最新第二章----一元函数微分学及其应用(2)

时Fra Baidu bibliotek f (x) 可以表示为 x x0 的一个 n 次多项式与一个
余项 Rn (x) 之和，即
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x
x0 )
1 2!
f
(x0 )(x
x0 )2
1 n!
f
(n) (x0 )(x
x0 )n
Rn (x)
x 其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(x
x0
xa F( x) xa F( x)
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求 导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达 法则.
当x时,该法则仍然.成立
注意： 1) 使用洛必达法则必须验证条件，不是 未 定式不能用罗必塔法则；
2)洛必达法则可以连续应用，必须步步化 简（尽可能地化简）、步步验证求未定式 的极限.
定理2 ( )
设(1)当x a时,函数f (x) 及F(x) 都趋于无穷 ; (2) 在a点的某领域(内点a 本身可以除)外, f (x)
及F(x)都存在且F(x) 0; (3) lim f (x) 存在(或为无穷大 );
xa F(x) 那末lim f (x) lim f (x) .
xa F(x) xa F(x)
0 设(1)当x a时,函 数 f (x) 及 F(x) 都 趋 于 零; (2) 在a 点 的 某 领 域(内 点a 本 身 可 以 除)外, f (x) 及 F(x) 都 存 在 且F(x) 0; (3) lim f (x) 存 在(或 为 无 穷 大 );
xa F( x) 那 末lim f (x) lim f (x) .
则至少存 (a 在 ,b)， 一 f使 '(点 )0.
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：·
如果 AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不
垂直于 x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么
在曲线弧 AB 上至少存在一点C ，在该点处曲线的切线
平行于 x 轴.
)n1
(
介于 x0 与
之间)．
该公式称为 n 阶泰勒公式，
余项 Rn (x) 称为拉格朗日型余项.
当 n 0 时， 泰勒公式变成 f (x) f (x0 ) f '( )(x x0 ) ( 介于 x0 与 x 之间)， 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．
在不需要余项的精确表达式时， n 阶泰勒公式也
yf(a )f(b )f(a )(x a ). b a
作辅助函数
(x ) f(x ) f(a ) f( b ) f(a )(x a ) b a
即可. (x) 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端
点连线对应的纵坐标之差.
推论 1 若函数 f (x) 在区间 I 上导数恒为零，则
f (x) 在区间 I 上是一个常数．
2. 拉格朗日中值定理
定理 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a ,b )， f(使 )f(b )f(a ). 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值b 定a 理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 (x),
则至少存在一点 (a,b)， 使 F f((b b)) F f((a a))F f(()) .
在柯西中值定理中，若取F(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
4. 泰勒公式
泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开
区间 (a, b) 内具有直到 n 1阶导数， 则当 x 在 (a, b) 内
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'()0 能导出 f()f(b)f(a)， 则问题可解决.
ba
拉格朗日中值定理的几何意义：
如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的
切线，那么在曲线弧上至少有一点(, f())使, 曲线在该点处的
切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
弦线的方程为
f(a)limf(x)f(a) x a xa
f(a)是一个常数值限 ，当 上 x述 a时极，
分子分母同时0。 趋向于
0型未定式 0
limtan x , x0 x
(0) 0
型未定式 limlnsinax,
x0 lnsinbx
( )
洛必达 (L’Hospital,1661-1704)
定理1 ( 0 )
或
f (n) (0) xn n!
Rn (x) ，
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 2!
其中 Rn (x)
． f (n1) ( ) xn1
(n 1)!
f (n) (0) xn n!
o(xn ) ，
二、洛必达法则
1.
0型和型的极限 0
考察函 f(x数 )在a点的导数， a点 假可 设导 在
当x时,该法则仍然.成立
2. 其它未定式的求法
0 , ,00,1, 0型
可写成
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
1 2!
f
(x0 )(x x0 )2
1 n!
f
(n)
(x0
)(x
x0
)n
即 ， Rn (x) o((x x0)n) 该余项称为皮亚诺形式的余项．
当 x0 0 时的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)
公式， 即
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 2!
推论 2 如果函数 f (x) 与 g(x) 在区间 I 上恒有
f ( x) g ( x)，则在区间 I 上 f (x) g(x) C ，
其中 C 为常数．
3. 柯西中值定理
定理 设函数f(x)与F(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，F(x) 0,
第二章----一元函数微分学 及其应用(2)
一、微分中值定理
1. 罗尔定理
引理 设f(x)在x 0 处可导,且在 x 0 的某邻域内恒有 f( x ) f( x 0 )或 ( f( x ) f( x 0 )则)有,f(x0)0.
定义 导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点、
临界点）.
.
罗尔定理 设函数 f(x) 满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),