高考数学压轴专题新备战高考《数列》难题汇编及答案

【高中数学】数学《数列》复习资料
一、选择题
1．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972
C ．3 973
D ．3 974
【答案】D 【解析】 【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12
n n +=个数，运算即可得解．
【详解】
解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n ()
12
n n +=
个数，
设第2019个数在第n 组中，
则()
()120192
120192
n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜，
解得n ＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．
2．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的（ ）
条件． A ．必要而不充分 B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】
【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
3．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A ．
34
B ．
23
C ．
12
D ．
13
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】
∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ， ∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2
S S =， ∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为10551
2
S S S -=-， ∴()151010551
1 24
S S S S S -=--=， ∴15510513 44
S S S S =+=，
∴1553:4
S S =． 故选A ． 【点睛】
在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．
4．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且
*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列
(){}5n
f ()*
n N ∈的前2020项的和为（ ）
A ．1010
5
1+
B ．1010514-
C ．1010512
-
D ．101051-
【答案】D 【解析】 【分析】
首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】
解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550n
n
n f =-=； 当n 为奇数时，1112
2
2
(5)5
5
45
n n n n f +--=-=⨯，
所以01100920204(555)S =++⋯+，
101051451
-=-g ，
101051=-．
故选：D 【点睛】
本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
5．已知数列{}n a 中，12a =，2
11n n n a a a +=-+，记12111n n
A a a a =
++⋯+，12111
n n
B a a a =
⋅⋅⋯⋅，则（ ） A ．201920191A B +> B ．201920191A B +< C ．2019201912A B ->
D ．201920191
2
A B -<
【解析】 【分析】
根据数列{}{},n n A B 的单调性即可判断n n A B -；通过猜想归纳证明，即可求得n n A B +. 【详解】
注意到12a =，23a =，37a =，不难发现{}n a 是递增数列． （1）2
1210n n n n a a a a +-=-+≥，所以1n n a a +≥．
（2）因为12a =，故2n a ≥，所以1n n a a +>，即{}n a 是增函数． 于是，{}n A 递增，{}n B 递减， 所以20192121156A A a a >=
+=，20192121116
B A a a <=⋅=， 所以2019201912
A B ->
. 事实上，111,A B +=221,A B +=331A B +=， 不难猜想：1n n A B +=． 证明如下：
（1）2
111211111111
111
11n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-=-+⇒
=
-⇒++⋅⋅⋅+=----． （2）2
11n n
n a a a +=-+等价于2
111
1
n n n
a a a +=
--， 所以
111
1
n n n a a a +-=-， 故
12111111
n n a a a a +⋅⋅⋯⋅=-， 于是
12121111111n n a a a a a a ⎛⎫
⋅⋅⋯⋅+++⋯+= ⎪⎝⎭
， 即有1n n A B +=． 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题.
6．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】
由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，
若53a a >，则233a q a >，所以2
1q >，即1q >或1q <-，
所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.
7．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5 B ．6
C ．10
D ．11
【答案】C 【解析】
25251634121
32323222log 62
n n n n a a a q q q a a n --⋅===⇒=
⇒=⨯=⇒=-⇒ max (56)
011102
n n n S n n +-=
>⇒<⇒= ，故选C.
8．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299
C ．68
D ．99
【答案】B 【解析】 【分析】
由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】
对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，
()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，
故3n n a a +=，
{}n a ∴是以3为周期的数列，
故17298392,4,3a a a a a a ======，
()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++L
()332432299=+++=.
故选：B . 【点睛】
本题考查周期数列求和，属于中档题.
9．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84
【答案】B 【解析】
由a 1+a 3+a 5=21得24242
1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2
135()22142q a a a ++=⨯=，选B.
10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 为（ ） A ．3∶4 B ．4∶3 C ．1∶2 D ．2∶1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012
S x =，153
4
S x =
，从而得到155:S S 的值． 【详解】
解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得101
2
S x =， 1051122S S x x x ∴-=
-=-，151014S S x ∴-=，15113
244
S x x x ∴=+=， 故155
334:4
x
S S x ==， 故选：A ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质k S ，2k k S S -，
32k k S S -，成公比为k q 的等比数列，属于中档题.
11．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数 D ．
123111121
n n a a a a n +++⋯+=+ 【答案】C 【解析】 【分析】
对每一个选项逐一分析得解. 【详解】
∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；
将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22
n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令
(1)
10242
n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 121111111
1212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦L L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】
本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
12．已知数列{}n a 的前n 项和为212
343
n S n n =++（*N n ∈），则下列结论正确的是( )
A ．数列{}n a 是等差数列
B ．数列{}n a 是递增数列
C ．1a ，5a ，9a 成等差数列
D ．63S S -，96S S -，129S S -成等差数列
【答案】D 【解析】 【分析】
由2*
123()43
n S n n n N =++∈，2n …
时，1n n n a S S -=-．1n =时，11a S =．进而判断出正误． 【详解】
解：由2*
123()43
n S n n n N =++∈，
2n ∴…时，221121215
3[(1)(1)3]4343212
n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+．
1n =时，114712
a S ==
，1n =时，15
212n a n =+，不成立．
∴数列{}n a 不是等差数列．
21a a <，因此数列{}n a 不是单调递增数列．
51915471543
22(5)(9)021*******
a a a --=⨯⨯+--⨯+=-≠，因此1a ，5a ，9a 不成等差数
列．
631535
(456)32124S S -=⨯+++⨯=．
961553
(789)32124S S -=⨯+++⨯=．
1291571
(101112)32124
S S -=⨯+++⨯=．
Q
5323571
0444
⨯--=， 63S S ∴-，96S S -，129S S -成等差数列．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．已知函数()2
f x x mx =+图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，
若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）
A ．
20152016 B ．
2016
2017
C ．
2017
2018
D ．
2018
2019
【答案】D 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】
由()2
f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，
因为函数()2
f x x mx =+图象在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，
()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则
()()211111
11
f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019
S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．
14．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则26
3
n n S a ++的最小值为（ ）
A ．4
B ．3
C
．2
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意得2
(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，
从而可得26
3
n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．
【详解】
解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，
2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），
21n a n ∴=-，
2(121)
2
n n n S n +-∴=
=， ∴()()2
221142626332211
2n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+
，则
2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴26
3
n n S a ++的最小值为2．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档
题．
15．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120
C ．121
D ．192
【答案】B 【解析】 【分析】 根据
35
2
a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】
Q
35
2
27a q a ==, ∴ 3q =
∴ 4414(1)3(13)
120113
a q S q --===--.故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.
16．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是( ) A ．9 B ．10
C ．11
D ．12
【答案】A 【解析】 【分析】
由题设知21n a n =-，12n n
b -=，由
1121124222n n n b b bn T a a a a a a a n -+=++⋯+=+++⋯+=--和2019n T <，得
1222019n n +--<，由此能求出当2019n T <时n 的最大值．
【详解】
{}n a Q 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，
{}n b Q 是以
1为首项，2为公比的等比数列，1
2n n b -∴=，
()()()()
1121121242211221241221
n n n n b b bn T c c c a a a a a a a --∴=++⋯+=++⋯+=+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯- (
)1
21242
n n -=+++⋯+- 12212n
n -=⨯-- 122n n +=--，
2019n T <Q ，1222019n n +∴--<，解得：10n <．
则当2019n T <时，n 的最大值是9．
【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，结合含两个变量的不等式的处理问题，易出错，属于中档题.
17．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若12a =，且1564a a ⋅=，则数列
1(1)(1)n n n a a a +⎧⎫⎨⎬--⎩⎭
的前n 项和是（ ） A ．11
121
n +-- B ．1121n -+ C ．1121n -+ D ．1121
n -- 【答案】A
【解析】 由等比数列的性质可得：2153364,8a a a a ==∴=，
则数列的公比：2q ===， 数列的通项公式：112n n n a a q -==，
故：()()()()
1112111121212121n n n n n n n n a a a +++==-------， 则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭
的前n 项和是： 1223111111111121212121212121n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L . 本题选择A 选项.
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
18．已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）
A ．2124n --
B ．1122n --
C ．21n -
D ．122n +-
【答案】B
【解析】
【分析】
由等比数列的性质，可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，求得1,a q ，再结合等比数列的求和公式，即可求解.
由题意，等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，
根据等比数列的性质，可得3516a a ⋅=，3510a a +=，
所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，解得352,8a a ==或358,2a a ==， 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列，所以352,8a a ==，
设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q >
可得214128
a q a q ⎧=⎨=⎩，解得11,22a q ==， 所以数列{}n a 的前n 项和11(12)122122
n n n S --==--. 故选：B .
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.
19．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2
k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛
⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛
⎤ ⎥⎝⎦ C ．24,33⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D
【解析】
【分析】
推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，上单调且存在()()0020203
x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭
，，，即可得出结论． 【详解】 ∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52
k π≠
（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7，
∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝
2sin
372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 7
32
a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1， ∴d 8π
=．
∴f （x ）8π
=cosωx ， ∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
上单调 ∴23
ππω≥， ∴ω32
≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛
⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，
所以f （x ）在（0，
23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34
＞． 故答案为 33,42⎛⎤
⎥⎝⎦ 故选D
【点睛】
本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．
20．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若23a <，则n 的最大值为（ ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
【答案】A
【解析】
【分析】
对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32
n n n S =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值. 【详解】
当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+
2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32
n n =， 因为22485048+348503501224,132522
S S ⨯+⨯====， 所以n 不可能为偶数；
当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++
1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+
21342
n n a +-=+ 因为2491149349412722
S a a +⨯-=+=+， 2511151351413752
S a a +⨯-=+=+， 又因为23a <，125a a +=，所以 12a >
所以当1300n S =时，n 的最大值为49
故选：A
【点睛】
此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.。