湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题答案

期末考试答案

一、选择题： DACDBBBA 二、不定项选择题：

ABD 、BCD 、BC 、ABD

三、填空题：

13． 290 14． 15或 15．3

16．（1）35a = 62 ；（2）若2021n a =，则n =__1033 _.

15解答：设,,01DFB AD x x α∠==<<，则1BD x =-，DP AD x ==，

在三角形BDF 中，由正弦定理可得

1sin sin60x x α-=

，即x =

当sin 1α=时，即DF 垂直BC 时，AD x =3.

几何法：因为A,P 两点关于DE 对称，所以AD=DP ，可见如果以D 为圆心，以AD 为半径作圆，则该圆必与BC 交于P 点，要使半径AD 取最小值，只有当P 点是圆与BC 的切点，也就是DP 垂直BC 时，AD 才能取得最小值.

16解答：（1）由于1+2+3+4+5+6+7=28，所以35a 位于第8行的第7个数，因为第8行的第一个数是26+11+13=50，第8行是一个首项为50，公差为2的等差数列，故35502662a =+⨯=； （2）44(187)

13587193620212

++++

+=

=<， 45(189)

13589202520212

++++

+==>，

故2021n a =在第45行，第45行第1个数是1937，202119372(1)43n a k k ==+-⇒=，即2021n a =在第45行的第43个数，因此

12344431033n =+++

++=.

四、解答题：

17.解：（1）23331cos 23

()3sin cos cos sin 22222

x f x p q x x x x +=⋅-

=--=-- 31sin 2cos 2222x x =

--sin(2)26

x π

=-- （3分） ∵512

12x π

π-

≤≤

，∴22363

x πππ-≤-≤， ∴3sin(2)126x π-

≤-≤，从而 32sin(2)2126

x π--≤--≤- 则()f x 的最小值是3

2--，最大值是1-． （6分） （2）()sin(2)216f C C π

=--=-，则sin(2)16

C π

-=， ∵0C π<<，∴112666C π

π

π

-

<-

<

，∴262C ππ-=，解得3

C π=． （8分）

∵sin 2sin B A =，由正弦定理得，2b a = ①

由余弦定理得，2

2

2

2cos

3

c a b ab π

=+-，即22

3a b ab +-= ②

由①②解得1,2a b ==． （12分） 18.解：（1）因为数列

{}

n a 是公比为3的等比数列,

又由234,18,a a a +成等差数列,∴ 243236a a a +=+， 所以1113271836a a a +=+，解得13a =，

从而数列{}n a 的通项公式为*

3()n n a n N =∈. (6分)

(2) 311+log ,3

n n n n b a n a =

=+ 211

(1)

111(1)(1)113312(1),1333222313

n n n n

n n n n S n -++∴=+++++++=+=+-- (8分) 2121,3n n S n n ∴-=+- 又1

{1}3

n n +-是递增的,

当19n =时, 219122020,3n S n -=-<当20n =时, 2

20122120,3

n S n -=->

所以所求的正整数n 的最小值为20. (12分)

A

B

C

D

⋅O

⋅F

G

E αβ

A

B

C

D

⋅O ⋅F

G

x

y

z

α

β

19. 解法一：证明：（1）如图，连接CO ，

45=∠CAB ，AB CO ⊥∴，

又F 为BC 的中点，

45=∠∴FOB ， (2分)

AC OF //∴．

⊄OF 平面ACD ，⊂AC 平面ACD ， ∴//OF 平面ACD ． (5分) （2）过O 作AD OE ⊥于E ，连CE ．

AB CO ⊥ ，平面ABC ⊥平面ABD ． ∴CO ⊥平面ABD ． （7分） 又⊂AD 平面ABD ， AD CO ⊥∴，

⊥∴AD 平面CEO ，CE AD ⊥，

则∠CEO 是二面角C -AD-B 的平面角． （9分）

60=∠OAD ，2=OA ， 3=∴OE ．

由CO ⊥平面ABD ，⊂OE 平面ABD ，得CEO ∆为直角三角形，

2=CO ，∴7=CE ．

∴CEO ∠cos =

7

3=721． （12分） 解法二：证明：（1）如图，以AB 所在的直线为y 轴，以OC 所在的直线为z 轴，以O 为原点，作空间直角坐标系xyz O -，则()0,20A ,-，()200,,C ．

)2,2,0()0,2,0()2,0,0(=--=，

点F 为BC 的中点，

∴点F 的坐标为(22，)2,2,0(=OF ．

2

2

OF AC ∴=

，即//OF AC ． ⊄OF 平面ACD ，⊂AC 平面ACD ，

∴//OF 平面ACD ． （6分）

（2）

60DAB ∠=，∴点D 的坐标()

013,,D -，(3,1,0)AD =．

设二面角--C AD B 的大小为θ，()1,,n x y z =为平面ACD 的一个法向量．