高中数学第一章计数原理122组合与组合数公式教案新人教A版选修2 30728115

1.2.2组合与组合数公式

教学目标：组合、组合数的概念；

理解组合的意义，掌握组合数的计算公式．

教学过程： 1、复习、引入：

1．复习排列的有关内容： 2．提出问题：

1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名

同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引出课题：组合．．问题． 2、新授：

组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出

m 个元素的一个组合．

注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同 练习 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：

⑴ 从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览；（组合）

⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）

组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中

取出m 个元素的组合数．用符号m

n C 表示．

例如：问题 2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有32

3=C 种组

合．

又如：从A 、B 、C 、D 四个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6种组

合，即：62

4=C

（在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题， 关键是看是否与顺序有关．）

那么又如何计算m n C 呢？

组合数公式的推导：

⑴提问：从4个不同元素a ，b ，c ，d 中取出3个元素的组合数3

4C 是多少呢？

启发： 由于排列可以看成先组合后排序，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：

组 合 排列

dcb

cdb bdc dbc cbd bcd bcd

dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd

cba bca acb cab bac abc abc

,

,

,

,

,

,,,,,,,,,,,,,,

,

→

→→

→ 由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数3

4A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有3

4C 个；② 对每

一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 3

3

A ，所以：333

4

34

A A C =．

⑵ 推广： 一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m

n A ，可以分如下两步：① 先求从n

个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m

m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m

A ⋅ ⑶ 组合数公式：

!)1()2)(1(m m n n n n A A C m m m

n m

n

+---=

=

或 )!

(!!m n m n C m

n -= ),,(n m N m n ≤∈*

且

巩固练习：

1．计算：⑴ 47C ⑵ 7

10C

2．求证：1

1+⋅-+=

m n m

n C m

n m C 3．设,+∈N x 求3

21132-+--+x x x x C C 的值．

例题讲评

例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？

例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？学生练习：（课本99练习）

课堂小结：

解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理．

课后作业：

课后反思：