运筹学存储论

（1）没有经过企业加工，而为企业生产或其他各方面所需要 的原材料、燃料、半成品、部件等；如钢材、电缆、水泥、 煤炭、轴承、发动机、电动机等。
（2）已经过企业加工，但尚未加工完毕的在制品。 （3）企业已加工完毕，储而代销的成品与备件等。
库存的作用
适应原材料供应的季节性 适应产品销售的季节性 适应运输上的合理性和经济性 适应生产上的合理安排 适应批发量的大小
即得最高存储量的表达式
V Q1 Y －G X
在不缺货期间即在t1和t2期间的平均存储量为
1 V 1 Q1 Y －G
2 2 X
而在缺货期间存储量都为0，这样可以计算出平 均存储量，其值等于一个周期平均存储量
平均存储量＝周期总存储量 周期时间
＝周期内不缺货时总的存储量＋周期内缺货时总的存储量 周期时间
年度总库存费用 ＝年度总定购费用＋年度总存储费用 ＝（每次定购费用×订货次数）＋（单位货物年存储费
用×平均库存量）
其中：订货次数＝全年总需求量/每次进货量 平均库存量＝最高库存量/2＝每次进货量/2 ∵库存量是均匀递减的）
TC S n I Q S D I Q 2 Q2
现在问题是： 使得年度总库存费用最小的每次进货
1 2
Q1
Y X
G
t1
t2 0 t3
t4
t1 t2 t3 t4
＝
1 2
Q1
Y X
Gt1
t2
t1 t2 t3 t4
把以上周期公式代入得：
平均存储量＝
1 2
Q1
Y X
G
V X Y
V Y
V V G G
X Y Y Y X Y
现在的问题是：一年中应进几次货及每次进多 少货才能使年总库存费用最小？
对变量Q求导，并令其等于0，则
dTC dQ
S
D Q2
1I 2
1
Y X
0
Q*
2DS
I 1
Y X
例：
某厂每天需用某元件200件，全年以300 个工作日计，已知元件每天送达的数量是 1000件，每件年存储费用为0.6元/件， 每次定购费用为40元/件，试求最优订货 批量Q*，最优库存周期t0*。
三、再订货点
若上例中物料供应商要求工厂提前1天订 货才能保证及时送货，则工厂要在物料剩 余一天的需求量10件时就应该向供应商订 货以保证第二天能及时收到物料。我们把 这10件称为再订货点。
如果需要提前2天订货， 则再订货点为：10×2＝20件。
第二节 经济生产批量模型
一、经济生产批量模型的特点
V
Q
t1
-G
t
t2
从图可知，一个进货周期可分为两个阶段
在第一阶段，库存量最高为Q-G，随着需 求均匀递减，至t=t1时，库存量＝0;
此时并不马上进货，而是缺货一段时期至 t=t1+t2，进货量＝Q，其中一部分G马上 满足缺货需求，而不必存储。
年度总库存费用 ＝总定购费用+总存储费用+总短缺费用
短缺费
它指的是当需求不能被满足时所引起的损失，如失去销售机 会的损失，停工待料的损失，为补足拖欠订货所发生的额外 成本支出，以及由于对顾客（如厂矿企业）延期交货而付给 的罚金等。
假设
D：全年货物需求量/全年货物用量 Q：每次进货量/货物批量 n：全年进货次数 I：单位货物的年存储费用(c1） S：每一次定购费用（c3） TC：全年总的库存费用 X：每日供给的货物数量（p） Y：每日耗用的货物数量（d） P：货物单价 V：最高库存量 A：单位货物短缺费（c3） G：最高短缺量（S）
＝Q Y Q X
平均库存量＝ 1 最高库存量＝ 1 Q Y Q
2
2
X
年度总库存费用 ＝年度总定购费用+年度总存储费用 ＝（每次订货费用×订货次数）+单位货物年 存储费用×平均库存量
TC S D I 1 Q Q Y Q 2 X
S D 1 QI1 Y Q 2 X
解：
依题意，得 D＝3000件，I＝2元/件，S＝30元/次
Q* 2DS 2 3000 30 300(件）
I
2
n* D 3000 1（0 次） Q * 300
每天物料的使用量＝3000＝1（0 件/ 天） 300
d* 300 3（0 天） 10
M * Q * p 300 40 120（0 元/ 批）
AI
0.5 0.1
G*
2DSA
IA I
A A
I
Q *＝ 0.5 438＝36（5 件） 0.5 0.1
TC* 2DSIA＝ 2 1600 5 0.1 0.5＝36.5（1 元）
A I
0.5 0.1
第四节 允许缺货的经济生产批量模型
一、模型特点
Q* V
t1
-G
t
t2 t3 t4
在上图中t1为在周期t中存储量增加的时期， t2为在周期t中存储量减少的时期，t3为在 周期t中缺货量增加的时期，t4为在周期t 中缺货量减少的时期，显然有周期t＝t1＋ t2＋t3＋t4，其中t1＋t2为不缺货时期，t3 ＋t4为缺货期。图中的V表示最大存储量， G表示最大缺货量。
第一节 经济订货批量存储模型 （EOQ模型）
一、经济订货批量存储模型的特点
单位时间从存储中取走物资的数量是常量 或近似乎常量；
当存储降为零时，可以立即得到补充并且 所要补充的数量全部同时到位（包括生产 时间很短的情况，我们可以把生产实践近 似的看成零）。
不允许缺货，并要求单位存储费、每次订 购费、每次订货量都是常量，分别为一些 确定的、不变的数值。
特点图示
Q
t1
t2
时间t
模型假设
1、需求是连续的，均匀的。则库存量是 均匀递减的，且间隔相等时间进货。
2、当存储量降至零时，可以立即得到补 充。则最高库存量就是每次的进货量。
二、经济订货批量模型的公式
年度总库存费用＝ 年度总购进费用＋年度总定购费用＋年度总存 储费用
前面已提到购进费用主要指货物本身的 价格，不考虑折扣，则与进货多少无关。可以 不考虑此项。
在很多情况下，库存是陆续补充和陆续消 耗的。比如，某零售商店订了一批货，由 于运输等方面的原因，货物分多次陆续送 到。该零售商店一边收货一边售货，货物 的库存也是边消耗边补充。
特点图示
Q*
只补充 不消耗
V
只消耗 不补充
边补充 边消耗
t1 t
t2
模型假设
1、需求和进货都是连续、均匀的，则库 存量是均匀变化的。
最高库存量＝Q * Q * Y X
3200 3200 200 2560件 1000
t1*
Q* X
3200 1000
3.2天
t2* t0 * t1* 16 3.2 12.8天
图示
3200 2560
订货批量 最高库存量
3.2天
12.8天 16天
第三节 允许缺货的经济订货批量模型
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一、模型特点
进一次货所需要的固定费用 如果供应源来自企业外部，它就包括采购人员工资，差旅
费，手续费等，如果供应源来自企业内部，例如工厂，它 就包括更换模具、夹具、设备的调整及检验所需的费用。 定购费/订货费与所订货的数量无关。
购进费
是指货物本身的价格、运费等，它与进货多少有关 应该注意的是，如果不考虑折扣，当需求量一定时，无论
2、当存储降至零时，可以立即得到补充。
公式推导
一个进货周期可分为两个阶段：一是边补充边消耗时期 t1，二是只消耗不补充时期t2。
在t1期间，假设每天进货量X大于每天货物消耗量Y，则 每天库存量会逐日递增，到货物全部供应完时，库存量 达到最高。 最高库存量＝t1期间货物总进货量－该期间总消耗量 ＝进货量Q－每天耗用量×t1 ＝进货量Q－每天耗用量×（总进货量/ 每天进货量）
t4
G X Y
在图中可知t1和t4中边进货边销售，设在 同期t中总的进货量为Q（都是在t1和t4期 间生产的），其中总进货量的Y/X部分满 足了当时的需要，而剩下的（1－Y/X）部 分用于偿还缺货和存储，在这个期间（即 t1和t4期间）共偿还缺货G和存储产品量V， 即有
V G Q1 Y X
由于在t1期间每天的存储量为X－Y，最大 存储量V＝（X－Y）t1，即得到
V t1 X Y
同样在t2期间每天的需要量仍为Y，开始 时有库存量V，这是不进货，则有
t2
V Y
在t3期间，开始时没有库存量，每天需求 量仍为Y，直到缺货量为G，则有
t3
G Y
在t4期间，每天除了满足当天的需求外， 还有X-Y的产品可用于减少缺货，则有
＝（每次定购费用×订货次数）+（单位年存储 费×平均库存量）+（单位短缺费×平均短缺量）
其中
平均库存量＝周期总存储量 周期时间
＝周期内不缺货时总的存储量 同期内缺货时总的存储量 周期时间
＝
1 2
Q
G
t1
0
t2
t1 t2
1 2
Q
Gt1
t
因为最大库存量为Q-G，每一天的需求为
Y，则可求出周期中不缺货的时间t1，
t1
QG Y
又因为每次订货量为Q，可满足t时间的需 求即有
tQ Y
1 平均库存量＝2
Q
G
Q
Y
G
Q
G2
Q
2Q
Y
再计算平均缺货量：平均缺货量等于周期t内的平 均缺货量，在t1时间内不缺货，平均缺货量为0； 在t2时间内，平均缺货量为G/2，即得
1
0 t1 平均缺货量＝
2 G t2
G t2
t
2t
量Q应为多少？
利用微积分求最小值。 对变量Q求导，并令其等于0，则
dTC dQ
1I 2
DS Q2
0
1 2
I
DS Q2
Q* 2DS I
（EOQ公式、经济订货量公式）
例：
某一工厂每年需用某物料3000件，每件 单价40元，已知每件的存储费用为2元， 定购费用每次30元，试求最优订货批量 Q*，最优定购次数n*，每次订货可供使 用的最优天数d*，最优每次订货金额M* （设一年生产使用物料的天数为300天）
因为最大缺货量为G，每天需求为Y，则可 求出周期中缺货时间
t2
G Y
G
G 平均缺货量＝ Y
G2
2 Q 2Q
Y
∴年度总库存费用 ＝年度总购进费用+年度总存储费用+年度总短缺费用
TC S D I (Q G)2 A G 2
Q
2Q
2Q
问题：一年中进几次货及每次进货多少才能使总的存储费 达到最小？
对以上公式求Q及G的偏导，得
Q* 2DSA I
AI
G*
2DSA
IA I
A A
I
Q*
TC* 2DSIA A I
例：
已知每年需求量R＝1600件，定购费S＝ 5元，每年的单位商品保管费I＝0.1元， 每年的单位短缺费A＝0.5元，求Q*，S*， TC*。
解
Q* 2DSA I ＝ 2 1600 5 （0.5 0.1）＝43（8 件）
分几批进货，也无论每批的数量多少，总购进费是一个常 数。
存储论的基本概念
存储费/库存费
有每单位商品的存储费和存储数量决定。包括两个部分：（1） 购买商品或生产商品占用的资金的利息。若是银行贷款，即 贷款利息；如是自有资金，也应考虑占用资金的机会成本， 等同于银行的贷款利息。（2）存储仓库的费用、保险费用、 损耗费用、管理费用等。
使库存管理的总费用达到最低。
存储论主要解决两个问题
当我们补充存储物资时，我们每次补充数 量是多少？
我们应该间隔多长时间来补充我们的存储 物资？
存储模型的类型
确定性存储模型：模型中的数据皆为确定 的数值。
随机型存储模型：模型中含有随机变量。
存储论的基本概念
需求/输出 进货/输入 定购费/订货费
库存管理的意义
企业作为一个微观的经济系统，它必然要以宏 观的经济系统作为自己的依存环境，在供、产、 销、储、运等等方面搞好内部与外部的协调和 配合，才能获得良好的社会效益和经济效益， 才能保持企业的生存与发展。
企业库存管理的目标可概括为下列两点：
保证企业按科学的计划实现均衡生产，不要因缺少 原材料或其他物资而停工停产。
第十二章 存储论
经济订购批量存储模型 经济生产批量模型 允许缺货的经济订购批量模型 允许缺货的经济生产批量模型 经济订货批量折扣模型
库存管理的对象
库存管理的对象是很多的，广而言之，它可以包括： 商业企业库存的商品、图书馆库存的图书、博物馆库 存的展品等等。在工业企业它主要包括下列三个部分：
解：
依题意，得 D＝200×300＝
60000件 X＝1000件/天 Y＝200件/天 S＝0.6元/批 I＝0.6元/年
Q* 2DS I 1 Y X
＝ 2 60000 40 0.6 1 200 1000
＝3162.3件 3200件
t *＝Q * 3200 16天 Y 200