第二章 晶体的对称及理想形态
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4 2 3 2
3
L 3L
4
L 3P L PC
6 4
3
三方 四方 六方 等轴
4
L 4L2
6 2
L 4P
6
4
B 类
L 2 3 3L 4L
6
L 6L L PC 4 3 2 3 L2 4 L 3 3 4 L 6L L 3PC
L 6P 4 4 3 3Li 4L3 3 L2 4 L 6P 6 L 9PC
L 6L 7PC
如果晶体中存在对称中心，则其晶面必然成对分布，每对 晶面都是两两平行而且同形等大的。这一点可以用来作为 判别理想晶体或晶体模型有无对称中心的依据。
具有对称中心的晶体形态
旋转反伸轴（Lin ）
也称为倒转轴。是通过晶体中心的一条假想的直线，晶体沿 此直线旋转一定角度后，再对此直线上的中心点进行反伸， 可使晶体上相等部分重合。其中i表示反伸，n表示轴次。相 应的对称操作是围绕一条直线的旋转和对此直线上一个点反 伸的复合操作。
47种单形
低级晶族的单形（7种）：对称程度低，单形 种类不多，单形晶面数目也少。 中级晶族单形（25种）：对称程度较高，单 形种类较多，单形晶面数目也多。 高级晶族单形（15种）：皆为封闭的图形， 晶面多，而且在三度空间发育相等。
第一节 对称的概念及晶体的对称
一、对称的概念
p22
是宇宙间的普遍现象，是自然科学最普遍和最基本的概念。
对称是指物体相等部分作有规律的重复。对于晶体外形而 言，就是晶面与晶面、晶棱与晶棱、角顶与角顶的有规律 重复。对称的存在有两个条件，一是物体必须可以分为若 干彼此相同的部分，二是这些相同部分之间可以通过某些 操作面发生有规律重复。
高级晶族 等轴晶系
(4个L3) (1个L6或Li6) (1个L4或Li4) (1个L3) (L2或P多于1个)
六方晶系 32种对称型
(高次轴的有无及多少)
中级晶族
四方晶系 三方晶系 正交晶系
低级晶族
单斜晶系 三斜晶系
(无L2或P)
晶体对称分类一览表
低级晶族——无高次轴
晶族 晶系 三斜 对 称 特 点 对 称 对称要素总和 L1 **C L2 P **L2PC 3L2 L22P **3L23PC 型 国际符号 1 1 2 m 2/m 222 mm2 mmm 晶体实例 高岭石 钙长石 镁铅矾 斜晶石 石膏 泻利盐 异极矿 重晶石
–对称要素:
–对称面(symmetry plane) –对称轴(symmetry axis) –对称中心(center of symmetry) –旋转反伸轴(rotoinversion axis)
对称面（P）
对称面是一个假想的平面，与之相应的对称操作是此平 面的反映。它把晶体分成互成镜像反映的两个相等部分， 即在该平面反方向等距离处有相等的部分出现。 对称面的存在有两个必要条件：一是该平面能把晶体分为 相等的两部分；二是这两部分间互成镜像关系。
三方
有一 L3
四方 中级
有 4 一 有1个L 或 L4i 个 高 次 轴
六方
有 1 个 L6 或 L6i
除高次轴外如有 其他对称要素存 在时，它们必定 与唯一的高次轴 垂直或平等
高级晶族——有数个高次轴
晶族 晶系
高 次 轴 多 于 一 个
对
称
特
点
高级
等轴
有 4 个 L3
除 4L3 外，必定 还有三个相互垂 直的二次轴或四 次轴，它们与每 一个 L3 均以等 角度相交
各种对称轴
原理：由于晶体外形的对称是由其内部的格子构造所
决定的，因而垂直对称轴一定有相应多的多边形面网的 存在，而这些多边形面网必须能够无间隙的、布满相应 的面网空间，否则就和空间格子构造不符。 图可以看出：垂直五次及高 于六次的对称轴的平面结构 不能构成面网，且不能毫无 间隙地铺满整个空间,这不 符合构造规律，即不能成为 晶体结构，而 L2 、 L3 、 L4 、 L6所对应的多边形则 可以。
在结晶学中，把结晶多面体中全部对称要 素的总和，称为对称型（点群）。经过数 学推导，证明对称型只有32种。我们将属 于同一对称型的所有晶体，归为一类，称 为晶类。晶类也只有32个。
32种对称型推导表
对 称 型
共 同 式
•
Ln L
1
LnnL
2
LnP⊥ (C)
LnnP∥
LnnL (n+1)PC
2
Li
n
种类：
Li1 = C Li2 = P Li3 = L3 +C Li4 Li6 = L3 +P
旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。
具体的操作过程：
Li
1=
C
Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
第三节 对称型及晶体的分类
各种晶体的对称程度有很大的差别，主要 表现在它们所具有的对称要素的种类、轴 次和数目上。
第二章 晶体的对称及理想形态
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 对称的概念及晶体的对称 晶体的对称操作和对称要素 对称型及晶体的分类 单形与聚形 平行连晶与双晶
第二章 晶体的对称及理想形态
晶体的格子构造决定了晶体的对称性，因 而造就了晶体规则的几何多面体的外形， 不同晶体对称特点不同。因此，自然界的 晶体形态万千。自然界的晶体有多少样的 对称性，晶体到底有多少形态？
在单形中，根据一个晶体的对称型及单形的一个晶面， 通过对称操作，就可以推导出该单形的所有晶面 给定一对称型L4PC以及一个原始晶面K，通过L4的作用能 把 P 以上的四个晶面推导出来，再通过P或C的反映或反 伸可把P以下的四个晶面推导出来。
四方双锥
四方柱
平行双面
单形的推导
47种单形
p72
一个对称型可能推导出的单形的数目，最多 的是7个，最少的只有1个。用上述方法，推 导出32种对称型中所有可能存在的单形，总 共是146种。将其中重复的去掉，那么结晶 多面体中几何形态不同的单形总共有47种。
二、晶体对称的特点
晶体的对称定律： 晶体都是对称的，但它与其它非晶体物质的对称相 晶体中只能出现轴次为1、 比，具有自身的特点： 2、3、4、6 的对称轴， 而不能出现5 次或高于6 首先，由于晶体内部都具有格子构造，通过平移， 次的对称轴。
可使相同质点重复，因此，所有的晶体结构都是对 称的；
无 L2 和 P 无 L2 和 P 均 高 不多于一 个 次 轴 2 L 或P多 于1个 所有的对称要素 必定相互垂直或 平等
低级
单斜
斜方
中级晶族——只有一个高次轴
晶族 晶系 对 称 特 点 对 称 对称要素总和 L3 *L3C *L33L2 L33P **L33L23PC L4 L4i *L4PC L44L2 L44P L4i2L22P **L44L25PC L6 +L6i *L6PC L66L2 L66P L6i3L23P **L66L27PC 型 国际符号 3 3 32 3m 3m 4 4 4/m 422 4mm 42m 4/mmm 6 6 6/m 622 6mm 6m2 6/mmm 晶体实例 细硫砷铅矿 白云石 а -石英 电气石 方解石 彩钼铅矿 砷硼钙石 白镥矿 镍矾 羟铜铅矿 黄铜矿 锆石 霞石 磷酸氢二银 磷灰石 β -石英 红锌矿 蓝锥矿 绿柱石
2
Li 6 Li =Li 6P
对称型的符号
最初，一般用习惯符号来标记对称要素，并 以对称要素总和的形式来代表对称型。 如：3L23PC
这种表示方法可以使全部对称要素一目了然， 但它不能反映出各对称要素间的组合关系。
晶体的分类
在32个晶类中，按它们所属的对称型特点划分为七 个晶系。 再按高次对称轴的有无和高次对称轴的数目，将七 个晶系并为三个晶族。
对称面
非对称面
晶体只可有0-9个对称面。
对称面的寻找
1）垂直并平分晶面
2）垂直并平分晶棱
3）包含晶棱并穿过角顶
对称面操作及其特点
A: 晶体中可以没有对称面， 也可以有对称面，但最多只能 有9个对称面； B :必须通过晶体中心，其 出现的位置多垂直并平分于晶 面或晶棱； C :寻找对称面时要尽量避 免转动模型，以免造成重复；
晶体中的对称轴可以没有，也可以有一种 或几种，每种对称轴的数目也可以有一 个或几个。在描述时，对称轴的数目应 写在相应对称轴符号的前面，如3L4、4L3、 6L2等。
对称轴可能出现的位置
对称中心（C）
对称中心是一个假想的几何点，对应操作为反伸。当晶体 具有对称中心时，通过晶体中心点的任意一直线，在其距 中心点等间距的两端，必定出现晶体上两个相等部分。晶 体的对称中心只可能在晶体中心，只可能有一个。
晶体的理想形态分为两类：单形与聚形。
单形是由等大同形的一种晶面组成，几何形态不同的单形
只有47种。
聚形是由两种或两种以上的晶面所组成。根据聚形上不同
的晶面种类，可确定构成该聚形的单形数目及单形名称。
001
011 _ 111 101 111
_ 110 100 110
010
__ 111 _ 101
_ 111
Li nL nP(*1) n 2 晶系 Li (n/2) L (n/2) P(*2) 三斜 单斜
n
2
n =1 n=2 A 类 n=3
Li =C L2 PC Li =P
2
1
L
L n=4 L n=6
2
3L
3
2
L 2P
2
2
3 L 3PC
Li =Li C L 4L 5PC
6 4 2 4 3 3
2
斜方
Li3 3 L 2 3P= L 3 L 3PC Li 2 L 2P 6 2 Li3 3 L 2 3P= L 3 L 4P
以单形中任意一个晶面为原始晶面，通过对称型 中全部对称要素的作用，一定会导出该单形的全部晶 面。
如：以立方体任意一个晶面为原始晶面，通过
3L44L36L29PC中全部对称要素的作用，能导出立方体
的全部Байду номын сангаас面。
由单形概念得出两条推论(2)
在同一对称型中，由于晶面与对称要素之间的位置不同， 可以导出不同的单形。 例如：3L44L36L29PC 中，如果晶面和L4垂直→立方体、晶 面和L3垂直→八面体、晶面和L2垂直→菱形十二面体、晶面 和所有的对称轴斜交→四角三八面体。
另一方面，晶体的形态又受生长环境的影响，因此研究晶体 的形态又有助于阐明矿物晶体的形成条件。
萤石
辰砂
雄黄
晶体的理想形态严格地遵循格子构造规律，是 由晶体的对称性决定的。但是属于同一种对称 性的晶体又可以具有完全不同的形态。
(a) 立方体 (b) 八面体 (c)菱形十二面体
m3m (3L44L36L29PC)
其次：晶体的对称受格子构造规律的限制，因此， 晶体的对称是有限的，它遵循“晶体对称规律”
最后，晶体的对称不仅表现在外形上，还表现在物 理、化学性质上。是对称的，格子构造也使得并不 是所有对称都能在晶体中出现。
第二节 晶体的对称要素和对称操作
在对晶体的对称研究中，使对称图形中相同部分重 复的操作，称为对称操作（如反伸、旋转、反映 等）。在进行对称操作中所借助的几何要素，称为 对称要素（点、线、面）。
受格子构造规律的制约，晶体中可能存在的对称轴并不是 任意的，只能是1、2、3、4、6，与轴次相对应的对称轴也 只能是L1 、 L2 、 L3 、 L4 、 L6 ，不可能存在五次轴及高于 六次的对称轴。这一规律称为晶体对称定律。一次对称轴 没有实际意义，因为任何物体围绕任意直线旋转一周都可 恢复原状。轴次高于两次的对称轴称为高次轴。
图 立方体的9个对称面 a－垂直晶面和通过晶棱中殿， 并彼此互相垂直的3个对称面 b－包含1对晶棱，垂直斜切晶面 的6个对称面
D :对称面的数目写在前面： 如，9P。
对称轴（Ln）
对称轴为一假想的通过晶体中心的直线，相应的 对称操作为围绕此直线的旋转后，可使相同部分 重复。对称轴以符号 Ln 表示。在旋转过程中，相 等部分出现重复时所必须的最小旋转角，称为基 转角（α）。在晶体旋转一周的过程中，相等部 分出现重复的次数，称为轴次（n）。基转角与轴 次之间存在如下关系： α＝360°/n 或 n＝ 360°/ α
对 称 对称要素总和 3L24L3 *3L24L33PC 3L43L36L2 *3L44L36P **3L 44L36L29P C
型 国际符号 23 m3 432 43m m3m
晶体实例 香花石 黄铁矿 赤铜矿 黝铜矿 方铅矿
第四节 单形与聚形
晶体形态：
一方面，每一种晶体都有一定的格子构造，因而常常具有 一定的特殊形态，研究晶体的形态有助于鉴定矿物；
_ 011
1、单形(simple form) 的概念：
单形是由对称要素联系起来的一组晶面的组合。也就 是说，单形是一个晶体上能够由该晶体的所有对称要 素操作而使它们相互重复的一组晶面。 在理想的情况下，同一单形内的晶面应该同形等大。 例如：立方体、八面体、菱形十二面体和四角三八面 体都是单形。
由单形概念得出两条推论(1)
3
L 3L
4
L 3P L PC
6 4
3
三方 四方 六方 等轴
4
L 4L2
6 2
L 4P
6
4
B 类
L 2 3 3L 4L
6
L 6L L PC 4 3 2 3 L2 4 L 3 3 4 L 6L L 3PC
L 6P 4 4 3 3Li 4L3 3 L2 4 L 6P 6 L 9PC
L 6L 7PC
如果晶体中存在对称中心，则其晶面必然成对分布，每对 晶面都是两两平行而且同形等大的。这一点可以用来作为 判别理想晶体或晶体模型有无对称中心的依据。
具有对称中心的晶体形态
旋转反伸轴（Lin ）
也称为倒转轴。是通过晶体中心的一条假想的直线，晶体沿 此直线旋转一定角度后，再对此直线上的中心点进行反伸， 可使晶体上相等部分重合。其中i表示反伸，n表示轴次。相 应的对称操作是围绕一条直线的旋转和对此直线上一个点反 伸的复合操作。
47种单形
低级晶族的单形（7种）：对称程度低，单形 种类不多，单形晶面数目也少。 中级晶族单形（25种）：对称程度较高，单 形种类较多，单形晶面数目也多。 高级晶族单形（15种）：皆为封闭的图形， 晶面多，而且在三度空间发育相等。
第一节 对称的概念及晶体的对称
一、对称的概念
p22
是宇宙间的普遍现象，是自然科学最普遍和最基本的概念。
对称是指物体相等部分作有规律的重复。对于晶体外形而 言，就是晶面与晶面、晶棱与晶棱、角顶与角顶的有规律 重复。对称的存在有两个条件，一是物体必须可以分为若 干彼此相同的部分，二是这些相同部分之间可以通过某些 操作面发生有规律重复。
高级晶族 等轴晶系
(4个L3) (1个L6或Li6) (1个L4或Li4) (1个L3) (L2或P多于1个)
六方晶系 32种对称型
(高次轴的有无及多少)
中级晶族
四方晶系 三方晶系 正交晶系
低级晶族
单斜晶系 三斜晶系
(无L2或P)
晶体对称分类一览表
低级晶族——无高次轴
晶族 晶系 三斜 对 称 特 点 对 称 对称要素总和 L1 **C L2 P **L2PC 3L2 L22P **3L23PC 型 国际符号 1 1 2 m 2/m 222 mm2 mmm 晶体实例 高岭石 钙长石 镁铅矾 斜晶石 石膏 泻利盐 异极矿 重晶石
–对称要素:
–对称面(symmetry plane) –对称轴(symmetry axis) –对称中心(center of symmetry) –旋转反伸轴(rotoinversion axis)
对称面（P）
对称面是一个假想的平面，与之相应的对称操作是此平 面的反映。它把晶体分成互成镜像反映的两个相等部分， 即在该平面反方向等距离处有相等的部分出现。 对称面的存在有两个必要条件：一是该平面能把晶体分为 相等的两部分；二是这两部分间互成镜像关系。
三方
有一 L3
四方 中级
有 4 一 有1个L 或 L4i 个 高 次 轴
六方
有 1 个 L6 或 L6i
除高次轴外如有 其他对称要素存 在时，它们必定 与唯一的高次轴 垂直或平等
高级晶族——有数个高次轴
晶族 晶系
高 次 轴 多 于 一 个
对
称
特
点
高级
等轴
有 4 个 L3
除 4L3 外，必定 还有三个相互垂 直的二次轴或四 次轴，它们与每 一个 L3 均以等 角度相交
各种对称轴
原理：由于晶体外形的对称是由其内部的格子构造所
决定的，因而垂直对称轴一定有相应多的多边形面网的 存在，而这些多边形面网必须能够无间隙的、布满相应 的面网空间，否则就和空间格子构造不符。 图可以看出：垂直五次及高 于六次的对称轴的平面结构 不能构成面网，且不能毫无 间隙地铺满整个空间,这不 符合构造规律，即不能成为 晶体结构，而 L2 、 L3 、 L4 、 L6所对应的多边形则 可以。
在结晶学中，把结晶多面体中全部对称要 素的总和，称为对称型（点群）。经过数 学推导，证明对称型只有32种。我们将属 于同一对称型的所有晶体，归为一类，称 为晶类。晶类也只有32个。
32种对称型推导表
对 称 型
共 同 式
•
Ln L
1
LnnL
2
LnP⊥ (C)
LnnP∥
LnnL (n+1)PC
2
Li
n
种类：
Li1 = C Li2 = P Li3 = L3 +C Li4 Li6 = L3 +P
旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。
具体的操作过程：
Li
1=
C
Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
第三节 对称型及晶体的分类
各种晶体的对称程度有很大的差别，主要 表现在它们所具有的对称要素的种类、轴 次和数目上。
第二章 晶体的对称及理想形态
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 对称的概念及晶体的对称 晶体的对称操作和对称要素 对称型及晶体的分类 单形与聚形 平行连晶与双晶
第二章 晶体的对称及理想形态
晶体的格子构造决定了晶体的对称性，因 而造就了晶体规则的几何多面体的外形， 不同晶体对称特点不同。因此，自然界的 晶体形态万千。自然界的晶体有多少样的 对称性，晶体到底有多少形态？
在单形中，根据一个晶体的对称型及单形的一个晶面， 通过对称操作，就可以推导出该单形的所有晶面 给定一对称型L4PC以及一个原始晶面K，通过L4的作用能 把 P 以上的四个晶面推导出来，再通过P或C的反映或反 伸可把P以下的四个晶面推导出来。
四方双锥
四方柱
平行双面
单形的推导
47种单形
p72
一个对称型可能推导出的单形的数目，最多 的是7个，最少的只有1个。用上述方法，推 导出32种对称型中所有可能存在的单形，总 共是146种。将其中重复的去掉，那么结晶 多面体中几何形态不同的单形总共有47种。
二、晶体对称的特点
晶体的对称定律： 晶体都是对称的，但它与其它非晶体物质的对称相 晶体中只能出现轴次为1、 比，具有自身的特点： 2、3、4、6 的对称轴， 而不能出现5 次或高于6 首先，由于晶体内部都具有格子构造，通过平移， 次的对称轴。
可使相同质点重复，因此，所有的晶体结构都是对 称的；
无 L2 和 P 无 L2 和 P 均 高 不多于一 个 次 轴 2 L 或P多 于1个 所有的对称要素 必定相互垂直或 平等
低级
单斜
斜方
中级晶族——只有一个高次轴
晶族 晶系 对 称 特 点 对 称 对称要素总和 L3 *L3C *L33L2 L33P **L33L23PC L4 L4i *L4PC L44L2 L44P L4i2L22P **L44L25PC L6 +L6i *L6PC L66L2 L66P L6i3L23P **L66L27PC 型 国际符号 3 3 32 3m 3m 4 4 4/m 422 4mm 42m 4/mmm 6 6 6/m 622 6mm 6m2 6/mmm 晶体实例 细硫砷铅矿 白云石 а -石英 电气石 方解石 彩钼铅矿 砷硼钙石 白镥矿 镍矾 羟铜铅矿 黄铜矿 锆石 霞石 磷酸氢二银 磷灰石 β -石英 红锌矿 蓝锥矿 绿柱石
2
Li 6 Li =Li 6P
对称型的符号
最初，一般用习惯符号来标记对称要素，并 以对称要素总和的形式来代表对称型。 如：3L23PC
这种表示方法可以使全部对称要素一目了然， 但它不能反映出各对称要素间的组合关系。
晶体的分类
在32个晶类中，按它们所属的对称型特点划分为七 个晶系。 再按高次对称轴的有无和高次对称轴的数目，将七 个晶系并为三个晶族。
对称面
非对称面
晶体只可有0-9个对称面。
对称面的寻找
1）垂直并平分晶面
2）垂直并平分晶棱
3）包含晶棱并穿过角顶
对称面操作及其特点
A: 晶体中可以没有对称面， 也可以有对称面，但最多只能 有9个对称面； B :必须通过晶体中心，其 出现的位置多垂直并平分于晶 面或晶棱； C :寻找对称面时要尽量避 免转动模型，以免造成重复；
晶体中的对称轴可以没有，也可以有一种 或几种，每种对称轴的数目也可以有一 个或几个。在描述时，对称轴的数目应 写在相应对称轴符号的前面，如3L4、4L3、 6L2等。
对称轴可能出现的位置
对称中心（C）
对称中心是一个假想的几何点，对应操作为反伸。当晶体 具有对称中心时，通过晶体中心点的任意一直线，在其距 中心点等间距的两端，必定出现晶体上两个相等部分。晶 体的对称中心只可能在晶体中心，只可能有一个。
晶体的理想形态分为两类：单形与聚形。
单形是由等大同形的一种晶面组成，几何形态不同的单形
只有47种。
聚形是由两种或两种以上的晶面所组成。根据聚形上不同
的晶面种类，可确定构成该聚形的单形数目及单形名称。
001
011 _ 111 101 111
_ 110 100 110
010
__ 111 _ 101
_ 111
Li nL nP(*1) n 2 晶系 Li (n/2) L (n/2) P(*2) 三斜 单斜
n
2
n =1 n=2 A 类 n=3
Li =C L2 PC Li =P
2
1
L
L n=4 L n=6
2
3L
3
2
L 2P
2
2
3 L 3PC
Li =Li C L 4L 5PC
6 4 2 4 3 3
2
斜方
Li3 3 L 2 3P= L 3 L 3PC Li 2 L 2P 6 2 Li3 3 L 2 3P= L 3 L 4P
以单形中任意一个晶面为原始晶面，通过对称型 中全部对称要素的作用，一定会导出该单形的全部晶 面。
如：以立方体任意一个晶面为原始晶面，通过
3L44L36L29PC中全部对称要素的作用，能导出立方体
的全部Байду номын сангаас面。
由单形概念得出两条推论(2)
在同一对称型中，由于晶面与对称要素之间的位置不同， 可以导出不同的单形。 例如：3L44L36L29PC 中，如果晶面和L4垂直→立方体、晶 面和L3垂直→八面体、晶面和L2垂直→菱形十二面体、晶面 和所有的对称轴斜交→四角三八面体。
另一方面，晶体的形态又受生长环境的影响，因此研究晶体 的形态又有助于阐明矿物晶体的形成条件。
萤石
辰砂
雄黄
晶体的理想形态严格地遵循格子构造规律，是 由晶体的对称性决定的。但是属于同一种对称 性的晶体又可以具有完全不同的形态。
(a) 立方体 (b) 八面体 (c)菱形十二面体
m3m (3L44L36L29PC)
其次：晶体的对称受格子构造规律的限制，因此， 晶体的对称是有限的，它遵循“晶体对称规律”
最后，晶体的对称不仅表现在外形上，还表现在物 理、化学性质上。是对称的，格子构造也使得并不 是所有对称都能在晶体中出现。
第二节 晶体的对称要素和对称操作
在对晶体的对称研究中，使对称图形中相同部分重 复的操作，称为对称操作（如反伸、旋转、反映 等）。在进行对称操作中所借助的几何要素，称为 对称要素（点、线、面）。
受格子构造规律的制约，晶体中可能存在的对称轴并不是 任意的，只能是1、2、3、4、6，与轴次相对应的对称轴也 只能是L1 、 L2 、 L3 、 L4 、 L6 ，不可能存在五次轴及高于 六次的对称轴。这一规律称为晶体对称定律。一次对称轴 没有实际意义，因为任何物体围绕任意直线旋转一周都可 恢复原状。轴次高于两次的对称轴称为高次轴。
图 立方体的9个对称面 a－垂直晶面和通过晶棱中殿， 并彼此互相垂直的3个对称面 b－包含1对晶棱，垂直斜切晶面 的6个对称面
D :对称面的数目写在前面： 如，9P。
对称轴（Ln）
对称轴为一假想的通过晶体中心的直线，相应的 对称操作为围绕此直线的旋转后，可使相同部分 重复。对称轴以符号 Ln 表示。在旋转过程中，相 等部分出现重复时所必须的最小旋转角，称为基 转角（α）。在晶体旋转一周的过程中，相等部 分出现重复的次数，称为轴次（n）。基转角与轴 次之间存在如下关系： α＝360°/n 或 n＝ 360°/ α
对 称 对称要素总和 3L24L3 *3L24L33PC 3L43L36L2 *3L44L36P **3L 44L36L29P C
型 国际符号 23 m3 432 43m m3m
晶体实例 香花石 黄铁矿 赤铜矿 黝铜矿 方铅矿
第四节 单形与聚形
晶体形态：
一方面，每一种晶体都有一定的格子构造，因而常常具有 一定的特殊形态，研究晶体的形态有助于鉴定矿物；
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1、单形(simple form) 的概念：
单形是由对称要素联系起来的一组晶面的组合。也就 是说，单形是一个晶体上能够由该晶体的所有对称要 素操作而使它们相互重复的一组晶面。 在理想的情况下，同一单形内的晶面应该同形等大。 例如：立方体、八面体、菱形十二面体和四角三八面 体都是单形。
由单形概念得出两条推论(1)