非齐次方程的解法

0 x l,t 0 t0 0 xl
解：令 u(x,t) X (x)T (t)
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0
T a2T 0
u(0,t) X (0)T (t) 0 u(l,t) X (l)T (t) 0 X (0) 0, X (l) 0
X X 0, 0 x l
n0
n
l
x
0
u(x,0)
t
vn (0) sin
n0
n
l
x
0
vn (0) 0
vn (0) 0
n2
vn(t)
a2
n2
l2
2
vn (t)
0
vn (t)
A c osa
n
l
t
B sin
a
n
l
t
n2
vn (t) 0
v2(t)
a2
4 2
l2
v2 (t)
sin
2a
l
t
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
p 2Vn ( p)
a2
n 2
l2
2
Vn ( p)
Fn ( p)
0
1
Vn ( p) p 2 a 2 n 2 2 Fn ( p)
k sin kt p2 k2
1
p2
a2
n2
l2
2
l sin na t na l
l2
vn (t)
l
na
sin
na
l
t
fn (t)
l
na
t 0
fn
(
)
sin
na
l
(t
)d
n
l Bn
cos
n
l
x
X (l) B sin l 0
n
2 n
n
l
2
, n
1,2,3,
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
u(uutx(,0x0,)at)2 0x,2u2u(lx,sti)n
t
0,
0 x l,t 0
t0 0 xl
Xn
n
Bn cos l
x, n 0,1,2,3,
令： u(x,t) V (x,t) W (x,t)
2W Wt(20,
t)
a2
2W x2
W (l,t
)
0,
W
(
x,
0)
( x),
W
(x,
0)
(
x)
t
2V V(t02 ,
t)
a2
2V x2
V (l,t
f (x, ) 0,
t
),
V
(
x,
0)
V
(x,
0)
0,
t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
X (0) A 0 n n / l, n 1,2,3,
n
X n (x) Bn sin l x
X (l) Bsin l 0
n n2 n / l2
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u u(t02,
t)
a
2 2u
x 2 u(l , t )
sin 0,
2
l
x sin
2a
l
t
2
2u
2
1 2
2 sin 2
n0
An
c
osn
Bn sin n
1
An
cosn
1
Bn
sin n
n2
2
An
cosn
n2
2
Bn
sin
n
An
n0
1
An
n2
2
An cosn
Bn
1
B
n2
2
1
Bn
s
in
n
n
2
2 sin 2
An
1
An
n2
2
An
0
Bn
1
Bn
n2
2
Bn
0
n2
B2
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u u(t02,
t)
a
2 2u
x 2 u(l , t )
sin 0,
2
l
x sin
2a
l
t
0 x l,t 0 t0
u
(x,0) 0, u(x,0)
u
n0
vn
(t)
t
sin
n
l
x
0,
n2
0 xl vn (t) 0
n2
v2 (t)
l
2a
sin
第2章分离变量法
例17 求定解问 题
2u
x
2
2u y 2
xy,
u | x2 y2 1 0
x2 y2 1
解：将原 问题变换 到极坐标 系下：
1
u(1,
u
1
2
2u
2
) 0, u(0, ) ,
1 2
2
sin
2
,
(0) (2 ),
1,0 2
0 2 1
u(, ) ()( )
u
vn (t) cos
n0
n
l
x
vn (t) a2
n0
n 2
l2
2
n
vn (t) cos
l
x sin t
n
u(x,0) vn (0) cos
n0
l
x0
vn (0) 0
n0 n0
v0 (t) sin t
vn (t)
a2
n 2
l2
2
v0 (t) vn (t)
0
1 cost C
vn (t) Ce
sin 2 ) 12 2
cos 2 ,
a b, 0 2
u |a u |b 0,
0 2
(0) (2 ),
a b
X (0) 0,
X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u u(t02,
t)
a
2 2u
x 2 u(l , t )
sin 0,
2
l
x sin
2a
l
t
u ( x,0)
0,
u ( x,0) t
0,
0 x l,t 0
t0 0 xl
X X 0,
X (0) 0,
当 2 0 时 X 2 X 0
u(x,t) X (x)T (t)
T X a2TX
T a 2T
X
X
X X 0
T a2T 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X X 0 T a2T 0
u(0,t) X (0)T (t) 0 x
u(l,t) X (l)T (t) 0 x
X X 0 0 x l
sin
2a
l
t
v2(t) p2V2 ( p) pv2 (0) v2 (0) p2Vn ( p)
2a
l
p2
22 a2
l2
2
sin 2a
l
t
2a
p2V2 ( p)
4a2
l2
2
V2
(
p)
p2
l
4a2 2
l2
2a
V2 ( p)
p2
l
4a 2 2
p2
1
4a 2 2
l2
l2
l 2a
2a
v2 (t) 2a sin l t sin l t
f n (t)
0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
n
V vn (t) sin
n1
l
x
v n (t )
a2
n 2
l2
2
源自文库
vn (t)
f n (t) 0
n
V (x, 0) vn (0) sin
n1
l
x0
V (x, 0)
t
vn (0) sin
n1
n
l
x
0
vn (0) 0
vn (0) 0
vn (t) Vn ( p) f n (t) Fn ( p) vn(t) p2Vn ( p) pvn (0) vn (0) p2Vn ( p)
2a
l
t
sin
2a
l
t
l
2a
t
0 sin
2a
l
sin
2a
l
(t
)d
l
4a
t 0
cos
2a
l
t
cos
2a
l
(t
2 )d
l ( l sin 2a t t cos 2a t)
4a 2a l
l
u l ( l sin 2a t t cos 2a t)sin 2 x
4a 2a l
l
l
数学物理方程与特殊函数
2
1
1
24
4
24
4
u 1 2 (1 2 ) sin 2
24
1 (1 x2 y2 )xy 12
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例18 问题
求定解
2u
x
2
2u y 2
12(x 2
y2 ),
a
x2 y2 b
u |
u|
0
x2 y2 a
x2 y2 b
1
u
1
2
2u
2
12 2 (cos 2
1 1 0
2
2 0 0
1 1 0
2
(0)() (2 )() (0) (2 )
1
12
0, 0 2 (0) (2 )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
u1(1,)0,uu
1
2
2u
2
(0, ) ,
1 2
2
s
in
2
,
(0) (2 ),
2u u(t02,
t)
a
2 2u
x 2 u(l , t )
sin 0,
2
l
x sin
2a
l
t
0 x l,t 0 t0
u(x,0)
u
n1
0, u(x,0) t n
vn (t) sin l
x
0,
n2
0 xl vn (t) 0
k sin kt
p2 k2
n2
v2(t)
a2
4 2
l2
v2 (t)
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
四 非齐次方程的解法
求下列定解问题
2u u(t02,
t)
a2
2u x2
u(l,t
f (x, ) 0,
t
),
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
t
0 x l,t 0 t 0 0 xl
思考 方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？
非齐次方程的求解思路
•用分解原理得出对应的齐次问题 •解出齐次问题 •求出任意非齐次特解 •叠加成非齐次解
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u u(t02,
t)
a2
2u x2
u(l,t
f (x, ) 0,
t
),
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
t
0 x l,t 0 t 0 0 xl
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例15 求下列定解问题
u(uutx(,0x0,)at)2 0x,2u2u(lx,sti)n
t
0,
0 x l,t 0
t0 0 xl
解：先解对应的齐次问题
u
t
a2
2u x2
u (0,
x
t
)
u(l, x
t)
0,
u(x, 0) 0,
0 x l,t 0 t0 0 xl
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2V V(t02 ,
t)
a2
2V x2
V (l,t
f (x, ) 0,
t
),
0 x l,t 0, t 0,
V
(
x,
0)
V
(x,
0)
0,
0 x l,
t
令：V
vn (t) sin
n1
n
l
x
为什么？
vn(t) sin
n1
n
l
x
a
2
n1
1
B2
4
2
B2
1 2
2
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
u1(1,)0,uu
1
2
2u
2
(0, ) ,
1 2
2
s
in
2
,
(0) (2 ), u An () cos n Bn () sin n
1,0 2
0 1
2
An
1
An
n2
2
An
0
Bn
1
Bn
n2
2
Bn
0
n2
n0
u(1, ) An (1) cos n Bn (1) sin n 0 n0
B2
1
B2
4
2
B2
1 2
2
An (1) Bn (1) 0 An (0) Bn (0)
C0 D0 ln
Cn n Dn n An 0
Bn 0 n 2
C B2
4
C2
12C 2 4C 2 D2 2
2 1 24
4C 2 1 2
4
C2
2 2
1 24
C 4 1
24
1
24
X (0) 0,
X (l) 0
2 0
X 2 X 0 X (0) A B 0
X Aex Bex X (l) Ael Bel
0 2 0
AB0
X 0
X 0
X Ax B X B0
X 2 X 0
X Asin x B cosx
X (0) A 0
n
Xn
0 x l,t 0
t0
n n / l2, n 1,2,3,
u ( x,0)
0,
u ( x,0) t
0,
0 xl
X n (x)
Bn
sin
n
l
x
u
vn (t) sin
n0
n
l
x
vn(t)
n1
a2
n2 2
l2
vn (t) sin
n
l
x sin
2
l
x sin
2a
l
t
u(x,0)
vn (0) sin
v0 (t)
a
2
n
2 l2
2
t
1 1 cost
vn (t) 0
u 1 1 cost
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例16 求下列定解问题
2u u(t02,
t)
a
2 2u
x 2 u(l , t )
sin 0,
2
l
x sin
2a
l
t
u ( x,0)
0,
u ( x,0) t
0,
1,0 2
0 2 1
0, 0 2 (0) (2 )
2 0 2 0 Ae Be 0
0
0
B A
0 A0
2 0 Acos Bsin
n n
n
2 n
n2 , n
1,2,3,
n An cos n Bn sin n
数学物理方程与特殊函数
X (x) Ae x Be x
0 xl X (l) 0
X (0) A B 0 X (l) Ael Bel 0
当 0 时 当 2 0时
AB0
X 0 AB0 X 2 X 0
X (x) 0 X (x) Ax B X (x) 0
X (x) Acosx Bsin x
第2章分离变量法
u1(1,)0,uu
1
2
2u
2
(0, ) ,
1 2
2
s
in
2
,
1,0 2 0 2
(0) (2 ), n n2 , n 0,1,2,3,
1
u An () cos n Bn () sin n
n An cos n Bn sin n
n0
2u
2
1
u
1
n 2
l2
2
vn (t) sin
n
l
x
f
(x, t)
a
2
n1
n2 2
l2
vn (t) sin
n
l
x
n1
fn (t) sin
n
l
x
f
(x,t)
n1
f n (t) sin
n
l
x
f n
(t)
2 l
l 0
f (x, t) sin n
l
xdx
vn(t)
a2
n 2
l2
2
vn (t)