复旦大学数学系陈纪修《数学分析》(第二版)习题答案ex4-4

=
1 + csc x 2 + x 2 csc x 2 cot x 2 (1 + csc x )
3 2 2
。
（13） y ' = ( 3
2 2x −1
2
) '+ (
3
4
3x3 + 1
)'
4 5 − − 1 1 = 2(− )(2 x 2 − 1) 3 (4 x) + 3(− )(3x 3 + 1) 4 (9 x 2 ) 3 4 4 5 − − 8 27 2 3 2 3 = − x(2 x − 1) − x (3 x + 1) 4 。 3 4
2
3
⒁ y = e − sin x ；
⒂ y = x a2 − x2 +
解 （1） y ' = 2(2 x 2 − x + 1)(2 x 2 − x + 1)' = 2(2 x 2 − x + 1)(4 x − 1) 。 （2） y ' = e 2 x (sin 3x)'+(e 2 x )' sin 3x = e 2 x (3 cos 3x + 2 sin 3x) 。
x −1− 1+ x 。 2 1+ x (x + 1+ x )
(e− x ) ' 1 − (e− x )2
2
2
=
−2 x e− x
2
1 − e−2 x
2
=
− 2x e
2 x2
。
−1
（9） y ' = [ln( x 4 − 1) − ln( x 2 ]' =
( x 4 − 1) ' 1 2 x4 + 2 − 2 = 。 x4 −1 x x( x 4 − 1)
i =1
74
y ' = y[∑ ln'( x − xi )] = ∏ ( x − xi ) ⋅ ∑
i =1
n
n
i =1
1 。 i =1 x − xi
n
（7）令 u = x x , ln u = x ln x ，则
u ' = u[( x ) 'ln x + x (ln x) '] = u ( 2 + ln x x 2 x
习
题
4.4
复合函数求导法则及其应用
⒈
求下列函数的导数： ⑴ y = (2 x 2 − x + 1) 2 ； ⑶ y=
1 ； 1 + x3
⑵ y = e 2 x sin 3x ； ⑷ y=
ln x ； x
⑸ y = sin x 3 ； ⑺ y = x + 1 − ln( x + x + 1 ) ；
⎛ 2 ⑼ y = ln⎜ x − ⎝ 1 ⎞ ⎟； x2 ⎠
− − 1 3 （3） y ' = − (1 + x 3 ) 2 (1 + x 3 )' = − x 2 (1 + x 3 ) 2 。 2 2 3 3
Байду номын сангаас
1 x ⎞ 2 ⎛ ln x ⎞ 1 − ln x ⎛ x ⎞ 2 （4） y ' = ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 。 2 ⎝ ln x ⎠ ⎝ x ⎠ 2 x 2 ⎝ ln x ⎠
（2） f ⎛ ⎜
1 1 1 ⎞′ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞′ )。 f '( ⎟ = f '⎜ ⎟⎜ ⎟ =− 2 ln x x ln x ⎝ ln x ⎠ ⎝ ln x ⎠⎝ ln x ⎠ 1 f ' ( x) [ f ( x)]' = 。 2 f ( x) 2 f ( x)
1 f ' ( x) [ f ( x)]' = 。 2 1 + [ f ( x)] 1 + f 2 ( x)
1 1 2 2 1 1 y ' = y[(ln x) '+ (ln(1 − x 2 )) '− (ln(1 + x3 )) '] 2 2
=
x 1− x2 ⎡ 1 3x 2 ⎤ x − − ⎢ ⎥。 2 2(1 + x 3 ) ⎦ 1 + x3 ⎣ x 1 − x
n
（6） ln y = ∑ ln( x − xi ) ，
2 2 2
⒋ 用对数求导法求下列函数的导数： ⑴ y = xx ； ⑶ y = cos x x ； ⑵ y = (x 3 + sin x ) x ；
1
⑷ y = ln x ( 2 x + 1) ；
73
⑸ y=x
1− x2 ； 1 + x3
⑹ y = ∏ ( x − xi ) ；
i =1
n
⑺ y = sin x x . 解 由于 (ln y ) ' =
1
'
1
（5） y ' = cos x 3 ( x 3 )' = 3x 2 cos x 3 。 （6） y ' = − sin x ( x )' = −
sin x 2 x
。
70
（7） y ' = ⋅ = （8 ） y ' =
1 ( x + 1) ' ( x + x + 1) ' 1 1+ 2 1+ x = − − 2 x +1 x + x +1 2 x +1 2 1+ x (x + 1+ x )
⑹ y = cos x ； ⑻ y = arcsin (e − x ) ；
2
⑽ y = ( 2 x 2 + sin x ) 2 ； ⑿ y=
x ； 1 + csc x 2
2
1
⑾ y= ⒀ y=
1 + ln 2 x ； x 1 − x2 2 3 + ； 4 2x 2 − 1 3x 3 + 1 x . a − x2
2
⎛ ⑵ f⎜
1 ⎞ ⎟； ⎝ ln x ⎠
⑷ arc tan f ( x) ； ⑹ sin ( f (sin x )) ； ⑻ f ( f ( x )) .
1 2
3 2 3 2
⑸ f ( f ( e x )) ； ⑺ f⎜ ⎜ f ( x) ⎟ ⎟； ⎝ ⎠
3 2
⎛ 1 ⎞
1
2 − 解 （1） f ( x ) ' = f '( x )( x ) ' = x 3 f ' ( x 3 ) 。 3
dy ： dx
ln x 1 2 + ln x ) = u( ) ，于是， + 2 x 2 x x
x
y ' = (sin u ) '(u ) ' =
x
cos x
。
⒌
对下列隐函数求
⑴ y = x + arc tan y ； ⑶
x − cos y = sin y − x ；
2
⑵ y + x ey = 1； ⑷ xy − ln( y + 1) = 0 ； ⑹ tan( x + y ) − xy = 0 ； ⑻ x 3 + y 3 − 3axy = 0 .
x ⎞ 2 2 2 2 2 （3 ） y ' = 1 ⎛ ⎜ x ' a − x + x( a − x ) '+ a (arcsin ) ' ⎟ 2⎝ a ⎠
⎞ 2 2 a > 0, ⎟ ⎧ a −x , ⎪ ⎟= 。 x2 ⎟ ⎨− , a 0. < ⎟ ⎪ a2 − x2 ⎟ ⎩ ⎠ ⎛ 1 ⎜ − 1⎜ 2 1 ( 2 x ) a = ⎜ a − x 2 + x( ) + a2 2 2 2 a2 − x2 ⎛x⎞ ⎜ 1− ⎜ ⎟ ⎜ ⎝a⎠ ⎝
y = ln( x + x 2 + a 2 ) ；
⑸ y = ( x x 2 − a 2 − a 2 ln( x + x 2 − a 2 ) . 解 （1） y ' = （2 ） y ' =
1 (sin x ) ' = cot x 。 sin x
1 2
(csc x − cot x ) ' − cot x csc x − (− csc2 x) = csc x 。 = csc x − cot x csc x − cot x
⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎤′ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞′ f ' ( x) ⎛ 1 ⎞ ⎟ = f ' f '⎜ （7） ⎢ f ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ =− 2 ⎟。 f ( x) ⎜ ⎝ f ( x) ⎠⎝ f ( x) ⎠ ⎝ f ( x) ⎠ ⎣ ⎝ f ( x) ⎠ ⎦
⎛ ⎞′ f ' ( f ( x)) f ' ( x) 1 f '( f ( x)) [ f ( x)]' = − （8 ） ⎜ 。 ⎟ =− 2 f ( f ( x)) ( f ( f ( x)))2 ⎝ f ( f ( x)) ⎠
1 x
= ( x + sin
3
1 x) x
⎡ 3 x 2 + cos x ln( x 3 + sin x) ⎤ − ⎢ ⎥。 3 x2 ⎣ x( x + sin x) ⎦
（3） ln y = x ln cos x ，
y ' = y ( x ln cos x ) ' = y[ x 'ln cos x + x (ln cos x ) '] = (ln cos x − x tan x )cos x x 。
2 2 2 2 2
（3） [ f ( x)]' =
（4） [arctan f ( x)]' =
2
（5） [ f ( f (e x ))]' = f '( f (e x ))[ f (e x )]' = f '( f (e x )) f '(e x )(e x ) ' = 2 xe x f ' (e x ) f ' ( f (e x )) 。 （6） [sin ( f (sin x))]' = cos( f (sin x))( f (sin x)) ' = cos( f (sin x )) f '(sin x)(sin x) ' = cos( f (sin x)) f ' (sin x) cos x 。
]
x ⎡ 1+ ⎢ 2 ⎛ ⎞ 2 1 x x − a2 = ⎢ x2 − a2 + x ⎜ −a ⋅ ⎟ 2 2 2⎢ x + x2 − a2 ⎝ x −a ⎠ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ 2 2 ⎥= x −a ⎥ ⎥ ⎦
。
⒊
设 f ( x ) 可导，求下列函数的导数：
72
⑴ f (3 x 2 ) ； ⑶
f (x) ；
y' ，所以 y ' = y (ln y ) ' 。 y
（1） ln y = x ln x ,
y ' = y (ln y ) ' = y[ x 'ln x + x(ln x) '] = (1 + ln x) x x 。
（2） ln y = ln ( x3 + sin x ) ，
⎡ 1 ′ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛1⎞ y ' = y (ln y ) ' = y ⎢⎜ ⎟ ln ( x 3 + sin x ) + ⎜ ⎟ ln ( x 3 + sin x ) '⎥ ⎢⎝ x ⎠ ⎥ ⎝ x⎠ ⎣ ⎦
（14） y ' = e− sin x (− sin 2 x) ' = − sin 2 x ⋅ e− sin x 。
2
2
71
（15） y ' = (
=
x(a 2 − x 2 ) + x a2 − x2
)' =
a 2 − 3x 2 + 1 a2 − x2
1 x(a 2 − x 2 + 1) ⋅ (− ) ⋅ (−2 x) 2 + 2 2 3 ( a −x )
2(1 − x 2 ) ln x − (1 + ln 2 x)(1 − 2 x 2 ) x (1 −
2 3 2 2 x )
。
（12） y ' =
x ' 1 + csc x 2 − x( 1 + csc x 2 ) ' 1 + csc x 2
1 (− cot x 2 csc x 2 ) ⋅ (2 x) 1 + csc x 2 − x ⋅ ⋅ 2 1 + csc x 2 = 1 + csc x 2
（4） y ' =
(x + x + a ) '
2 2
1+ =
2x
1 x + a2
2
x+ x +a
2
2
2 x2 + a2 = x + x2 + a2
。
（5 ） y ' = 1 [ x '
2
x 2 − a 2 + x( x 2 − a 2 ) '− a 2
( x + x2 − a2 ) ' x + x2 − a2
2 x 4 − 3a 2 x 2 + a 4 + a 2 (a − x )
2 3 2 2
。
⒉
求下列函数的导数： ⑴ y = ln sin x ；
⎛ ⎞ 2 2 2 ⑶ y = 2 ⎜ x a − x + a arcsin a ⎟ ； ⎝ ⎠ 1 x
⑵ y = ln(csc x − cot x) ； ⑷
−2(2 x 2 + sin x) ' − 2(4 x + cos x) （10） y ' = = 。 (2 x 2 + sin x)3 (2 x 2 + sin x) 3
（11） y ' = =
(1 + ln 2 x) ' x 1 − x 2 − (1 + ln 2 x)( x 1 − x 2 ) ' x 2 (1 − x 2 )
（4） ln y = x ln ln(2 x + 1) ，
y ' = y[ x 'ln ln(2 x + 1) + x(ln ln(2 x + 1)) ']
= ⎢ln ln(2 x + 1) +
⎣
⎡
⎤ x 2x ln (2 x + 1) 。 (2 x + 1) ln(2 x + 1) ⎥ ⎦
（5） ln y = ln x + ln(1 − x 2 ) − ln(1 + x3 ) ，