(第12讲) 最小相位系统和非最小相位系统伯特图求参数

高频渐近线，其斜率为 20(n m)dB / dec n为极点数，m为零点数 作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典 型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正
作相频特性曲线。根据表达式，在低频中频和高频区 域中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线
12
5.2.5最小相位系统与非最小相位系统
1
20 log Kv j 20 log K v
斜率为 20 dB / dec 的起始线段/或
1 1
其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于 证明 设交点上的频率为 Kv 1 1 j1
Kv
Kv 1
23
30 -20dB/dec 20
2
10
0
2
-40dB/dec
2 2 g ( ) (1 2 ) (2 ) n n
2
令
(5-22)
(5-23)
n 1 2 2
Mr 1 2 1 2
谐振频率
r
(5-25) 谐振峰值
2 0 0.707 2
当 0.707 时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振 请看 M r 与 关系曲线
假设系统的开环传递函数为
G( s) K (T1s 1)(T2 s 1) (Tm s 1) s (T1s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
K (T1 j 1)(T2 j 1)(Tm j 1) G( j ) ( j ) (T1 j 1)(T2 j 1)(Tn j 1)
请看例子
13
G1 ( j )
jω
1 jT 1 jT1
G2 ( j )
jω
1 jT , 0 T T1 1 jT1
σ
1 T
1 T1

1 T1
1 T
σ
图5-18最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图 对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯 一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。
4
5.2典型环节频率特性曲线的绘制 5.2.1 增益K
L( ) 20log K ( ) 0
幅频特性和相频特性曲线 请看下页
5
j 1 5.2.2 积分与微分因子
L( ) 20log
G( j ) 1 j
1 20log (dB) j
( ) 90
第12讲
程向红
最小相位系统和非最小相位系统 伯特图求参数 典型环节的极坐标图
1
第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。
频域分析法
频率特性及其表示法
典型环节的频率特性
稳定裕度和判据
频率特性指标
2
5.1.2 频率特性的表示法
14
Bode Diagram 0
Magnitude (dB)
-5
-10
相同的幅值特性
-15
-20 0
-45
Phase (deg)
-90
最小相位系统 非最小相位系统
-2
-135 -180 10
10
-1
10
0
10
1
10
2
Frequency (rad/sec)
图5-19
1 j T 1 jT1
L 在 1 处， () 20lg K

每遇到一个转折频率，就改变一次分段直线的斜率
1 1 jT1
因子的转折频率
1 T1
1
，当
分段直线斜率的变化量为 20 dB / dec
1 jT2 因子的转折频率 T ，当 2
1 T2
1 T1
时， 时，
11
分段直线斜率的变化量为 20 dB / dec
2 20 log 2 40 log dB n n
在高频时，即当 n
高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-40分贝/十倍频程的直线 由于在 n 时 40log 40log1 0 dB

所以高频渐近线与低频渐近线在
8
n
n
处相交。这个频率就是上述二阶因子的转角频率。
G ( j ) 在低频段等于 K p ，即
0
lim G ( j ) K p
21
30 20logK 20
cf1_dB=23.5218252
-20dB/dec
10
0
cf2_dB=9.5424251
-40dB/dec
-10
-20
-30
cf3_dB=-30.4575749
10
0
-40 -1 10
低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线 相频特性
1
在低频时，即 T 1, T 在高频时，即 T 1,
L( ) 20 log [1 (T ) 2 ] 20 log 1 0(dB )
1 T
L( ) 20 log [1 (T ) 2 ] 20 log T (dB )
() (rad ) 57.3 (deg)
传递延时是一种非最小相位特性。如果不采取对消措施， 高频时将造成严重的相位滞后
18
0
-100
-200
-300
-400
-500
-600 -1 10
10
0

10
1
图5-20传递延迟的相角特性曲线
19
5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系 考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差 常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。 对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有 意义。
-10
3
1
-20
-30
-40 0 10
10
1
10
2
24
30
K G( s) s (Ts 1)
-20dB/dec 20
2
， 转角频率为
2
斜率为
10
40 dB / dec 的直线
， 与/或其延长线与0分 贝线的交点为 3 由此得到 K K 1 v 1 K 2 2 3 T T
10
1
15 G( s) ( s 1)(0.2s 1)
图5-22 某一0型系统对数幅值曲线
22
静态速度误差常数的确定
图5-23为一个1型系统对 数幅值曲线的例子。
斜率为 20 dB / dec 的起始线段/或其延长线，与 1 的直线的交点具有的幅值为 20log Kv
证明 在1型系统中G( j ) K v , j
() 90 n
6
这些幅频特性曲线将通过点
0dB, 1
5.2.3 一阶因子 (1 jT ) 1
一阶因子 (1 jT ) 1
对数幅 频特性
1 L( ) 20log 20log [1 (T ) 2 ] (dB) 1 jT
() arctg(T )
9
15
10
M r /dB
5
0 0.1
0.2
0.3
0.4

0.5
0.6
0.7
0.8
图5-15 M r 与 关系曲线
10
开环系统的伯德图
步骤如下
写出开环频率特性表达式，将所含各因子的转折频率由 大到小依次标在频率轴上
绘制开环对数幅频曲线的渐近线。 渐近 线由 若干 条分 段直 线所 组成 低频段的斜率为 20dB / dec
Minimum phase systems and non-minimum phase systems 最小相位传递函数 在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数 非最小相位传递函数 在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数 最小相位系统 具有最小相位传递函数的系统 非最小相位系统 具有非最小相位传递函数的系统
(1)对数坐标图 (Bode diagram or logarithmic plot) (2)极坐标图 (Polar plot) (3)对数幅相图 (Log-magnitude versus phase plot) 对数幅频特性 对数频率 特性曲线 相频特性 纵坐标均按线性分度
G( j )
20log G( j) dB
和
1 j T 的相角特性 1 jT1
15
在具有相同幅值特性的系统中，最小相位传递函数（系统） 的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相 位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角 范围 最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应 关系。 这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频 率范围上给定，则相角曲线被唯一确定 反之亦然 这个结论对于非最小相位系统不成立。
L() 20log j 20log(dB)
相差一个符号
G ( j ) j
( ) 90
L( ) 20log 1 ( j )
n
类推
(1 / j)
n
20n log (dB)
( ) 90 n
( j)
n
L( ) 20 log ( j ) n 20n log (dB)

时相角
20(n m)dB / dec 90(n m)dB / dec
17
那么该系统就是最小相位系统。
5.2.6 传递延迟(Transport lag) See p190
通常在热力、液压和气动系统中存在传递延迟 延迟环节的输入和输出的时域表达式为 C (s) c(t ) 1(t )r (t ) G( s) e s G( j) e j R( s) G( j) cos j sin 1 其幅值总是等于1 传递延迟的对数幅值等于0分贝 传递延迟的相角为
L( )
()
( )
横坐标是角速率
按lg 分度
10倍频程，用dec
3
极坐标图(Polar plot)，=幅相频率特性曲线，=幅相曲线 G ( j ) 可用幅值 G( j) 和相角 ( ) 的向量表示。 当输入信号的频率
0 ~ 变化时，向量 G ( j )
的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上 移动的轨迹称为极坐标图。 奈奎斯特(N.Nyquist)在1932年基于 极坐标图阐述了反馈系统稳定性 奈奎斯特曲线，简称奈氏图
当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常 值就越大。
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。 因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在 稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察 对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
20
R(s) +
E(s)
G(s)
C(s)
静态位置误差常数的确定
图5-21单位反馈控制系统
高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝/十倍频程的直线
图5-10表示了一阶因子的精确对数幅频特性曲线 及渐近线，以及精确(Exact curve)的相角曲线。 请看下页
7
[1 2 ( j / n ) ( j / n ) 2 ]1 5.2.4 二阶因子
1 1 2 ( j
) ( j )2 n n
2 2 2 L( ) 20 log 20 log (1 2 ) (2 ) 2 n n 1 2 ( j ) ( j ) n n
1
低频渐近线为一条0分贝的水平线 在低频时，即当
n
-20log1=0dB
16
判断最பைடு நூலகம்相位系统的另一种方法
最小相位系统，相角在
时变为

90(n m)dB / dec
n为极点数，m为零点数。 时的斜率都等于
两个系统的对数幅值曲线在
20(n m)dB / dec
因此，为了确定系统是不是最小相位的既需要检 查对数幅值曲线高频渐近线的斜率，又需检查在 如果当 时 对数幅值曲线的斜率为 并且相角等于
谐振频率谐振峰值
G ( j )
1
2 2 2 (1 2 ) (2 ) n n
d 2 1 g ( ) 2(1 2 )(2 2 ) 2(2 )2 0 dt n n n n
2 2 n (1 2 2 ) 2 2 g ( ) 4 (1 ) 2 n 2
2 12 3
0
2
-40dB/dec
-10
3
1
-20
-30
-40 0 10
10
1
10
2
图5-23 某个1型系统对数幅值曲线
1 3 3 2
在伯德图上 log1 log3 log3 log2
3 点恰好是 2 点与 1 点的中点