应力应变分析

x
x y 在 ， 平面内
z
50
80 2
80 2 2
1 90MPa
2 10MPa
3 50MPa
302
40 50
9010MPa
50
Dy
10
C
max
1 3
2
70MPa
80 30
90
Dx
§11.6 应变分析
1. 某点处（单元体的）变形的描述——应变
一点的变形有正应变(线应变) 和切应变(剪应变)
求主方向：
tan
2 P
60 80
3 4
P1 18.45 P2 71.55
18.45 x
71.55
§10.5 应力圆
一点处平面应力状态的图解法。由斜面应力公式可得
y
y x x
y
y x
x
y
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin
2
(a)
x
y
2
sin
2
x
cos 2
(b)
x
上两式两边平方后相加
MPa
解： 初始单元体
半径 2 20 28.28
20 20 2 1 2 20 48.28MPa
20 2 20 2 1 20 8.28MPa
tan 2P 1
P1 22.5 P2 112.5
C 40
Dx
y
20 40 x
例题
例题3
§10 应力应变分析与应力应变关系
x y
2
y
y y P2
pi
x x y
Pi
x
x
x P1
O
Dy
y
y , x
单元体的主应力、主方向、主切应力
x y 2
2 P 2 C
D ,
2 Dx x , x
2P1
x y 2
（2）纯剪切（纯剪）
T
T
-
45º
主单元体
几种工程上常见的应力状态的实例： （1）单向拉伸
Pi
P
x
S与主平面P相差45º，即P1与P2的角平分线方向为S1和 S2的方向。切 应力的极值为：
Pi
2
注意
同理，某点的三个主应力中，任意二个主应力都可找出一组切应 力极值，分别为：
主切应力
P1
2
2
3
P2
1
3
2
该点单元体的最大切应力应为三者当中的最大者，即
P3
1
2
2
max
1
2
3
2
2
1
1
（10.5）
2
1
3 所在平面
P3
3 P1 所在平面
3
P2 所在平面
而最大切应力所在平面的法向应为1，3两方向的角平分线方向。
思考题：最大切应力所在平面上的正应 力是多少？
2
3 =？
1 max
例题
例题1
§10 应力应变分析与应力应变关系
已知初始单元体的应力(单位：Mpa)，求主单元体上的应力并
y
画出主单元体。
12 22
13 23
31 32 33
3.单元体的平衡条件
以单元体为分离体,过其形心C作xC,yC,zC轴：
MzC 0,
M yC 0,
MxC 0
zC
z zz
zx xz
xy
zy yx
yz
yy
y
yC
xy yx
xz zx
切应力互等定理
xx
故应力张量为二阶对称张量
20
2 P2 Dx
2 P1
80 D
40 37.9MPa
例题
例题2
§10 应力应变分析与应力应变关系
主单元体：
105.3Mpa
75.1
14.9
24.7Mpa
例题
例题3
§10 应力应变分析与应力应变关系
已知应力圆如图，画出该点的初始 单元体及应力，主单元体及应力。 （单位： ）
20 Dy
y y
x x
x x x
y
y
( , ) 2
Dx x , x
R
O x y
C
2
Dy y , x
因此，当 连续变化至
时，坐标
, 绕应力圆的圆心转一周.
Dx 应力圆上一点，由 绕圆心转过
,
y
y y
x x
x x x
y
y
2 角，对应 截面上的应力
( , ) 2
2
3
y
x
1
三向应力圆
空间任意方向截面上的应力 示。
K
2
， 可由三向应力圆所夹阴影面中某点 的应力坐标表
max p2 K
3
一点处最大的剪应力
1
p1
3
2
max
1 3
2
p3
1
例题
例题4
§10 应力应变分析与应力应变关系
求 ， ， ， 1 2 3 max
y
解： z 50MPa 为一个主应力
某点处所有截面上的正应力，其极大值为1，
极小值为3
单向、双向、三向应力状态
2 .某点单元体的最大切应力
由斜面应力公式
求导(10.2)
S
45º
x
y
2
sin 2
x cos 2
d d
( x
y ) cos2 2 x sin 2
0
cot 2S
2 x x y
tan 2 P
上式的两个解S1， S2为切应力达到极值的平面
工程力学（C）
(23)
北京理工大学理学院力学系 韩斌
§10 应力应变分析及应力应变关系
§10.1 应力的概念 一点处的应力状态
1.内力在变形体内某一截面上分布的描述
用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的内力分量：
FN , FS ,T , M
——截面分布内力系向截面形心简化后的 等效力系
y
FR FN
y
有切应力
y y
x P1
x
x
P2
对平面应力状态，z平面也为一个 主平面，其上的主应力为零。
故平面应力状态有三个主应力：
按代数值大小排列为 1 2 3
分别称为第一主应力，第二主应力，第三主应力，
对任意的一般应力状态，同样存在着三个相互垂直的主平面及三个主应力。
一般应力状态的分类；
某点的三个主应力全不为零——该点为三向应力状态 某点有一个主应力为零——该点为二向应力状态 某点有二个主应力为零——该点为单向应力状态，简单应力状态
y (dAsin ) sin x (dAsin ) cos 0
y
n
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
y
x x
y
y
x
x x
y
同理
可Ft得：0
n
x
x
y 2
sin 2
x
cos 2
x y y t
斜面应力公式
x
y
2
x
2
y
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
y
x
y
2
2
2
x
y
2
2
2 x
x
2
y
2
2
R2
圆的方程：圆心 ( 圆的半径：
R
) x y ,
2
(
x
2
y
)2
2 x
0
上式在应力坐标系
中为一圆，称 为应力圆(莫尔圆)
应力圆的画法：
已知某点的平面应力状态为
x , y , x
y
y y
x面坐标 Dx（ y面坐标 Dy（
） x , x
描述变形体内部某点的应力状态，应用二阶张量描述
§10.2应力张量的表示方法（分量表示法）
1.单元体的概念
变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元
在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体 z
单元体是变形体的最基本 模型
y
z
单元体的三对表面：
x
y
正面：外法向与坐标轴同向
负面：外法向与坐标轴反向
x
2.应力张量的表示方法
x xy yx
xy x x
y
例如当物体的表面不受力时在表面取出的单元体 例如外力作用在板平面内的薄板内任意点取出的单元体
1.平面应力状态的工程表示方法
应力分量的正负号规定：
y
y y
正应力 切应力
，
以拉为正
x
y
， x 以使单y元体顺时针转动为正
x x
x x x
故切应力互等定理为：
y
y
x y
解： 由初始单元体上的应力分量
30
x
x 80MPa y 0 x 30MPa
80
代入主应力公式：
x y
2
x
2
y
2
2 x
40
402
302
40 50
90 10MPa
故三个主应力分别为
1 90Mpa, 2 0, 3 10Mpa
例题
例题1
§10 应力应变分析与应力应变关系
2
202
105.3 24.6 MPa
100
50
40
30
主应力为：
tan 2P
1 105 .3Mpa, 2
2 20 7
30 100
24
.6Mpa,
3
0
20
2P2 29.8 P2 14.9 与2对应
Dy
30 C 100
P1 P2 90 75.1 与1对应 40 78.6MPa
单元体每个表面上，都有该点在该截面上的应力矢量（全应力），可分解为 三个分量
每对表面上的应力矢量互为反作用力，共9个分量
各应力分量的记法
xy
该分量的指向
z zz
x
zx zy yz
所在面的法向
xz xy yx yy y
yy
z
yx xy
xx
xz
xx
两脚标相同——正应力
yz
2 x x
y
（10.3）
0~2内，得两个值 和 ，且 P1 即这两个主平面相互垂直
P2
P2 P1 90
主平面上的正应力称为主应力
将P1，P2代入（10.1）得出主平面上的主应力为：
主应力公式
x y
2
x
2
y
2
2 x
（10.4)
由斜面应力公式（10.1）
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
x
为正确描述变形，应在该截面上的每
T
一点，描述内力的状况。
FS
MC
M
z
在P点取面元A，A上分布内力合力为
在 m-m截面上P点处定义：
F FS FN
lim FN
A
A0 A
F
FN
FS
m-m截面上P点的正应 力
p
A
lim FS
A0 A
p
lim
F
A0 A
m-m截面上P点的切应力 （剪应力）
）
y , x
两点连线与
轴的交点为圆心
C
x x y
x x x
y
以CDx为半径画出应力圆
Dx x , x
R百度文库
圆心 ( x ) y , 0
2
C O x y
圆的半径：
R
(x
y
2
)2
2 x
2
Dy y , x
应力圆的物理意义：
圆周上任意一点的坐标值，为该点某一斜截面上 的正应力和切应力
角以逆时针为正 y
xC
x
9个分量中，只有6个独立分量！
zy yz ij ji
§10.3 平面应力状态分析
若某点的单元体应力状态满足：
9个应力分量有些为零，不为零的应力分量作用线都在同一平面内——称为平面应力 状态或二向应力状态
y
y
可简化为平面单元体：
y
yx
x xy yx
xy x
x
z
y
y yx
2. 平面应力状态分析——解析法
若某点的应力状态已知，可求出该点任意外法线与为n的斜截面上 的应力分量。
已知：某点单元体上的应力分量
x , y , x
求该点外法线为n的斜截面——面上的正应力 , 切应力 。
沿斜面将单元体切开取分离体，设斜面面积为dA
Fn 0 dA x (dAcos ) cos x (dAcos ) sin
sin
2
令
d d
x
y
2
2sin 2 2 x cos 2 0
同样有
tan 2 2 x x y
即（10.3）式
故，主平面上的正应力达到极值
即主应力分别对应于的极大值和极小值
从变形体内任意点取出的单元体称为原始单元体
以主平面为单元体的各面则称为主单元体
主单元体的各表面上只有正应力，没
m-m截面上P点的全 应力
应力的单位：1Pa=1N/m2
1Mpa=106Pa
1Gpa=103Mpa=109Pa
2. 变形体内某一点的应力状态——应力张量的概念 正应力、切应力（或全应力）——均与过物体内部的某
一点的一个截面有关
过物体内部某点 p的所有截面上的应力分量的总体，称为变形体 在该点的应力状态
（2）单向压缩
-
单压
单拉
例题
例题2
§10 应力应变分析与应力应变关系
某点单元体应力状态如图，确定该点的主应力、 主方向，画出主单元体及其上的应力，并在应力 圆上标出图示截面上的应力，（单位： ）
MPa
100
50
30 20
例题
例题2
§10 应力应变分析与应力应变关系
解：
30
100 2
30 100 2
zy zx
y
两脚标不同——切应力
x
zz
故应力张量的分量表示为：
~
xx yx
xy yy
xz yz 或
zx
zy
zz
或
~
x yx
xy y
xz yz
zx
zy
z
~
x yx
xy y
xz yz
zx
zy
z
若记x=1,y=2,z=3,则
~
11 21
n
y
x x
y
y
x
x x
y
（10.1） (10.2)
§10.4主平面、主方向、主应力、最大切应力
1. 主平面 主方向 主应力
在变形体内某一点处：
若某一方向的斜截面上
，则该截面 称为0主平面
该斜截面的方向角称为主方向，记为P，
则有 (10.2) 主方向公式
x
y
2
sin 2
x
cos 2
0
tan 2 P
正应变——线段单位长度的改变量，无量纲
主单元体：
112.5°
48.28 22.5
20 Dy
C 40
8.28
Dx
y
20 40 x
§11.5 三向应力状态
将三个主应力按代数量的大小顺序排列
1 2 3
因此根据每一点的应力状态都可以找到3个相 互垂直的主应力和3个正交的主方向
z zz
zx zy yz
xz
xy yx
yy
y
xx
x z
Dx x , x
R
O x y
C
2
Dy y , x
从应力圆上还可找到：主应力，主方向，主切应力
主应力：
, ,0 1, 2, 3
主方向：
P1, P2 , z 方向
pi
0
最大切应力：
O
max
1
2
3
Dy
y , x
2 P 2 C
D ,
2 Dx x , x
2P1
x y 2