮ yﾮ
xy00
=
u0 ,
lim
xﾮ yﾮ
xy00
故
lim
x y
xy00
u(
x,
y)
=
u0
,
lim
x y
xy00
v(
x,
y)
=
v0
.
充分性
.若
lim
x y
xy00
u( x,
y)
=
u0 ,
lim
x y
xy00
v(
x,
y)
=
v0
,
那么当 0 < ( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 < d 时,
第2章 复变函数
( x, y ) Î E .
(1)
其中 u = u ( x, y ) 和 v = v( x, y ) 是一对二元实函数, 它们分别称为 f ( z ) 的实部和虚部, 分别记 为 Re f ( z ) 和 Im f ( z ). 这说明一个复函数等价于一对二元实变量的实函数. 复函数的形如(1)式的表示形式对应于复数的代数形式. 对应于复数的指数形式, 相应地可 以将复函数表示为指数形式:
f ( z) > M ,
则称当 z 0 时, f ( z ) 趋近于无穷大 记为 lim f ( z ) = ¥.
z z0
(2) 设 w = f ( z ) 是定义在 E 上的复函数, 无穷远点 ¥ 是 E 的聚点(即对任意 r > 0, ¥ 的
r 邻域 { z : z > r } 中包含 E 中的点), 是一复数. 若对任意 > 0, 存在 r > 0, 使得当 z Î E 并且 z > r 时, 有
复变函数的连续性
定是 E 的聚点. 若
z z0
lim f ( z ) = f ( z0 ),
则称 f ( z ) 在点 z0 处(相对于集 E )连续. 若 f ( z ) 在 E 上的每一点处都连续, 则称 f ( z ) 在 E 上连 续. 例6 例 5(2)的结论表明多项式函数在复平面上处处连续. 设 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 是定义在 E 上的复函数, z0 = x0 + iy0 是 E 的聚 定理 2.1.2
于是 f ( z ) f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 )
1 f ( z0 ) . 2
1 f ( z0 ) . 即 2
2-1复变函数
(1) lim f ( z ) ± g ( z ) = A+ Β = lim f ( z ) ± lim g ( z ) . z→z z→ z z→z
0 0 0
z → z0
z → z0
( 2 ) lim f ( z ) g ( z ) = AΒ = lim f ( z ) × lim g ( z ) . z→ z z→ z z→z
注 意 : 此 处 的 极 限 要 求 z 在 z0 的 δ 去 心 邻 域 中 沿 任 何 路 径
趋 向于 z0 时 的极限 存在 且相 等.
定义 2.1.4 设函数 w = f ( z ) 在区域 D 中有定义 , z0 ∈ D. 若
lim f ( z ) = f ( z0 )
z → z0
( 2.1.3 )
是W 平面上半径为 r02、中心在原点的圆内部区域
w w < r02 } . {
y
| z |= r0
（Z）
（ ） W v arg w = 2α
arg z = α
| w|= r02
2α
w0 = r02 e i 2α
o
α
z0 = r0 e iα
r0
x
o
u
π π ( 2 )因为ϕ = 2θ = 2α − < α ≤ , 所以 Z 平面上过原点 2 2 z = 0的射线 arg z = α 的象曲线是 W 平面上过原点 w = 0的
}
映射成 w 平面上的什麽点集?
ρ = r 2 , ϕ = 2θ. 1) 对于 z = r < r0 , 有ρ = w = z 2 = r 2 < r02 , 即其 (
象区域是
复变函数的极限与连续
§1.3 复变函数的极限与连续
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
复变函数课件第一章第二至四节复变函数
内区域
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有
复变函数的极限.ppt
z z0
六、复变函数的连续性(P22)
哈 尔
如果 lim z z0
f (z)
f (z0 ),则称f (z)在z0处连续.
滨 工
如果f (z)在区域G内每一点均连续，则称
程
大 学
f (z)在G内连续。
定理3 f (z) u( x, y) iv( x, y)在点z0 x0 iy0
尔
滨 工
例3
考察函数w z2
程 大
w u iv (x iy)2 x2 y2 2xyi
学
因此w z2对应u x2 y2, v 2xy
复 变
例4
函
数
与
积
分
变
换
将定义在全平面除原点区域上的一对
二元实变函数
u
x
2x 2
y
2
，v
x2
y
y2 ，x2
y2
大 学
z z0
z z0
z z0
复 2. lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z)
变
z z0
z z0
z z0
函
数
与 积 分 变 换
3.
lim
f (z)
lim
z z0
f (z)
(lim g(z) 0)
zz0 g(z) lim g(z) zz0
证明函数f (z)
z 在z 0时极限不存在. z
哈 尔
证
设z x iy,
滨
工 程 大 学
f (z)
z z
x2 x2
复变函数课件第2章复变函数的概念、极限与连续性
u x cos y sin
v
x sin
y
sin
—旋转变换(映射)
➢见图2
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)
o
x、u
x、u
图1-2
o 图2
例5 研究w z2 所构成的映射 .
y (z)
v (w)
w z2
2
o
x
o
u
y (z)
v (w)
w z2
(1) 设 z0 D , 若存在 z0 的一个邻域，使得 f (z) 在此邻域内处处可导, 则称 f (z)在 z0处解析, 也称 z0是 f (z)的解析点.
(2) 若 f (z) 在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在区域D内解析, 或者称 f (z) 是区域D内的 解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G, 且 f (z)在G内解析，则称 f (z) 在闭区域 D 上 解析.
由 f (z)在D内可导, 可知 f (z)在U内可导, 即 f (z)在z处解析.
z0
z
lim (z z)2 z2
z0
z
lim(2z z). z0
所以 z2 2z.
例2 证明 f (z) x 2 yi 在复面内处处 连续，但处处不可导.
证明 对复平面内任意点z, 有 f (z z) f (z)
( x x) 2( y y)i x 2 yi x 2yi. 故 lim[ f (z z) f (z)] 0.
z z0
注意: 定义中zz0的方式是任意的.
几何意义
y
(z)
复变函数解读课件
幂级数展开式的应用
幂级数展开式在数学、物理、工程等 领域有广泛的应用，如求解微分方程、
研究函数的奇点和极点等。
洛朗兹级数展开式
洛朗兹级数展开式的定义
01
将复变函数表示为洛朗兹函数的无穷级数形式，可以用于研究
函数的局部行为和性质。
洛朗兹级数展开式的收敛性
02
洛朗兹级数展开式在一定条件下收敛，收敛条件决定了函数的
解析函数的性 质
在解析区域内，解析函数具有无限次 可微性，且满足柯西-黎曼条件。
全纯函数的性质
全纯函数
如果一个复数函数在某个区域内有定义，并且在该区域内可微，则称该函数为全纯函数。
全纯函数的性质
全纯函数具有零点孤立性、增长性、最大值最小值定理等性质。
共轭函数与解析函数的判别
共轭函数
如果一个复数函数的共轭复数也满足解析函 数的条件，则称该函数为共轭函数。
复数的性质
复数具有加法、减法、乘法和除法等 运算性质，满足交换律、结合律和分 配律等基本运算规则。
复数的几何意 义
1 2
3
复平面
复数可以用几何图形表示，通常在直角坐标系中，实部表示 为横轴，虚部表示为纵轴，形成一个二维平面称为复平面。
点的表示
每个复数$z=a+bi$在复平面上对应一个点$(a,b)$。
连续性的性质
连续性具有传递性、局部性等性质，并且满足中值定理。
一致连续与一致收敛
一致连续是指函数在整个定义域上具有连续性，而一致收敛则是 指函数序列在无穷远点处的极限存在。
一致连续与一致收敛
01
一致连续的定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正数$delta$，使得当两
复变函数课件2-1解析函数的概念
f ( z ) lim
f (z z) f (z) z
z 0
lim
(z z) z
2
2
z 0
z
lim ( 2 z z ) 2 z .
z 0
2 ( z ) 2z
4
例3 问 f ( z ) x 2 yi 是否可导？ 解
lim f z lim f (z z) f (z) z
f ( z 0 ) z 称为函数 记作
w f ( z ) 在点 z 0 的微分 ,
dw f ( z 0 ) z .
11
如果函数在 在 z 0 可微 .
z 0 的微分存在
, 则称函数
f (z)
特别地,
当 f (z) z 时 ,
d w d z f ( z 0 ) z z ,
(1 ) (2) ( c ) 0 , 其中 c 为复常数 .
n ( z ) nz n 1
,
其中 n 为正整数 .
9
(3) (4)
f (z)
g ( z ) f ( z ) g ( z ). f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
z 0
lim f ( z 0 z ) f ( z 0 ) ,
即 f ( z ) 在 z 0 连续 .
[证毕]
8
3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则:
复变函数及其极限与连续性
故当 0 z z0 时, f (z) A ,
所以 lim f (z) A. zz0
复变函数极限的性质
（1）唯一性 （2）有界性 （3）有理运算法则
注意：因为一个复变函数的极限问题相当于两个二元实变 函数的极限问题，复变函数的极限要比实变函数的极限复 杂得多，要求也苛刻的多。
例3
证明当
z z(t ) x(t ) iy(t ) (a t b ).
光滑曲线
如果 x t , y t 均连续，且 t,[x t ]2 [ y t ]2 0
则称曲线是光滑的. 分段光滑曲线
简单曲线或约当曲线
没有重点或除起点和终点重合外，自身不相交的曲线.
z(a )
z(b ) z(a )
(1)圆环域: r1 z z0 r2; (2)上半平面: Im z 0; (3)角形域: 1 arg z 2;
(4)带形域: a Im z b.
r2
r1z0
y
o
x
连续曲线
如果x=x(t), y=y(t) (atb)为连续函数时, 则称
C
:
x y
x y
t t
a
t
b
为连续曲线.
z0 时,函数
Re z
f (z)
极限不存在.
z
方法1. 沿 y kx
方法2. 沿不同射线 arg z
复变函数的连续性
设
f (z)在z0的邻域内有定义,
且 lim f (z) z z0
f (z0 )
则称f(z)在z0处连续. 若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续.
使得当 0 z z0 时，总有 f (z) A
成立,则称当z趋于z0时, f(z)以A为极限，并记作 lim f (z) A 或 f (z) A (z z0 ).
2.1 复变函数的极限与连续性
y 1 y 1
法2
z zlim i z 1 i lim 1 i z 1 i z lim z 1 i
z 1 i
（2） 设 z
x iy ，则 z x iy ，得
zz z z 1 ( z 1)( z 1) lim lim z 1 z 1 z 1 z 1
z z0
路径、以任意 方式趋近于z0时，f ( z )均以A为极限。
判断： z 0与x 0、y 0之间的关系 z 0、z 0与|z| 0三者之间的关系
例1 若lim f ( z) A, 则lim|f ( z)| |A|
证明:
只须注意, 由等式
f z A u( x , y ) u0 v ( x , y ) v0
2
2
,
1 2
可得不等式
u( x , y ) u0 f ( z ) A ,
v ( x , y ) v0 f ( z ) A .
所以 f ( z ) A ,
反之， ( x , y ) u0 , u
v ( x , y ) v0 .
又有不等式
f ( z ) A u( x , y ) u0 v ( x , y ) v0 .
u( x , y ) u0 ,
v ( x , y ) v0 .
z z0
的充分必要条件为:
x x0 y y0
lim u ( x, y) u0 且 lim v( x, y ) v0
x x0
y y 0
于是有：
z z0
lim f ( z ) lim u( x, y) i lim v( x, y)
法2
z zlim i z 1 i lim 1 i z 1 i z lim z 1 i
z 1 i
（2） 设 z
x iy ，则 z x iy ，得
zz z z 1 ( z 1)( z 1) lim lim z 1 z 1 z 1 z 1
z z0
路径、以任意 方式趋近于z0时，f ( z )均以A为极限。
判断： z 0与x 0、y 0之间的关系 z 0、z 0与|z| 0三者之间的关系
例1 若lim f ( z) A, 则lim|f ( z)| |A|
证明:
只须注意, 由等式
f z A u( x , y ) u0 v ( x , y ) v0
2
2
,
1 2
可得不等式
u( x , y ) u0 f ( z ) A ,
v ( x , y ) v0 f ( z ) A .
所以 f ( z ) A ,
反之， ( x , y ) u0 , u
v ( x , y ) v0 .
又有不等式
f ( z ) A u( x , y ) u0 v ( x , y ) v0 .
u( x , y ) u0 ,
v ( x , y ) v0 .
z z0
的充分必要条件为:
x x0 y y0
lim u ( x, y) u0 且 lim v( x, y ) v0
x x0
y y 0
于是有：
z z0
lim f ( z ) lim u( x, y) i lim v( x, y)
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映射 如果用 z 平面上的点表示自变量 z 的值, 而用另一个平面 w 平面上的点表示函数 w 的 值, 那末函数 w f (z) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集 E (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集 A (函数值集合)的映射 (或变换).
如果 E 中的点 z 被映射 w f (z) 映射成 A 中的点 w, 那末 w 称为 z 的象 (映象), 而 z 称为 w 的原象.
由二元实函数极限的定义，
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
xx0 y y0
xx0 y y0
充分性() 若 lim u(x, y) a, lim v(x, y) b，
xx0
xx0
y y0
y y0
0, 0,使得当0 x x0 2 y y0 2 时
| u(x, y) a | ， | v(x, y) b | ,
例3 函数 w z2, 令 z x iy, w u iv, 则 u iv ( x iy)2 x2 y2 2xyi, 于是函数 w z2 对应于两个二元实变函数 : u x2 y2, v 2xy.
3. 映射的概念
对于复变函数,由于它反映了两对变量u, v 和 x, y 之间的对应关系,因而无法用同一平面内 的几何图形表示出来, 必须看成是两个复平面上 的点集之间的对应关系.
2. 复变函数极限与实函数极限的关系
定理2.1.1 设 f (z) u(x, y) iv(x, y)在点集E 上
有定义，z0 x0 iy0为E的一个聚点, a ib,
则 lim f (z) a ib z z0
lim u(x, y) a, lim v(x, y) b.
若有一法则 f ，使对E中的每一个点 z x iy, 存在多个 w u iv 和它对应, 则称 f 为在 E 上定义了一个复变数(多值)函数 .
称E为复函数w f (z)的定义域, A f (E) { f (z) | z E}称为复函数w f (z)的值域 .
例1 复函数w z 2, w z3, w z， w z2 1都是z
xx0 y y0
xx0 y y0
证明：因为f (z) =[u(x, y) a] i[v(x, y) b]，所以
| u(x, y) a || f (z) |,| v(x, y) b || f (z) |, | f (z) || u(x, y) a | | v(x, y) b | .
必要性() 若 lim f (z) ，由极限的定义， z z0 0, 0,使得当z E,且0 | z z0 | 时，有
| f (z) | ,
于是当0 x x0 2 y y0 2 | z z0 | 时，有
| u(x, y) a || f (z) | ,| v(x, y) b || f (z) | .
定义2.1.2 设复函数w f (z)在点集E 上有定义，
z0为E的一个聚点， .若 0, 0, 使得当z E,且0 | z z0 | 时，有
| f (z) | ,
则称为当z趋于z0时f (z)的极限，
记作 lim f (z) ,简记为 lim f (z) .
zz0 ,zE
z z0
例4 设复函数w z2,试问它将z平面上的双曲线 x2 y2 4 与 xy 2 分别映为w平面上的何种曲线？
解 令 z x iy, w u iv,
则 u iv ( x iy)2 x2 y2 2xyi, 所以 u x2 y2, v 2xy.
于是w z2将z平面上的双曲线x2 y2 4与xy 2 分别映为w平面上直线u 4和v 4.
解 当z x 0时， f (z) x 1 1. x
2
2
于是当0 | z z0 | x x0 2 y y0 2 时，有
| f (z) |＝| u(x, y) a | | v(x, y) b | .
由复函数极限的定义，
lim f (z) a ib .
z z0
例6 设f (z) z ,试讨论极限lim f (z).
z
z0
例5 在映射 w z2 下求扇形域 0 π ,
4 0 r 2 在 w 平面上的象.
解 设 z rei , w ei , 则 r2, 2 ,
故扇形域 0 π,
4
பைடு நூலகம்
wz2
0 r 2映射为
r
0 π , 0 4,
2
仍是扇形域.
二、复变函数的极限
1. 复变函数极限的定义
注意：
(1) lim f (z) 的几何意义是： 0, 0, zz0 ,zE
使得当z E U (z0; )时，有f (z) U (; ).
(2)
极限 lim zz0 ,zE
f (z)与z趋于z0的方式无关，
且z0可属于E，也可以不属于E。
(3) 复变函数w f (z)的极限有类似于数学分析中 一元(或多元)实函数极限的性质，如：极限的唯一 性，局部有界性，极限的四则运算和复合运算。
z 1 的单值复变函数.
例2 复函数w Argz, w 3 z都是z的多值复变函数.
2. 复变函数与自变量之间的关系:
复变函数 w 与 自变量 z 之间的关系 w f (z)
相当于两个实函数: u u( x, y), v v( x, y),
因为，若记z x iy, w u iv,则 w f (z) Re f (z) i Im f (z) u(x, y) iv(x, y).
第一节 复变函数的极限与连续
• 一、复变函数的概念 • 二、复变函数的极限 • 三、复变函数的连续性
一、复变函数的概念
1. 复变函数的定义
定义2.1.1 设 E . 若有一法则 f ，使对E中 的每一个点 z x iy, 都存在唯一的复数 w u iv 和它对应, 则称 f 为在 E 上定义了 一个复变数(单值)函数 或单复变函数,简称复变函数 或复函数, 记作 w f (z). z 称为自变量.