清华大学版理论力学课后习题答案大全_____第12章虚位移原理及其应用习题解

第12章 虚位移原理及其应用

12－1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。试求平衡时，主动力F 1与F 2的大小关系。

解：应用解析法，如图（a ），设OD = l

θsin 2l y A =；θsin 6l y B =

θθδcos 2δl y A =；θθδcos 6δl y B =

应用虚位移原理：0δδ12=⋅-⋅A B y F y F

02612=-F F

；213F F =

12－2图示的平面机构中，D 点作用一水平力F 1，求保持机构平衡时主动力F 2之值。已知：AC = BC

= EC = DE = FC = DF = l 。

解：应用解析法，如图所示：

θcos l y A =；θsin 3l x D = θθδsin δl y A -=；θθδcos 3

δl x D =

应用虚位移原理：0δδ12=⋅-⋅-D A x F y F

0cos

3sin 12=-θθF F ；θcot 312F F =

12－3 图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。求竖向力F 1与F 2的大小关系。

解：如图（a ），应用虚位移原理：0δδ2211=⋅+⋅

r F r F 如图（b ）：

β

θt a n δδt a n δ2

a 1r r r ==

；12

δtan tan δr r θ

β

=

0δtan tan δ1211=⋅

-⋅r θβF r F ；θ

β

tan tan 21⋅=F F

12－4 图示摇杆机构位于水平面上，已知OO 1 = OA 。机构上受到力偶矩M 1和M 2的作用。机构在可能的任意角度θ下处于平衡时，求M 1和M 2之间的关系。 习题12-1图

（a ）

习题12-2解图

习题12－3

（a ）

r a

（b ）

解：应用虚位移原理：0δδ2211=⋅-⋅ϕϕM M （1）

如图所示，e a δcos δr r =θ

其中：`1a δδϕ⋅=OA r ；2e δcos 2δϕθ⋅⋅=OA r 所以：21δ2δϕϕ=，代入式（1）得：122M M =

12－5 等长的AB 、BC 、CD 三直杆在B 、C 铰接并用铰支座A 、D 固定，如图所示。设在三杆上各有一力偶作用，其力偶矩的大小分别为M 1 、M 2和M 3。求在图示位置平衡时三个力偶矩之间的关系（各杆重不计）。

解：应用虚位移原理：

0δδδ332211=⋅+⋅+⋅ϕϕϕM M M （1）

如图所示，B C r r δ60sin δ=︒；CB C r r δ60cos δ=︒

设三杆长均为l ，则有：`1δδϕl r B =；3δδϕl r C =；2δδϕl r CB =

所以：

13δδ2

3

ϕϕ=，23δδ21ϕϕ=代入式（1）得：

02

1

23321=++M M M ；023321=++M M M 12－6 图示三根均质杆相铰接，AC = b ，CD = BD = 2b ，AB = 3b ，AB 水平，各杆重力与其长度成正比。求平衡时θ、β与γ间的关系。

解：应用解析法，如图所示：

θsin 2

b y E =

； θθδcos 2δb

y E =

γθsin sin b b y F +=；γγθθδcos δcos δb b y F +=

βsin b y G =； ββδcos δb y G =

应用虚位移原理：0δ2δ2δ=++⋅G F E y mg y mg y mg 即：0δcos 2)δcos δcos (2δcos 2

=+++⋅

ββγγθθθθmgb b b mg b

mg （1） 根据几何关系：βγθsin 2sin 2sin b b b =+；βγθcos 2cos 2cos 3b b b b ++= 对上两式求变分：；ββγγθθδcos 2δcos 2δcos b b b =+；γβ

γ

θβθβδcos cos δcos 2cos δ+=

e 习题12－4解图

r C

r B 习题12－5解图

习题12－6解图

0δsin 2δsin 2δsin =---ββγγθθb b b ；

γβθθβγγθδtan cos sin tan cos sin 2

δ++-=；=βδγβ

θθβ

γγθγβδ)tan cos sin tan cos sin cos (cos cos 1++-=

将上式代入式（1），有：

0tan tan sin cos tan 2cos 2tan tan tan cos sin 5=+-++++-β

θγ

γθγβθβγγmg mg mg

0)sin cos (tan 2)tan (tan cos 2)tan cos (sin 5=-++++-γγθβθγβγγ 0)tan (tan 2)tan (tan 2)tan (tan 5=-++++-γθβθβγ 0tan 3tan 7tan 4=--βγθ

12－7 计算下列机构在图示位置平衡时主动力之间的关系。构件的自重及各处摩擦忽略不计。

解：图（a ）：0δδ=⋅

-⋅l r M r F D

C ；︒=︒30cos δ60cos δ

D C r r 0δδ3=⋅-⋅l

r

M r F D D ；Fl M 3=

图（b ）：0δδ2a e =⋅-⋅l r

M r F ；e a δ60cos δr r =︒

0δδa a =⋅-⋅l r

M r F ；Fl M =

图（c ）：0δδ=⋅-⋅r

r

M r F A C ；)cos(δcos δθϕϕ-=B A r r ；θθ2sin δcos δB C r r =

C A r r δ2tan cot δϕθ+=；0δ2cot tan δ=+⋅-⋅C C r r

M r F θϕ

θ

ϕcot tan 2+=

rF

M

习题12－7解图

（a ）