医用高等数学答案

3 3 3 3
x +1 .
2
第 1章 函数与极限
17
2
( 4 ) y = e , u = v , v = sin w , w = 解 y = exp sin2 1 x .
u
1 . x
5 . 指出下 列各 函数是 由哪 些基 本初等 函数 或简单 函数 复合 而成 ( 1 ) y = earc tan ( 2 x + 1 ) . 解 y = e , u = ar ct an v, v = 2 x + 1 . ( 2) y = sin ( x + 2 ) .
x - 1 1
- 3
= e- 3 ;
2 = lim 1 x→ ∞ 1+ x
x+ 1
x - 1
2 = xlim 1 →∞ 1+ x = xlim →∞ = xlim →∞ 2 11+ x 2 11+ x
2 11+ x
- 2
- 2
x+ 1 - 2
2 11+ x
- 2
x+1 -2
- 2
2 lim 1 x→ ∞ 1+ x
3 1
ln ( 2 + x ) 1 + 2x + 1
2 1
[ ( 1 + 2 x ) 3 - ( 1 + 2 x) 3 + 1 ] ln ( 2 + x ) = xlim → - 1 1 +2x+1 = =
1 3 ln ( 2 + x) 3 ln ( 1 + t) 3 t lim = lim = lim ln ( 1 + t) 2 x→ - 1 1 + x 2 t→ 0 t 2 t→ 0 1 3 t ln lim ( 1 + t) t→ 0 2 x+ 1
3 3 u
解 y = u 2 , u = sin v, v = x + 2 . ( 3 ) y = tan 1+ x . 1- x 1+ x . 1- x 1 l n w, w = x2 + 1 . 2
x 2 x
解 y = tan u, u = v, v = ( 4 ) y = cosl n3 x2 + 1 .
2
=
1 ; 2
20
( 11 ) lim x1 - x = lim ( 1 - t) x→ 1 t→ 0
2 2 t
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= lim ( 1 - t) t→ 0
1 2
1 - t
2
= lim ( 1 - t) - t t→ 0
1
=e ;
1 - 3
2
( 12 ) lim ( 1 - 3 x) x = lim ( 1 - 3 x) - 3x x→ 0 x→0 = lim ( 1 - 3 x) - 3x x→0 x- 1 ( 13 ) xlim →∞ 1+ x
子分母为同阶无穷小量 , 即 lim ( x + bx + 6 ) = 0 x →1 11 . 已知 x→ lim (2 x +∞ 出极限值 . 解 x→ lim (2 x + ∞ a x2 - x + 1 ) = x→ lim +∞ 4 x2 - a x2 + x - 1 2 2 x + ax - x + 1
2
定 义域为 [ 2 k π, ( 2 k + 1 )π] ( k = 0 , ± 1 ,
1 ≤ x ≤1 e
定义域为
1 ,1 e
.
- 1 ≤ x≤ 1
定义域为 [ - 1 , 1 ] .
4 . 写出 y 关于 x 的复合函数 ( 1 ) y = lg u, u = t an ( x + 1 ) . 解 y = lg [ tan ( x + 1 ) ] . ( 2) y = u , u = 解 y = ( x2 + 1 ) 2 . ( 3 ) y = u + sin u, u = 1 - v, v = x3 . 解 y = 1 - x + sin ( 1 - x ) .
2 2
13-
1 2 x
1 1 - 2 x x
=
1 ; 3
第 1章 函数与极限
19
2
x - 5x+4 2x - 1 ( 4 ) 因为 lim = 0 , 所以 lim = ∞; 2 x→1 x→ 1 x 2x - 1 - 5x+4 ( 5 ) lim x→3 x + 13 - 2 2 x -9 = lim x→3 (6 ) lim ( x + 3)(
18
( 2 ) nlim →∞ n sin n 1 = nlim →∞ n+1 n + 1/ 1 n + 1/ si n n;
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n
因为对于任意的自然数 n, 有 0≤ 注意到 lim 0 = nlim n→ ∞ →∞ 由夹逼法则得 lim n→ ∞ 即
n→ ∞
n
sin n ≤
- 2
=e
- 2
;
1 ln ( 1 + x ) x + ln ( 1 + x) x ( 14 ) lim = lim x→ 0 3 x - ln ( 1 + x) x→0 1 3ln ( 1 + x ) x 1+ 1 + ln ( 1 + x) x 1 + 1 = lim = 1; 1 = x→ 0 3 1 x 3 - ln ( 1 + x) ( 15 ) xlim → - 1
1 n + 1/
n
,
1 n + 1/
n
= 0,
1 n + 1/ 1 n + 1/
n
si n n = 0 ,
lim
n
si n n = 0 ,
故 lim n→ ∞ ( 3 ) nlim →∞ nsin n = 0 . n+1
1 2 n-1 1 1 = nlim ( n - 1) n 2 + 2 + … + 2 2 ・ →∞ 2 n n n n = nlim →∞ 1 2 11 n = 1 . 2
2 2
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x < 0, x = 0 , 求 f ( 0) , f x> 0 . 1 2 , f lg 1 2 .
1 , f 2
2
1 2
= -
1 1 , f lg 2 2
= f ( - lg2 ) = 1 +
( - lg2 ) = 1 + ( lg2 ) . 3 . 设函数 y = f ( x ) 的定义域为 [ 0 , 1 ] , 求下列函数的定义域 ( 1) y = f x + 0≤ x + 解 由 1 3 + f x1 ≤1 3 1 3 .
1 2 ≤ x≤ 3 3
1 0≤ x - ≤ 1 3
1 4 ≤ x≤ 3 3
定义域为
1 2 , 3 3
.
( 2 ) y = f ( sin x) . 解 由 0 ≤ sin x ≤ 1 ±2 , … ) . ( 3 ) y = f ( ln x + 1 ) . 解 由 0≤ l n x + 1≤1 ( 4 ) y = f ( x2 ) . 解 由 0≤ x ≤1
1 2
= xlim 1+ →∞
1 2
lim x→∞
1 2
=e .
x2 + bx + 6 10 . 已知 lim = 5 , 试确定 b 的值 . x→1 1- x 解 由于分母极限 为 0 , 故只 有分 子 的极 限 也为 0 时 整个 分 式才可能有极限 0 型极限 , 其 结果 是个非 0 有限数 值时 , 说 明分 0
π π π x = lim t tan ( 1 t) = lim t co t t t→ 0 t→ 0 2 2 2 π t 2 2 π 2 = lim ・ cos t = ; t→ 0 π π 2 π sin t 2
( 10 ) lim x→ 0
tan x - si n x sin x 1 1 - cos x = li m ・ ・ 3 2 x→ 0 x x cos x x x sin sin x 1 2 = li m ・ ・ x→ 0 x 2cos x x 2
解 y = cos u, u = v3 , v =
6 . 已知 f ( ex + 1 ) = e2 x + ex + 1 , 求 f ( x) 的表达式 . 解 f ( e + 1) = e + e + 1 = ( e + 1 ) - ( e + 1) + 1 x - x+1 . 7 . 已知 f tan x Βιβλιοθήκη Baidu 1 1 k π = tan2 x + + 3, x≠ ( k = 0, 2 tan x t an x 2 1 tan x + tan x
x-1 >0 x+2
ln ( 2 + x) . x( x - 4 ) ( 2 + x) ≥ 1 1 x- 1 2 x ≥ - 1 ; 又 x≠ 0 , x≠ 4 从
解 由 ln ( 2 + x) ≥ 0
而定义域为 [ - 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 4 ) ∪ ( 4 , + ∞ ) . ( 5) y = 解 由 又由 1 + a rcsi n 2 - x2 ( 2 - x2 ) > 0 - 1≤ .
2
x+1
= lim x→ 3
3 (3 - x) ( x - 9 ) ( x + 13 + 2
2
x + 1)
-3 x + 13 + 2
2
x + 1)
= -
1 ; 16 1 1 1 1+ 2 + x x
x→ + ∞
x +1 - 1 = x→ lim +∞ x
x = x→ lim +∞ x +1 +1
= 1; ( 7 ) lim x→1 1 2 1 - x 1 - x2 = lim x→ 1 x-1 -1 1 = ; 2 = lim x→ 1 1 + x 1- x 2 x 2 si n
- 2 < x < 2; 0 ≤ x≤ 2 ;
1 x - 1 ≤1 2
故定义域为 [ 0 , 2 ) . ( 6) y = x . sin x 定义域为 ( k π, ( k + 1 )π) ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , … ) .
解 由 sin x≠ 0
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1+ x , 2 . 设 f ( x) = 1 , 2 - x, 解 f( 0) =
第 1章 函数与极限
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1 k π ( k = ± 1 , ± 2 , … ) 为第Ⅱ类间断点 . 2
1 .4 习题解答
本节给出了由张选群 教授主 编 , 人民 卫生出 版社 出版 的 统编 教材 《医用高等数学 》 习题的解题思路及参考解题过程 . 1 . 求下列函数的定义域 ( 1) y = ( x + 2) ( x - 1) . 定义域为 ( - ∞ , - 2 ] ∪[ 1 , + ∞ ) . 定义域为 [ 2 , 4 ] . 解 由 ( x + 2 ) ( x - 1) ≥0 ( 2 ) y = a rccos ( x - 3 ) . 解 由 - 1 ≤ ( x - 3 ) ≤1 ( 3 ) y = lg 解 由 ( 4) y = x- 1 . x+ 2 定义域为 ( - ∞ , - 2 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) .
x 1 - cos x 2 ( 8 ) lim = lim = lim x→0 x → 0 x → 0 x sin x x x x x ・ 2si n cos xcos 2 2 2 2 sin2 sin = lim x→0 2・ x 2 = 1 ; 2
x x ・ cos 2 2
( 9 ) lim ( 1 - x) tan x→1
9 . 求下列函数的极限 x3 - 1 2 ( 1 ) xlim = lim ( x + x + 1 ) = 1; → - 1 x - 1 x→ - 1 x2 - 1 ( x + 1 ) ( x - 1) x+ 1 2 ( 2 ) lim = lim = lim = ; 2 x→1 2 x - x - 1 x→ 1 ( 2 x + 1) ( x - 1 ) x→ 1 2 x + 1 3 ( 3 ) lim x→ ∞ x -1 = lim 3 x - x - 1 x→ ∞
2 2 x 2x x
f ( x) =
± 1 , ± 2 , … ) , 求 f ( x ) 的表达式 . 1 2 1 解 f t an x + = tan x + +3= 2 tan x tan x 1 f ( x) = x2 + 1 . 8 . 求下列函数的极限 ( 1 ) nlim ( →∞ n+ 1 n) = lim n→ ∞ 1 = 0; n+ 1 + n +
=
3 ; 2
x+1
2 x+ 3 ( 16 ) xlim →∞ 2 x+ 1
2 = xlim 1+ →∞ 2x+ 1
1+ = xlim →∞
1 x+ 1 2
x+ 1
第 1章 函数与极限
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1 1 x+ 2 1 1 x+ 2
x+ 1 2 x+ 1 2
= xlim 1+ →∞
1+
1 x+ 1+ 1 2 1 x+