经济预测的方法与模型
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根据最小二乘法的要求，可得求解bˆ0和 bˆ1的标
准方程如下
估计方程的求法
（实例）
【例】根据例10.1中的数据，配合人均
消费金额对人均国民收入的回归方程
根bˆ据0 bˆ和1 的求解公式得
估计(经验)方程
人均消费金额对人均国民收入的回归方程为
^y = 54.22286 + 0.52638 x
1 个数字的因变量(响应变量)
被预测的变量
1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量)
用于预测的变量
3. 主要用于预测和估计
一元线性回归模型
（概念要点）
1. 当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变 量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线 性回归
2. 对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线 性方程来表示它们之间的关系
3. 确定显著性水平，并根据分子自由度1和分 母自由度n-2找出临界值F
4. 作出决策：若FF ,拒绝H0；若F<F ,接受H0
回归方程的显著性检验
（方差分析表）
（续前例）Excel 输出的方差分析表
方差分析
平方和 均方
df SS MS F Significance F
回归 1 946491 946491 4234.99 1.39842E-15
样本决定系数
（判定系数 r2 ）
1. 回归平方和占总离差平方和的比例
2. 反映回归直线的拟合程度 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 4. r2 1，说明回归方程拟合的越好；r20
，说明回归方程拟合的越差 5. 判定系数等于相关系数的平方，即r2＝(r)2
回归方程的显著性检验
（线性关系的检验 ）
R Square 0.997409322
Adjusted R Squ0a.r9e97173806
±ê ×¼ Îó ²î 14.94967766
¹Û ²â Öµ
13
Coefficients
bˆ0 bˆ1
±ê ×¼ Îó ²î t Stat
bˆ0 t 2 (n 2) S y
1 + (x)2
X Variable 1 0.52637714 0.00808855 65.07682 1.39842E-15 0.50857435 0.54417993
回归方程的显著性检验
离差平方和的分解
1. 因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。 变差来源于两个方面
由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)
一、回归分析及其步骤 （一）回归分析的概念 回归这个词来自生物学，是英国科学家高尔顿在研究
子女和父母身高关系时用来描述遗传变化现象的，后 来被广泛用来表示变量之间的数量关系。回归分析预 测法是一种因果关系预测法，是通过分析事物间的因 果关系和相互影响的程度，建立适当的计量模型进行 预测的方法。现实经济中，许多经济变量之间存在着 固有关系，其中一些变量受另一些变量或因素的支配。 我们把前一类变量称为因变量或被解释变量，后一类 变量称为自变量或解释变量。回归分析模型就是反映 被解释变量与解释变量之间的因果关系的分析式。比 如说，要研究城市家用空调器的销售量，我们可以找 到若干影响空调器销售量的因素：该城市的人口规模， 收人水平，还有该地区的气温状况；销售量是被解释 变量，其他可作为解释变量。
2. 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同 3. 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相
互独立。即ε~N( 0 ,σ2 )
独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与 其他 x 值所对应的ε不相关
对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所 对应的 y 值也不相关
回归方程
2. 用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的
关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
最小二乘法
（图示）
y
(xn , yn)
(x2 , y2)
｝ ei = yi＾-yi
(x1 , y1)
(xi , yi)
yˆ bˆ0 + bˆ1x x
最小二乘法
（ bˆ和0 bˆ的1 计算公式）
回归分析与相关分析的区别
1. 相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回 归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地 位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化
2. 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量； 回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可 以是随机变量，也可以是非随机的确定变量
误差项 是随机变量
反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响
是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
b0 和 b1 称为模型的参数
一元线性回归模型
（基本假定）
1. 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。
对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) =b 0+ b 1x
什么是回归分析？
（内容）
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式
2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪 些变量的影响显著，哪些不显著
3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 并给出这种预测或控制的精确程度
n
n
(xi x)2
i1
bˆ1 t 2 (n 2)
Sy
n
(xi x)2
P-value Lower 95% i1 Upper 95%
Intercept 54.22286392 8.99397869 6.028796 8.56501E-05 34.4272403 74.0184875
反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差
2. 回归平方和(SSR)
反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影 响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引 起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和
3. 残差平方和(SSE)
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也 称为不可解释的平方和或剩余平方和
1. 检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著 2. 具体方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和
(SSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显 著
如果是显著的，两个变量之间存在线性关系 如果不显著，两个变量之间不存在线性关系
回归方程的显著性检验
（检验的步骤）
1. 提出假设 2. 计 算H检0：验线统性关计系量不F显著
1400 1200 1000 800 600 400 200
0
0
500 1000 1500 2000 2500
ÈË ¾ù Ïû ·Ñ Óë ÈË ¾ù ¹ú Ãñ ÊÕ Èë µÄ »Ø ¹é
SUMMARY OUTPUT
估计方程的求法
（Excel的输出结果）
»Ø ¹é ͳ ¼Æ
Mul
0.998703821
（概念要点）
1. 描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程 称为回归方程
2. 简单线性回归方程的形式如下
3.
E( y ) = b0+ b1 x
方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
b0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期
望值
b1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动
3. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项
的方程称为回归模型
一元线性回归模型
（概念要点）
对于只涉及一个自变量的简单线性回归模 型可表示为
y = b0 + b1 x +
模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项
线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化
值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值
参数 b0 和 b1 的最小二乘估
计
最小二乘法
（概念要点）
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 达到最小来求得 bˆ0和 bˆ1的方法。即
n
n
Q(bˆ0 , bˆ1) ( yi yˆ)2 ei2 最小
i 1
i 1
回归分析建立在数据的基础上，是用数学的分析模型或关系式来 拟合实际数据，以反映数据中潜在的规律性。因而这种方法有其 精确性的一面，也有其可能偏离实际的一面。也就是说，回归分 析预测只是一种近似的预测。这有模型本身的原因：模型是现实 经济系统的简化和抽象，我们在建立模型时不可能把所有的因素 都考虑在内，这是运用回归分析进行预测的一个先天不足。而且， 用统计的方法建立模型也不可能避免抽样误差的存在。同时也有 模型外的原因，比如说数据的不准确以及外部经济环境的变化。 因此，用回归分析来进行经济预测只能提供一个粗略的发展趋势， 只能用作参考值。
一个单位时，y 的平均变动值
估计(经验)的回归方程
1.
总体回归参数
b
和
0
Βιβλιοθήκη Baidu
b1是未知的，必需利用样本数
据去估计
2. 用样本统计量 bˆ0 和 bˆ1代替回归方程中的未知参 数b0和 b1，就得到了估计的回归方程
3. 简单线性回归中估计的回归方程为
yˆ bˆ0 + bˆ1x
其中：bˆ0是估计的回归直线在 y 轴上的截距，bˆ1是直线 的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，是 y 的估计
经济预测的方法与模型
内容
第一节 回归分析预测法 第二节 时间序列预测法 第三节 宏观计量经济模型
第一节 回归分析预测法
一.回归分析及其步骤 二.一元线性回归模型 三.多元线性回归模型与非线性回归模型
经济预测主要是运用统计和数学的方法，对实际的数 据或信息资料进行分析处理，以探讨经济现象的内在规律， 并科学地预计未来可能出现的发展趋势或所能达到的水平。 经济预测主要采取定量分析的方法，通过严密的逻辑推理 和数学模型来发现未来，获得结论。是否可以预测经济， 不同经济学家有不同的观点。有些经济学家认为经济学是 科学，经济现象具有规律性，可以预测。一些则认为经济 事件是独特的，不可重复，只能理解，不能预测。也有经 济学家认为经济学是边缘科学，既具有一定科学性，又具 有很强的经验性，虽可以预测，但预测的准确性很有限。 不论经济学家的观点如何不一致，经济预测终究在不断发 展，而且应用也越来越广泛，越来越深入，经济预测的方 法也越来越多。篇幅所限，本章只能简要介绍几种典型的 经济预测定量方法：回归分析法，时间序列法和宏观经济 计量模型预测法。
（要点）
1. 检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或 者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响 是否显著
2. 理论基础是回归系数 bˆ1的抽样分布 3. 在一元线性回归中，等价于回归方程的
显著性检验
回归系数的显著性检验
（样本统计量 的分布）
1. 是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自 己的分布
残差 11 2458.42 223.493
总计 12 948949
估计标准误差 Sy
1. 实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根 2. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 3. 从另一个角度说明了回归直线的拟合程度 4. 计算公式为
注：上例的计算结果为14.949678
回归系数的显著性检验
3. 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密 切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
回归模型的类型
一个自变量
一元回归
回归模型
两个及两个以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
回归模型与回归方程
回归模型
1. 回答“变量之间是什么样的关系？” 2. 方程中运用
的影响
2. 对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际 观测值与其均值之差 来表示
yy
离差平方和的分解
（图示）
y
(xi , yi )
{} y y
y yˆ
}yˆ y
yˆ bˆ0 + bˆ1x y
离差分解图
x
离差平方和的分解
（三个平方和的关系）
1. 从图上看有
y y y yˆ+ yˆ y
2. 两端平方后求和有
n
n
n
yi y2 yˆi y2 + yi yˆ 2
i 1
i 1
i 1
{ { {
总变差平方和 （SST）
回归平方和 （SSR）
SST = SSR + SSE
残差平方和 （SSE）
离差平方和的分解
（三个平方和的意义）
1. 总平方和(SST)
准方程如下
估计方程的求法
（实例）
【例】根据例10.1中的数据，配合人均
消费金额对人均国民收入的回归方程
根bˆ据0 bˆ和1 的求解公式得
估计(经验)方程
人均消费金额对人均国民收入的回归方程为
^y = 54.22286 + 0.52638 x
1 个数字的因变量(响应变量)
被预测的变量
1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量)
用于预测的变量
3. 主要用于预测和估计
一元线性回归模型
（概念要点）
1. 当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变 量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线 性回归
2. 对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线 性方程来表示它们之间的关系
3. 确定显著性水平，并根据分子自由度1和分 母自由度n-2找出临界值F
4. 作出决策：若FF ,拒绝H0；若F<F ,接受H0
回归方程的显著性检验
（方差分析表）
（续前例）Excel 输出的方差分析表
方差分析
平方和 均方
df SS MS F Significance F
回归 1 946491 946491 4234.99 1.39842E-15
样本决定系数
（判定系数 r2 ）
1. 回归平方和占总离差平方和的比例
2. 反映回归直线的拟合程度 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间 4. r2 1，说明回归方程拟合的越好；r20
，说明回归方程拟合的越差 5. 判定系数等于相关系数的平方，即r2＝(r)2
回归方程的显著性检验
（线性关系的检验 ）
R Square 0.997409322
Adjusted R Squ0a.r9e97173806
±ê ×¼ Îó ²î 14.94967766
¹Û ²â Öµ
13
Coefficients
bˆ0 bˆ1
±ê ×¼ Îó ²î t Stat
bˆ0 t 2 (n 2) S y
1 + (x)2
X Variable 1 0.52637714 0.00808855 65.07682 1.39842E-15 0.50857435 0.54417993
回归方程的显著性检验
离差平方和的分解
1. 因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。 变差来源于两个方面
由于自变量 x 的取值不同造成的 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)
一、回归分析及其步骤 （一）回归分析的概念 回归这个词来自生物学，是英国科学家高尔顿在研究
子女和父母身高关系时用来描述遗传变化现象的，后 来被广泛用来表示变量之间的数量关系。回归分析预 测法是一种因果关系预测法，是通过分析事物间的因 果关系和相互影响的程度，建立适当的计量模型进行 预测的方法。现实经济中，许多经济变量之间存在着 固有关系，其中一些变量受另一些变量或因素的支配。 我们把前一类变量称为因变量或被解释变量，后一类 变量称为自变量或解释变量。回归分析模型就是反映 被解释变量与解释变量之间的因果关系的分析式。比 如说，要研究城市家用空调器的销售量，我们可以找 到若干影响空调器销售量的因素：该城市的人口规模， 收人水平，还有该地区的气温状况；销售量是被解释 变量，其他可作为解释变量。
2. 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同 3. 误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相
互独立。即ε~N( 0 ,σ2 )
独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的ε与 其他 x 值所对应的ε不相关
对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所 对应的 y 值也不相关
回归方程
2. 用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的
关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
最小二乘法
（图示）
y
(xn , yn)
(x2 , y2)
｝ ei = yi＾-yi
(x1 , y1)
(xi , yi)
yˆ bˆ0 + bˆ1x x
最小二乘法
（ bˆ和0 bˆ的1 计算公式）
回归分析与相关分析的区别
1. 相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回 归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地 位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化
2. 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量； 回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可 以是随机变量，也可以是非随机的确定变量
误差项 是随机变量
反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响
是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
b0 和 b1 称为模型的参数
一元线性回归模型
（基本假定）
1. 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0。
对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) =b 0+ b 1x
什么是回归分析？
（内容）
1. 从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式
2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪 些变量的影响显著，哪些不显著
3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 并给出这种预测或控制的精确程度
n
n
(xi x)2
i1
bˆ1 t 2 (n 2)
Sy
n
(xi x)2
P-value Lower 95% i1 Upper 95%
Intercept 54.22286392 8.99397869 6.028796 8.56501E-05 34.4272403 74.0184875
反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差
2. 回归平方和(SSR)
反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影 响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引 起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和
3. 残差平方和(SSE)
反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也 称为不可解释的平方和或剩余平方和
1. 检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著 2. 具体方法是将回归离差平方和(SSR)同剩余离差平方和
(SSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显 著
如果是显著的，两个变量之间存在线性关系 如果不显著，两个变量之间不存在线性关系
回归方程的显著性检验
（检验的步骤）
1. 提出假设 2. 计 算H检0：验线统性关计系量不F显著
1400 1200 1000 800 600 400 200
0
0
500 1000 1500 2000 2500
ÈË ¾ù Ïû ·Ñ Óë ÈË ¾ù ¹ú Ãñ ÊÕ Èë µÄ »Ø ¹é
SUMMARY OUTPUT
估计方程的求法
（Excel的输出结果）
»Ø ¹é ͳ ¼Æ
Mul
0.998703821
（概念要点）
1. 描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程 称为回归方程
2. 简单线性回归方程的形式如下
3.
E( y ) = b0+ b1 x
方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
b0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期
望值
b1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动
3. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项
的方程称为回归模型
一元线性回归模型
（概念要点）
对于只涉及一个自变量的简单线性回归模 型可表示为
y = b0 + b1 x +
模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项
线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化
值，也表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值
参数 b0 和 b1 的最小二乘估
计
最小二乘法
（概念要点）
1. 使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和 达到最小来求得 bˆ0和 bˆ1的方法。即
n
n
Q(bˆ0 , bˆ1) ( yi yˆ)2 ei2 最小
i 1
i 1
回归分析建立在数据的基础上，是用数学的分析模型或关系式来 拟合实际数据，以反映数据中潜在的规律性。因而这种方法有其 精确性的一面，也有其可能偏离实际的一面。也就是说，回归分 析预测只是一种近似的预测。这有模型本身的原因：模型是现实 经济系统的简化和抽象，我们在建立模型时不可能把所有的因素 都考虑在内，这是运用回归分析进行预测的一个先天不足。而且， 用统计的方法建立模型也不可能避免抽样误差的存在。同时也有 模型外的原因，比如说数据的不准确以及外部经济环境的变化。 因此，用回归分析来进行经济预测只能提供一个粗略的发展趋势， 只能用作参考值。
一个单位时，y 的平均变动值
估计(经验)的回归方程
1.
总体回归参数
b
和
0
Βιβλιοθήκη Baidu
b1是未知的，必需利用样本数
据去估计
2. 用样本统计量 bˆ0 和 bˆ1代替回归方程中的未知参 数b0和 b1，就得到了估计的回归方程
3. 简单线性回归中估计的回归方程为
yˆ bˆ0 + bˆ1x
其中：bˆ0是估计的回归直线在 y 轴上的截距，bˆ1是直线 的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，是 y 的估计
经济预测的方法与模型
内容
第一节 回归分析预测法 第二节 时间序列预测法 第三节 宏观计量经济模型
第一节 回归分析预测法
一.回归分析及其步骤 二.一元线性回归模型 三.多元线性回归模型与非线性回归模型
经济预测主要是运用统计和数学的方法，对实际的数 据或信息资料进行分析处理，以探讨经济现象的内在规律， 并科学地预计未来可能出现的发展趋势或所能达到的水平。 经济预测主要采取定量分析的方法，通过严密的逻辑推理 和数学模型来发现未来，获得结论。是否可以预测经济， 不同经济学家有不同的观点。有些经济学家认为经济学是 科学，经济现象具有规律性，可以预测。一些则认为经济 事件是独特的，不可重复，只能理解，不能预测。也有经 济学家认为经济学是边缘科学，既具有一定科学性，又具 有很强的经验性，虽可以预测，但预测的准确性很有限。 不论经济学家的观点如何不一致，经济预测终究在不断发 展，而且应用也越来越广泛，越来越深入，经济预测的方 法也越来越多。篇幅所限，本章只能简要介绍几种典型的 经济预测定量方法：回归分析法，时间序列法和宏观经济 计量模型预测法。
（要点）
1. 检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或 者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响 是否显著
2. 理论基础是回归系数 bˆ1的抽样分布 3. 在一元线性回归中，等价于回归方程的
显著性检验
回归系数的显著性检验
（样本统计量 的分布）
1. 是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自 己的分布
残差 11 2458.42 223.493
总计 12 948949
估计标准误差 Sy
1. 实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根 2. 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况 3. 从另一个角度说明了回归直线的拟合程度 4. 计算公式为
注：上例的计算结果为14.949678
回归系数的显著性检验
3. 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密 切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
回归模型的类型
一个自变量
一元回归
回归模型
两个及两个以上自变量
多元回归
线性 回归
非线性 回归
线性 回归
非线性 回归
回归模型与回归方程
回归模型
1. 回答“变量之间是什么样的关系？” 2. 方程中运用
的影响
2. 对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际 观测值与其均值之差 来表示
yy
离差平方和的分解
（图示）
y
(xi , yi )
{} y y
y yˆ
}yˆ y
yˆ bˆ0 + bˆ1x y
离差分解图
x
离差平方和的分解
（三个平方和的关系）
1. 从图上看有
y y y yˆ+ yˆ y
2. 两端平方后求和有
n
n
n
yi y2 yˆi y2 + yi yˆ 2
i 1
i 1
i 1
{ { {
总变差平方和 （SST）
回归平方和 （SSR）
SST = SSR + SSE
残差平方和 （SSE）
离差平方和的分解
（三个平方和的意义）
1. 总平方和(SST)