巧用向量开辟几何问题求解新途径_秦伟伟

min
=
h（ x0 ）
＞ 0，从而（ x － 1） ex
－ x + 2 ≥ 0 恒成立． 综上，a 能取得的最大整数为 1． 评注 在上述求解过程中，对 a = 2 的验
证是关键环节． 从已知的必要条件入手，取特 殊值等手段都是 探 路 ，而 不 是 解 答 的 全 部 ，必 须再对充分性进行严谨的验证． 对充分性的 验证体现了学生对推理证明步骤完整性这个 数学本质的把握 ，而 注 重 数 学 本 质 的 考 查 ，是 素养立意命制试题的重要视角． ［5］
%
C
B
Q
P
P
G
A
C
A
图6
M
B
图7
例 10 如图 7，已知点 G 是 OAB 的重
心，过点 G 的直线与 OA、OB 分别交于点 P 和
点 Q，且OOPA
=
h，OOQB
=
k，证明：
1 h
+
1 k
= 3．
证明 连接 OG 并延长交 AB 于 M 点，由
G 为重心，可知点 M 必为线段 AB 的中点，从
而O→M =
高，求证： 它们相交于一点．
分析 本题如果从纯几何方法上下手，
会十分困难，但用向量法则能显得非常巧妙．
证明 不妨设 AD ∩ BE = H，如图 4，下
证 CH ⊥ AB． 由 AD ⊥ BC，BE ⊥ AC，得A→H·B→C = 0，B→H
·A→C = 0．
又A→H = C→H － C→A，故（ C→H － C→A） ·B→C = 0， C→H·B→C = B→C·C→A； 同理，由B→H = C→H － C→B，可 得C→H·A→C = C→B·A→C = B→C·C→A．
于是C→H·A→C = C→H·B→C，即 C→H·（ A→C － B→C） = 0，可得C→H·A→B = 0，亦即 CH ⊥ AB．
由 CF、CH 共线，得三条高相交于一点 H．
例 8 在 正 方 形 ABCD 中，E、F 分 别 是
AB、BC 的中点，求证： AF ⊥ DE． 证明 选取基底｛ A→B，A→D｝ ，由 E、F 分别
是 AB、BC 的中点，得A→F =
A→B +
1 2
B→C
=
A→B +
1 2
A→D，
D→E = D→A +
1 2
A→B =
1 2
A→B － A→D．
由 ABCD 为正方形，得 | A→B | = | A→D | ，A→B
第 11 期
高中数学教与学
·A→D = 0，从而A→F·D→E =
1 2
A→B2 －
1 2
（
O→A
+
O→B）
．
由
OP OA
= h，OOQB
= k，得O→A =
1 h
O→P，O→B =
1 k
O→Q，从而
O→M =
1 2
（
O→A
+
O→B）
=
1 2h
O→P
+
1 2k
O→Q．
又O→G =
2 3
O→M，故O→G
=
1 3h
O→P
+
1 3k
O→Q．
由
P、G、Q
三点共线，得
1 h
+
1 k
= 3．
评注 例 6 也可以用定比分点的向量公
例 6 如图 3，在 ABC 中，D 为 AC 的中
点，E 是 AB 边上的点，且EAEB
=
1 2
，CE
和
BD
交
于点 F，求FBDF 的值．
解 设BBDF = μ，CCFE = λ，则由点 D 为 AC
的中点，得
B→D =
1 2
（
B→A
+
B→C）
，
B→F
=
μ
1 2
（
B→A +
B→C）
=
1 2
μ
B→A
在直线分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系． 不妨设 | B→C | = 2，则 B（ 0，0） ，C（ 2，0） ，A（ 0，2） ，D（ 1，0） ．
设点 F（ x，y） ，则 B→F = （ x，y） ，A→D = （ 1， － 2） ． 由B→F·A→D = 0，得
x － 2y = 0；
①
由A→F ∥ A→C，且A→F = （ x，y － 2） ，A→C = （ 2，
f '（ x） = ex － 1． 当 x ≤ 0 时，f '（ x） ≤ 0，f（ x） 在（ － ∞ ，0］单调减； 当 x ＞ 0 时，f '（ x） ＞ 0， f（ x） 在（ 0，+ ∞ ） 单调增． 故 f（ x） min = f（ 0） = 1，可得 f（ x） ≥ 1（ x ∈ Ｒ） 恒成立．
三点共
线． 证明 设A→B = a，A→D = b，则B→D = b － a，
B→N =
1 3
B→D =
1 3
（
b
－
a）
．
于是，M→N = M→B + B→N =
1 2
a
+
1 3
（
b
－
a）
=
1 6
（
a
+
2b）
，M→C
=
M→B + B→C =
1 2
a
+
b
=
1 2
（
a
+
2b）
，从而M→N
=
1 3
M→C，即M→N 和M→C 共
式来解答，具体过程如下： 设B→F = λ F→D，在 ABF 中，A→F = A→B + B→F
=
A→B
+
λ
λ +
1
B→D
=
A→B +
λ
λ +
1（
A→D
－
A→B）
．
（ 下转第 18 页）
·15·
高中数学教与学
2019 年
当 x ＜ － 1 时，H'（ x） ＜ 0，H（ x） 单调减，
( ) 得
A→B2 + B→C2 + C→A2 + 2 A→B·B→C + 2 A→B·C→A + 2 B→C ·C→A = 0，化简得 a2 + b2 + c2 － 2bccos A － 2cacos
B － 2abcos C = 0，移项整理，可知结论成立．
例 5 设 AM 是 ABC 中边 BC 上的中线，
线，故 M、N、C 三点共线．
评注 三角形、梯形中的中位线定理证明
也都可以利用共线向量来证明
二、利用点乘
课本必修 5《解三角形》章节在证明正弦定
理的时候，介绍了两边点乘向量的方法，证明过
程显得快速简洁而且优美． 向量等式两边点乘
某一向量，利用数量积运算可以把复杂的式子
得到化简，从而得到需要的等量关系．
四、结构分析 合理赋值 例 4 （ 2012 年 湖 南 高 考 题 ） 已 知 函 数 f（ x） = eax － x，其中 a ≠ 0． 若对一切 x ∈ Ｒ， f（ x） ≥ 1 恒成立，求 a 的取值集合． 解 因为 f（ x） 是 Ｒ 上的可导函数，由 f（ x） ≥ 1 对一切 x ∈ Ｒ 恒成立，且 f（ 0） = 1， 可知 x = 0 是 f（ x） 的最小值点，且是 f（ x） 的极 小值点． 所以，由函数取极值的必要条件，得 f '（ 0） = ae0 － 1 = 0，解得 a = 1． 再检验： 当 a = 1 时，f（ x） = ex － x，
例 3 在 ABC 中，求证： a = bcos C +
ccos B． 证明 由 B→C = B→A + A→C，在两边点乘向量
B→C，得B→C2 = B→C·B→A + B→C·A→C，从而有 a2 =
accos B + abcos C，即 a = bcos C + ccos B．
三、作向量平方运算
3 4
A→B·A→D
－
1 2
A→D2
= 0，故 AF ⊥ DE．
评注 利用类似方法，可以证明： （ 1） 勾
股定理及其逆定理； （ 2） 直径所对的圆周角
是直角； （ 3） 菱形的对角线互相垂直．
六、利用向量坐标运算
向量 同 坐 标 建 立 联 系 后，给 纯 几 何 意 义
上的 向 量 加、减、数 乘，以 及 数 量 积 运 算 带 来
－ BC2 ．
评注 类似地，可用向量法证明： 平行四
边形两条对 角 线 平 方 的 和等于 四 边平 方 的
和．
四、利用平面向量基本定理
平面 内 选 定 一 组 基 底 后，任 一 向 量 都 可
唯一地表示成它们的线性组合． 利用这个唯
一性，可以得出方 程 组 ，解 出 所 需 要 的 数 量 关
系．
－ 2） ，得
－ 2x － 2（ y － 2） = 0．
②
联立 ① ②，可解得 x
=
4 3
，y
=
2 3
．
故点
( ) F
4 3
，23
，由此易得
cos∠ADB
=
|
D→A·D→B D→A | | D→B |
=
槡5 5
，
cos∠FDC
=
|
D→F·D→C D→F | | D→C |
=
槡5 5
．
又 ∠ADB、∠FDC 同为锐角，故 ∠ADB =
很好的反映三点共线和两线段平行之间的位置
关系． 在已知的图形中，设定基底向量，把相关
几何量表示成基底的线性组合，观察它们之间
的等量关系，可以得到相应的几何位置关系．
例 1 如图 1，已知在平行四边形 ABCD
中，点 E、F 分别在对角线 BD 的延长线上，BE =
DF，求证： 四边形 AECF 为平行四边形．
第 11 期 ○解题思路与方法○
高中数学教与学
巧用向量开辟几何问题求解新途径
秦伟伟
（ 江苏省南京外国语学校仙林分校，210023）
向量是代数结构与几何图形的完美结合，
能兼顾研究对象间的数量关系和位置关系，因
而向量法是解决几何问题的一个重要方法． 平
面几何中有不少问题，如《数学》必修 5 课本上
用向量法证明三角形中的正弦定理和余弦定
% A
F
D
C
B E
D N
C
A
M
B
图1
图2
证明 由题意可得A→B = D→C，B→E = F→D，从 而A→E = A→B + B→E = D→C + F→D = F→C，故四边形 AECF 为平行四边形．
例2 如图2，在平行四边形 ABCD 中，M 为
BC 的中点，BN
=
1 3
BD，求证：
M、N、C
平面几何证明和运算中有不少涉及到线段
的等式关系问题，这时候向量的自平方就能发 挥价值，利用 a2 = | a | 2 这个公式，可把向量等
式转化为线段等式． 例 4 在 ABC 中，求证： a2 + b2 + c2 =
·13·
高中数学教与学
2019 年
2bccos A + 2cacos B + 2abcos C. 证明 由 A→B + B→C + C→A = 0，两边平方，得
了很大的方便，也为利用“代数”的运算去处
理“几何”的问题搭建了桥梁．
例 9 如图 5，ABC 是等腰直角三角形，
∠B = 90°，D 是 BC 边上的中点，BE ⊥ AD，延
长 BE 交 AC 于点 F，连接 DF，求证： ∠ADB =
∠FDC．
%
y
A
F E
B
D
Cx
图5
证明 如图 5，以顶点 B 为原点，BC、BA 所
H（ x） ＞ 0，h（ x） 单调增． 所以 h（ x） min = h（ x0 ）
= （ x0 － 1） ex0 － x0 + 2．
由 H（ x0 ）
= 0，得 ex0
=
1 x0
，故
h（
x0 ）
=3－
( ) 1 x0
+ x0
．
又
1 2
＜ x0
＜ 1，有 2
＜
1 x0
+ x0
＜
5 2
，所以
h（
x）
∠FDC．
评注 例 7 的证明也可以通过建系，转
化为向量的坐标运算达到证明高线共点的目
的．
七、利用定比分点的向量形式 如图 6，在 ABC 中，若B→P = λ P→C，则A→P
=
1
1 +
λ
A→B
+
1
λ →C 的系数和
为 1，这就是定比分点的向量形式． 在涉及相
关问题时，用它可以巧妙解决问题．
1 2
μ
=
（
1
－
λ）
，
μ=
4 5
，
λ
=
3． 5
所以，BBDF
=
4 5
，从而FBDF
= 4．
% A
E FD
A
F
E
H
B
CB
图3
D
C
图4
五、利用数量积为零证垂直关系
如果 两 个 向 量 数 量 积 为 零，则 它 们 所 在
的线段垂直． 因此，几何证明中的垂直关系就
可以利用它来实现证明．
例 7 已知 AD、BE、CF 是 ABC 的三条
+
1 2
μ
B→C．
又B→F = B→C + C→F = B→C + λ C→E
= B→C + λ（ B→E － B→C）
( ) = B→C + λ 2 B→A － B→C 3
=
2 3
λ
B→A
+
（
1
－
λ）
B→C，
由B→F 在基底B→A、B→C 下的分解式唯一 ，得
·14·
{ { 1 2
μ
=
2 3
λ，
解得
理，将向量法解决几何问题的巧妙和优美发挥
得淋漓尽致． 巧用意味着灵活，学生在实际解答
相关问题时往往找不到法门，显得捉襟见肘． 笔
者认为很有必要将常见的一些用向量法解决平
面几何问题作一些小结，以期利于高中数学老
师同行之间的交流学习，也利于同学们学习和
掌握这块知识．
一、利用共线向量
共线向量体现了向量所具有的方向性，能
－
1 e
－ 1 ＜ H（ x）
＜ 0． 由 H
1 2
= 槡e － 1 ＜ 2
0，H（ 1） = e － 1 ＞ 0，可 知 存 在 唯 一 x0 ∈
( ) 1 2
，1
使 H（ x0 ）
= 0，且当 x ∈ （ － ∞ ，x0 ） 时，
H（ x） ＜ 0，h（ x） 单调减； 当 x ∈ （ x0 ，+ ∞ ） 时，