数值分析第三次作业解答

数值分析第三次作业解答

思考题：

1：

（a ）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange 插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近的函数。×;

(b) 对给定的连续函数，构造其三次样条函数插值，则节点数目越多，得到的样条函数越接近被逼近的函数。 √

(c) 高次的Lagrange 插值多项式很常用。 ×

(d) 样条函数插值具有比较好的数值稳定性。 √

3． 以0.1,0.15,0.2为插值节点，

计算()f x = Lagrange 插值多项式 2()P x ， 比较2(0)P 和(0)f ，问定理4.1的结果是否适用本问题？ 解： 构造插值多项式：

0122022(0.15)(0.2)

()0.050.1

(0.1)(0.2)()0.050.05

(0.1)(0.15)()0.10.05()()()()

(0)0;(0)0.1403

x x l x x x l x x x l x P x x x x f P --=

⨯--=⨯--=⨯=++==

在（0，2）区间，5''''''23()(0.2)118.585458

f x x f -=≤=

从而，对任意的 '''3()(0,0.2),(0)0.05933!

f ξξω∈≤ 不存在'''32()(0,0.2),(0)(0)(0)0.14033!

f f P ξξω∈=-=。 演示程序：

x=0:0.01:0.2; y=x.^(1/2);

plot(x,y,'r')

pause,hold on

x0=[0.1,0.15 ,0.2]; y0=x0.^(1/2); x=0:0.01:0.2; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1,'b')

5：（a ）求()f x x =在节点

123452,0.5,0, 1.5,2x x x x x =-=-=== 的三次样条插值（150M M ==）。

解：

23452341.5,0.5, 1.5,0.5,

2/31/12001/122/31/4201/42/30h h h h M M M ====⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

得到： 2344/9,32/9,4/3M M M =-==-

（b ）

x0=[-2 -0.5 0 1.5 2]; y0=abs(x0); x=-2:0.05:2;

y1=lagrangen(x0,y0,x);

y2=interp1(x0,y0,x,'spline');

x3=-2:0.1:2;y3=abs(x3);

plot(x,y1,'b',x,y2,'r',x0,y0,'o',x3,y3,'r')