1.2.5排列组合中的涂色问题(北师大版)

面涂色问题 例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6
个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的 涂色方案共有多少种？
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况， 仍应考虑利用加法原 理分类、乘法原理分步进行讨论
染色问题:
• 例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求 在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中 不用同一种颜色.
本类有 C35·C13·C12×2 种涂法．
第三类：用 5 色中的 4 色，有 C45·A44种涂法． 由分类加法计数原理，共有涂法 C25·A22＋C35·C13·C12×2＋C45·A44＝260(种)．
法3——按涂色区域分类 A52 +2A53 +A54
【训练1】 用4种不同的颜色涂入图中矩形A、B、 C、D中，要求相 邻的矩形涂色不同，则不同的 涂色方法共有多少种？
第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5 种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据 分步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。
根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。
４、某城市在中心广场建造一个花圃，
5
花圃分为6个部分（色的花，每部分栽种一
法二 (按用色种数分类) 第一类：用 5 色中的两色，则 A、C 同色，B、D 同色，共 有 C25·A22种涂法． 第二类：用 5 色中的 3 色，选取 3 种颜色有 C35种选法， 三色中的一种颜色涂 A，有 C13种涂法， 一种颜色涂 B 有 C12种方法， 若余下的一种颜色涂 C，则 D 与 B 同色． 若余下的一种颜色涂 D，则 C 与 A 同色． 故最后一种颜色有两种涂法．
解 (分步涂色)
第一步：给矩形 A 涂色有 C14种方法． 第二步：给矩形 B 涂色有 C13种方法． 第三步：给矩形 C 涂色有 C12种方法．
A
B
C
D
第四步：给矩形 D 涂色有 C13种方法．
由分步乘法原理得共有涂法为 C14·C13·C12·C13＝72 种．
法2：三色或四色涂完 2A34 +A44 =72
第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案 种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
4.根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色， 要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色， 现有4种不同的颜色可有多少种方法？
• 点的涂色问题 方法：（1）可根据共用了多少种颜色或按涂色区
域分类讨论，
（2）根据相对顶点是否同色分类讨论， （3）将空间问题平面化，转化成区域涂色 问题。
分析：依题意至少要用3种颜色
法 ：按区域分 2
1 2、4同色且3、5同色，共A34 =24种 2 2、4同色且3、5异色或2、4异色且3、5同色
共2A
4 4
=48种
由加法原理得
3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻 区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加 法原理求出不同涂色方法总数。
排列组合中涂色问题
与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含 着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性 强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的 创新思维能力、分析问题与观察问题的能力， 有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题 的常见类型及求解方法。
涂色问题
【例1】 用5种不同的颜色给图中A、B、C、D 四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不 同，每块只涂一种颜色，共有多少种不同 的涂色方法？
区域涂色问题
1.根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理 染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的 各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不 同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法， 接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此 ④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
A
B
A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两
两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同 色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根据
C
D
A与D同色与不同色分成两大类。
解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。 第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C 有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理， 共有5×4×3×2＝120种方法。
种（以数字作答） 42
TextP22 B2.将3种植物全部种在如图的5块 实验田里，每块试验田里只种一种植物
并且相邻试验田不能种植同一种植物.则
共有多少种不同的种植方法？ 7 A33
①
②
③
⑤
[思路探索] 解答本题可以分步涂色，但要注意相 邻区域颜色互异，也可以按选用颜色的种 数分类讨论．
解 法一 (分步直接涂色法) 第一步，给 A 区域着色有 C15种方法． 第二步，给 B 区域着色有 C14种方法． 第三步，给 C 区域着色． 若用 A 区域的颜色，则 D 区域有 C14种涂法． 若 C 区域的颜色与 A、B 区域不同，则有 C13种涂法， 则 D 区域也有 C13种涂法． 故共有涂法 C15·C14·(C14＋C13·C13)＝260(种)．
(2)(2017·大同质检)如图所示，用 4 种不同的颜色涂
入图中的矩形 A，B，C，D 中，要求相邻的矩形涂
色不同，则不同的涂法有( A )
A．72 种
B．48 种
C．24 种
D．12 种
【解析】
(2)法一：首先涂 A 有 4 种涂法，则涂 B 有 3 种涂法，C 与 A， B 相邻，则 C 有 2 种涂法，D 只与 C 相邻，则 D 有 3 种涂法， 所以共有 4×3×2×3＝72 种涂法．
种且相邻部分不能栽种同样颜色的花， 6
2
34
不同的栽种方法有______种.（以数
字作答）
解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看 知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求
（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共
有
N1=4×3×2×2×1=48种；
（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有 N2=4×3×2×2×1=48种；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有 A44
（4）③与⑤同色、②与④同色，则有 A44
（5）②与④同色、③与⑥同色，则有 A44
所以根据加法原理得涂色方法总数为
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个 行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
例4.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内， 每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可 以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
涂色问题
2.如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，
D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜
色，则不同的涂法共有( C )
A．400 种
思考：
若用2色、4色、5色 等,结果又怎样呢？
答:它们的涂色方案种数 分别是 0、 4×3×2×2 = 48、 5×4×3×3 = 180种等。
３.如图,用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域 只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有 种。
分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻，
5434 240
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种 情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域， 且相邻两个区域不能同色
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有 A44 （2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有 A44
• (1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法?
• (2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n
•①
③
•
④
•
②
•
(1)
① ③④
② (2)
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分 四步完成,
法二：按要求涂色至少需要 3 种颜色，故分两类：一是 4 种 颜色都用，这时 A 有 4 种涂法，B 有 3 种涂法，C 有 2 种涂 法，D 有 1 种涂法，共有 4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用 3 种颜色，这时 A，B，C 的涂法有 4×3×2＝24(种)，D 只要 不与 C 同色即可，故 D 有 2 种涂法，所以不同的涂法共有 24＋24×2＝72(种)．
B．460 种
C．480 种
D．496 种
[解析] 完成此事可能使用 4 种颜色，也可能使用 3 种颜色．当 使用 4 种颜色时：从 A 开始，有 6 种方法，B 有 5 种，C 有 4 种，D 有 3 种，完成此事共有 6×5×4×3＝360(种)方法； 当使用 3 种颜色时：A，D 使用同一种颜色，从 A，D 开始， 有 6 种方法，B 有 5 种，C 有 4 种，完成此事共有 6×5×4 ＝120(种)方法．由分类加法计数原理可知：不同涂法有 360 ＋120＝480(种)．
（3）②与④且③与⑥同色，则共N3=4×3×2×1=24种
所以，共有
N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.
5、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、 黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜 色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反 复使用，那么共有多少种涂色方法？
6、将３种作物种植在如图所示的５块试验 田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不 能种植同一种作物，不同的种植方法共有