湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题答案

期末考试答案
一、选择题： DACDBBBA 二、不定项选择题：
ABD 、BCD 、BC 、ABD
三、填空题：
13． 290 14． 15或 15．3
16．（1）35a = 62 ；（2）若2021n a =，则n =__1033 _.
15解答：设,,01DFB AD x x α∠==<<，则1BD x =-，DP AD x ==，
在三角形BDF 中，由正弦定理可得
1sin sin60x x α-=
，即x =
当sin 1α=时，即DF 垂直BC 时，AD x =3.
几何法：因为A,P 两点关于DE 对称，所以AD=DP ，可见如果以D 为圆心，以AD 为半径作圆，则该圆必与BC 交于P 点，要使半径AD 取最小值，只有当P 点是圆与BC 的切点，也就是DP 垂直BC 时，AD 才能取得最小值.
16解答：（1）由于1+2+3+4+5+6+7=28，所以35a 位于第8行的第7个数，因为第8行的第一个数是26+11+13=50，第8行是一个首项为50，公差为2的等差数列，故35502662a =+⨯=； （2）44(187)
13587193620212
++++
+=
=<， 45(189)
13589202520212
++++
+==>，
故2021n a =在第45行，第45行第1个数是1937，202119372(1)43n a k k ==+-⇒=，即2021n a =在第45行的第43个数，因此
12344431033n =+++
++=.
四、解答题：
17.解：（1）23331cos 23
()3sin cos cos sin 22222
x f x p q x x x x +=⋅-
=--=-- 31sin 2cos 2222x x =
--sin(2)26
x π
=-- （3分） ∵512
12x π
π-
≤≤
，∴22363
x πππ-≤-≤， ∴3sin(2)126x π-
≤-≤，从而 32sin(2)2126
x π--≤--≤- 则()f x 的最小值是3
2--，最大值是1-． （6分） （2）()sin(2)216f C C π
=--=-，则sin(2)16
C π
-=， ∵0C π<<，∴112666C π
π
π
-
<-
<
，∴262C ππ-=，解得3
C π=． （8分）
∵sin 2sin B A =，由正弦定理得，2b a = ①
由余弦定理得，2
2
2
2cos
3
c a b ab π
=+-，即22
3a b ab +-= ②
由①②解得1,2a b ==． （12分） 18.解：（1）因为数列
{}
n a 是公比为3的等比数列,
又由234,18,a a a +成等差数列,∴ 243236a a a +=+， 所以1113271836a a a +=+，解得13a =，
从而数列{}n a 的通项公式为*
3()n n a n N =∈. (6分)
(2) 311+log ,3
n n n n b a n a =
=+ 211
(1)
111(1)(1)113312(1),1333222313
n n n n
n n n n S n -++∴=+++++++=+=+-- (8分) 2121,3n n S n n ∴-=+- 又1
{1}3
n n +-是递增的,
当19n =时, 219122020,3n S n -=-<当20n =时, 2
20122120,3
n S n -=->
所以所求的正整数n 的最小值为20. (12分)
A
B
C
D
⋅O
⋅F
G
E αβ
A
B
C
D
⋅O ⋅F
G
x
y
z
α
β
19. 解法一：证明：（1）如图，连接CO ，
45=∠CAB ，AB CO ⊥∴，
又F 为BC 的中点，
45=∠∴FOB ， (2分)
AC OF //∴．
⊄OF 平面ACD ，⊂AC 平面ACD ， ∴//OF 平面ACD ． (5分) （2）过O 作AD OE ⊥于E ，连CE ．
AB CO ⊥ ，平面ABC ⊥平面ABD ． ∴CO ⊥平面ABD ． （7分） 又⊂AD 平面ABD ， AD CO ⊥∴，
⊥∴AD 平面CEO ，CE AD ⊥，
则∠CEO 是二面角C -AD-B 的平面角． （9分）
60=∠OAD ，2=OA ， 3=∴OE ．
由CO ⊥平面ABD ，⊂OE 平面ABD ，得CEO ∆为直角三角形，
2=CO ，∴7=CE ．
∴CEO ∠cos =
7
3=721． （12分） 解法二：证明：（1）如图，以AB 所在的直线为y 轴，以OC 所在的直线为z 轴，以O 为原点，作空间直角坐标系xyz O -，则()0,20A ,-，()200,,C ．
)2,2,0()0,2,0()2,0,0(=--=，
点F 为BC 的中点，
∴点F 的坐标为(22，)2,2,0(=OF ．
2
2
OF AC ∴=
，即//OF AC ． ⊄OF 平面ACD ，⊂AC 平面ACD ，
∴//OF 平面ACD ． （6分）
（2）
60DAB ∠=，∴点D 的坐标()
013,,D -，(3,1,0)AD =．
设二面角--C AD B 的大小为θ，()1,,n x y z =为平面ACD 的一个法向量．
由110,0,n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 有()()()()
,,0,2,20,,,3,1,00,x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即220,
30.y z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ （8分）
取1=x ，解得3-=y ，3=z ．
1n ∴=()
331,,-． （10分）
取平面ADB 的一个法向量2n =()100,,，
121210(3)031
21
cos 7
71
n n |n ||n |
θ⨯+-⨯+⨯⋅∴=
=
=
⋅⋅． （12分）
20．解（1）因为
,
所以
所以
，
所以关于x 的回归直线方程为：. （2）当
时，
，则
，
所以可以认为回归直线方程是理想的. （3）设销售利润为w (千元)，则，
因为所以
当且仅当
，即
时，W 取得最大值.
所以可建议该公司将销售价格定位7.5元/千克.
21.解：(1)||22,PF a ex a c =+≥-=-
11
()||()21,22APF p S a c y a c b ∆=-≤-=
222,2b a c ∴=∴-=,解得2,2,a c ==
所以椭圆C 的方程为
22
142
x y +=． (6分) （2）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=
333
42424
⨯=-+； (7分) ②当直线l 的斜率不为0时，设1122(,),(,),D x y E x y 直线l 的方程为1x m y =+，
将1
x m y =+代入22142
x y +=，整理得22
(2)230m ym y ++-=． 则12222m y y m -+=
+，122
3
2
yy m -=+．
(8分)
又111x m y =+，22
1x m y =+， 所以,121212121233(3)(3)
44(3)(3)
y y y y k k x x my my ----⋅=
⋅=---- 12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++2222223
93(
)()222393()()
22
m m m m m m m m ---⨯+++=---⋅+⋅++222
325341,464812
m m m m m +++==+++ 令41,t m =+则1223232
12542254()2
t k k t t t t
⋅=+=+≤-++-,
当且仅当5t =，即1m =时，取等号，
由①②可得，所求直线的方程为10x y --=. (12分)
22.解：（1）)(x f 在定义域内是),0(+∞，x
ax x a x f 1
1)(-=
-
='， 当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，
∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点； （2分）
当0>a 时，()0f x '=，1x a =
，当10x a <<时，得()0f x '<，当1
x a
>时，得()0f x '>， ∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a
+∞上递增，即)(x f 在a x 1
=处有极小值．
∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． （4分） （2）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴(1)0f '=，得1=a ， 由()2f x bx ≥-在),0(+∞上恒成立 ，得1ln 1x
b x x
+-≥ （6分） 令x x
x x g ln 11)(-+
=，则2
ln 2()x g x x
-'=， 可得)(x g 在2
(0,)e 上递减，在2
(,)e +∞上递增，
∴2
2min 11)()(e e g x g -
==，即2
11b e ≤-
． （8分）
（3）证明：)
1ln()1ln()1ln()1ln(+>+⇔++>-y e x e y x e
y x y
x ， 令)
1ln()(+=x e x g x
，则只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增， （10分）
又∵)
1(ln 11)1ln()(2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-
+=
'x x x e x g x ，
显然函数1
1
)1ln()(+-+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增． ∴1
()(1)10h x h e e
>->-
>，即0)(>'x g ， ∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即)
1ln()1ln(+>+y e x e y
x ，
∴当1->>e y x 时，有)
1ln()
1ln(++>
-y x e y
x ． （12分）。