第四章 频率特性分析

当ξ↓，A(ω)↑，曲线下移。 ， ，曲线下移。
第四章 频率特性分析
谐振频率： 较小的系统， 一定时， 谐振频率：对于ξ较小的系统，当ξ一定时，A(ω)将出 现最大值， 现最大值，该峰值所对应的频率为谐振频率ωn，令 : A(ω) λ=λr λ
= 0 , λr =
1 - 2ξ
2
2
=
ωr ωn
е е е е е е е е
幅频： A(ω) = cos 2ω + sin 2ω 幅频： ω τ τ =1 相频： ω 相频： ϕ(ω) = τ ω 可见，延时环节的N氏图是一单位图： 可见，延时环节的N氏图是一单位图： ω :0 ∞时，轨迹在单位圆上无限循环。 轨迹在单位圆上无限循环。
Re ω
图4-10
E X E
第四章 频率特性分析
第四章 频率特性分析
第四章 频率特性分析
§4-1 概 述 §4-2 典型环节的频率特性 和极坐标图（Nyquist图） 和极坐标图（ 图的绘制——开环系统的 氏图 开环系统的N氏图 §4-3 Nyquist图的绘制 开环系统的 典型环节的对数坐标图（ §4-4 典型环节的对数坐标图（Bode图) 图 §4-5 最小相位系统和非最小相位系统
O
。
Im ω
－90
[G]
。
幅频特性： ω 幅频特性： A(ω) = | G(jω) | = ω 相频特性： ω 相频特性： ϕ(ω) = ∠ G(j ω) = 90 又 ω ＝ 0 ， A(ω) ＝ 0 ω ω ＝ ∞ ， A(ω) ＝ ∞ ω
Re
图 4-4
微分环节的N氏图为虚轴的上半轴， ∴ 微分环节的N氏图为虚轴的上半轴，由原点指向无穷远
k= 1 … k= 1 …
j[wt+ ϕ(ω)] ω
= (jw)
[an(jw) +Λ + a1 (jω) + a0 ] xo (ω) e ω ω = [bm(jw)
(k)
(k)
+Λ + b1 (jω) + b0 ] xi(ω) e ω ω
jwt
第四章 频率特性分析
xo (ω) ω e xi
j[ ϕ(ω) ] ω
6．二阶振荡环节
传递函数： 传递函数：G(s) = ω 2n
s 2 + 2ξω n s + ω n 2 ω
ω 2n
频率特性 ：G(j ω) =
-ω2 + ω 2n + j · 2ξω n ω ω
1 ω ω n) ω ωn
= 1-
(
2
+ j · 2ξ
第四章 频率特性分析
（令 λ＝ ＝ = 1– λ ω ） ωn 1
瞬态响应
第四章 频率特性分析
A(ω)= x0 (ω) / xi ω ω ω ϕ(ω) ω ~ ω ~ω
2．利用G(s)来求
an xo = bm xi
(n)
(t) + Λ +a1 xo (t) +ao xo (t)
＆
o
(m)
(t) + Λ +b1 xi (t) +bo xi (t) bm s an s
ω=
图 4-5
1 T
相频特性: ω 相频特性 ϕ(ω) = ∠ G(j ω)
= - arctg ωT
第四章 频率特性分析
又
ω = 0 , A(ω) = K , ϕ(ω) = 0 ω ω ω = T , A(ω) = 0. 0 7 0 K , ϕ(ω) = - 45 。 ω ω ω = ∞ , A(ω) = 0 , ϕ(ω) = ω ω
2 2
=
s2 ω 2n ω ωn
s + 2ξ ω + 1 n
-
ω2 ω 2n 2 2
+1+ j · 2ξ
)
Im
= 1 - T ω + j · 2ξT ω A(ω) = ω (1 - T ω ) + ( 2ξT ω ) 2ξT ω 1- T ω
2 2 2 2 2 2
ϕ(ω) = arctg ω
ξ ξ
大
[G]
ω＝
45
。
幅频特性： ω 幅频特性： A(ω) = | G(jω) | = 1+ ω2 T 2
O
1 T
ω＝0
相频特性： ω 相频特性： ϕ(ω) = ∠ G(j ω)
1 图 4-6
Re
= - arctg ωT
实频特性： 实频特性： Re [ G ( jω ) ] = 1 ω
第四章 频率特性分析
1 + ω 2T
2 E X E
第四章 频率特性分析
§4-2 典型环节的频率特性和极坐标图
（Nyquist图） Nyquist图
频率特性G( ω 是 的复变函数， 频率特性 jω)是ω的复变函数，可在 复平面上用一矢量轨迹来表示。 复平面上用一矢量轨迹来表示。 定义： 由时，矢量端点在复平面G上的运 定义：当ω由时，矢量端点在复平面 上的运 称为G(jω 的极相坐标图或 动轨 迹，称为 ω)的极相坐标图或 Nyquist图。 图
+
ϕ(ω) = ∠G(j ω) ω = arctg
-
Re
注：极坐标中，幅角从正实轴开始，反时针方向为正 极坐标中，幅角从正实轴开始， 极坐标中，幅角从正实轴开始， 极坐标中，幅角从正实轴开始，顺时针方向为负
第四章 频率特性分析
1．放大环节
传递函数： 传递函数： G(s) = K 频率特性： 频率特性：G(ω)= |G(jω)| =K 幅频特性： A(ω) = | G(jω) | = K 幅频特性： ω 相频特性： ω 相频特性： ϕ(ω) = ∠ G(j ω)
第四章 频率特性分析
二、频率特性的求取
],已知 1．利用 x0 (t)= L-1[ x0 (s) ],已知
xi(t)= xisinω ω
-1
Xi(s)= xi ω s2 + ω2
Si t
xi ω s2 + ω2 G(s)
x0 (t)= L
n
= ∑Bi . e
i=1
+ x0sin[ωt+ϕ(ω)] ω ϕω 稳态响应
轨迹： 轨迹：
ω = 0 , A(ω) = K , ϕ(ω) = 0 ω ω ω = T , A(ω) = 2 , ϕ(ω) = 45 。 ω ω ω = ∞ , A(ω) = ∞ , ϕ(ω) = 90 。 ω ω ∴ 其N氏图如上, 幅值 1。 ∞ 。 氏图如上, 90 相位 0 垂直线
1
第四章 频率特性分析
m n
G(s) =
+ Λ +b1 s+ b0 + Λ +a1 s+ a0
第四章 频率特性分析
xi (t) =xi e
jwt j[wt+ ϕ(ω)] ω
xo (t) =xo (ω) e ω xi (t) = (jw)
(k) xo (t) (k)
(k) (k)
jwt
xi e xo (ω) e ω
j[wt+ ϕ(ω)] ω
1
- 90 。
K 可以证明，惯性环节的N氏图是以( ∴ 可以证明，惯性环节的N氏图是以( ,j ) 2 K 为圆心， 为半径的半圆。 为圆心， 为半径的半圆。 2
第四章 频率特性分析
一阶微分环节（导前环节） 5．一阶微分环节（导前环节）
传递函数： 传递函数： G(s) = Ts + 1 频率特性： 频率特性：G(jω)= 1 + j ωT Im ω
第四章 频率特性分析
3．利用实验方法
1) 2) xi sinω1 t ω ω2 · · · 3) xo (ω1 ) ω xo (ω2 ) ω · · · xo (ω1 ) ω A (ω1 ) = ω xi ϕ( ω ) 4) 拟合方程 ϕ(ω1) ω ϕ(ω2) ω · · · ~ ω ~ ω
第四章 频率特性分析
第四章 频率特性分析
G(j ω) = Re [ G(j ω) ] + j Im [ G(j ω) ] G(j ω) = | G(j ω) | ∠ G(j ω) A(ω) = | G(j ω) | ω = Im
|G|
∠G
) OFra Baidu bibliotek
图4-1
√
Re [ G(j ω) ] 2 + Im [G(j ω) ] 2 Im [ G(j ω) ] Re [ G(j ω) ]
= G(s) | s=j ω =G(j ω)
A(ω) · ∠ ϕ(ω) = | G(j ω) | ∠ G(j ω) ω ω G(j ω) =| G(j ω) | ∠ G(j ω) = A(ω) · ∠ϕ(ω) ω ω = Re [G(j ω) ] + j Im [G(j ω) ] A(ω) = | G(j ω) | ω ϕ(ω) = ∠ G(j ω) ω
小
ω = 0 , A(ω ) = 1 , ϕ(ω) = 0 ω ω ω = ∞, A(ω ) = ∞ , ϕ(ω) = 180 。 ω ω
ω
O
ω＝0
图 4-9
Re
第四章 频率特性分析
8．延时环节
传递函数： 传递函数： G(s) =
τ e- s - jτ ω
O
Im
1
频率特性： 频率特性：G(jω)= e
Re
相频特性： ω 相频特性： ϕ(ω) = ∠ G(j ω) = - 90 。 又 ω ＝ 0 ， A(ω) ＝ ∞ ω ω ＝ ∞ ， A(ω) ＝0 ω
ω
图 4-3
积分环节的N氏图为虚轴的下半轴， ∴ 积分环节的N氏图为虚轴的下半轴，由无穷指向原点
第四章 频率特性分析
3．微分环节
传递函数： 传递函数： G(s) = s 频率特性: 频率特性 G(jω)= j ω
例：已知
G(j ω) = K
G(s) =
K Ts + 1 1
, 求其频率特性
K ωT
2 2
1 + j ωT K
=
1+ ω T
= j
1 + ω 2T K 1 + ω 2T
2
A(ω) = ω ϕ(ω) = ω
1 + ω 2T
2
Re(ω) = ω Im (ω) = ω
2
-
-1 tg ( ωT )
- KωT
第四章 频率特性分析
主要内容： 主要内容：
1.频率特性概念、 1.频率特性概念、表示方法及其求取 频率特性概念 2.极坐标图（Nyquist图 2.极坐标图（Nyquist图） 极坐标图 3.波特图（Bode图 3.波特图（Bode图） 波特图 4.最小相位系统 4.最小相位系统 5.由对数频率特性曲线反求传递函数 5.由对数频率特性曲线反求传递函数
2
+ j · 2ξλ
2 2 2
=
1–λ （1 – λ ）
2
–
2ξλ j （1 – λ ）
2
+ 4ξ λ 1
+ 4ξ λ
2
2
=
（1 – λ ）
2
2
+ 4ξ λ
2
2
-1 2ξλ ∠ - tg 1–λ
2
第四章 频率特性分析
A(ω) = ω 1 （1 – λ ） + 4ξ λ ϕ(ω) = ω 2ξλ - arctg 1–λ2
第四章 频率特性分析
§4-1 概 述
一、频率响应和频率特性
频率响应： 频率响应：系统对正弦输入的稳态响应
xisinωt ω x0sin[ωt+ϕ(ω)] ω ϕω
系 统
频率特性： 幅频特性： ω 幅频特性：A(ω)= x0 (ω) / xi ω ω
~ ω
相频特性： ω 相位差 相位差） 相频特性： ϕ(ω) (相位差） ~ ω
∴ 谐振频率 ωr = ωn 1
1 - 2ξ
<ω n A(ω) Im A(ωr)
图 4-8
A(ωr)=
2ξ
1 - 2ξ 2 1 - 2ξ 2
ϕ(ωr)= - arctg
ξ
O
ωr
ω
第四章 频率特性分析
7．二阶微分环节
传递函数： 传递函数：G(s) = T s + 2ξT s + 1 频率特性 ：G(j ω) = (
第四章 频率特性分析
4．一阶惯性环节
K 传递函数: 传递函数 G(s) = Ts+1 频率特性: 频率特性 G(jω) = K 1+j ωT ω=∞
O
Im
[G]
( K/2, j0 ) ω = 0
0.707 k
幅频特性: A(ω) = | G(jω) | 幅频特性 ω = K 1+ ω2T 2
Re
ω
2 2 2 2
Im
O
[G]
ω=∞ ω=0 Re
(ωn) ω
ω = 0 (λ= 0) , A(ω ) = 1 , ϕ(ω) = 0 。 ω ω ω = ωn(λ= 1) , A(ω ) = ω
1 2ξ
ω = ωr ω
图 4-7
1 , ϕ(ω) = -90 。 ω 2ξ
ω = ∞(λ= ∞) , A(ω ) = 0 , ϕ(ω) = - 180 。 ω ω
Nyquist图的绘制 §4-3 Nyquist图的绘制 ——开环系统的N氏图 开环系统的N 开环系统的
一．设开环系统的频率特性为： 设开环系统的频率特性为：
K (1 + jτ 1ω )(1 + jτ 2 ω ) L (1 + jτ mω ) G ( jω ) = ω ) γ (1 + jT1ω )(1 + jT2 ω ) L (1 + jTn − γ ω ) (j
O 图 4-2
Im
[G]
(K , j0 )
Re
放大环节的N氏图是复平面G ∴ 放大环节的N氏图是复平面G上的一实点
第四章 频率特性分析
2．积分环节
传递函数： 传递函数： G(s) = 频率特性： 频率特性：G(jω)= 1
s
1 = jω
jω
1 =-j ω
O
Im
- ω2
1 ω
[G]
－90 。
幅频特性： ω 幅频特性： A(ω) = | G(jω) | =