《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案讲课讲稿

《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案
第1章 线性空间和线性变换（详解）
1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0
的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵.
显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1)
2
n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1)
2
n n +个矩阵线性表示，此
即对称矩阵组成(1)
2
n n +维线性空间.
同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1)
2
n n -.
评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1)
2
n n +维线性空间，
只需找出(1)
2
n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这
(1)
2n n +个向量线性表示即可.
1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可.
1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E
即
123412111111100311100000x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故
12341231211203x x x x x x x x x x +++++⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
于是
12341231,2x x x x x x x +++=++=
1210,3x x x +==
解之得
12343,3,2,1x x x x ==-==-
即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.
方法二 应用同构的概念，22R ⨯是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做
(1,2,0,3)T ，
1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有
111111
000
31110201003110000
01021000300011⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢
⎥→⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
-⎣⎦⎣⎦
因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --.
1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++=
即
12341234123134
12411111110110110110
k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
+++++⎡⎤==⎢⎥++++⎣⎦
于是
12341230,0k k k k k k k +++=++=
1341240,0k k k k k k ++=++=
解之得
12340k k k k ====
故1234,,,αααα线性无关. 设
12341234123134
1241111111011011011a b x x x x c d x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
+++++⎡⎤=⎢⎥
++++⎣⎦
于是
12341230,0x x x x x x x +++=++= 1341240,0x x x x x x ++=++=
解之得
122,x b c d a x a c =++-=-
34,x a d x a b =-=-
1234,,,x x x x 即为所求坐标.
1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）
32312233410()121,,,021,1,(1),(1)p x x x x x y y x x x y y ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+=⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎡⎤=---⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
又由于
23
231,1,(1),(1)111101231,,,001
3000
1x x x x x x ⎡⎤---⎣⎦
⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥-⎢
⎥⎣⎦
于是()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为
1
1234111113012306001306000122y y y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
方法二 将3()12p x x =+根据幂级数公式按1x -展开可得
3
2323()12(1)(1)
(1)(1)(1)(1)(1)2!3!
36(1)6(1)2(1)p x x p p p p x x x x x x =+''''''=+-+
-+-=+-+-+- 因此()p x 在基231,1,(1),(1)x x x ---下的坐标为[]3,6,6,2T
.
评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些. 1-6 解：①设
[][]12341234,,,,,,=ββββααααP
将1234,,,αααα与1234,,,ββββ代入上式得
2056100
1133611001121011
01
013001
1⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣⎦
P 故过渡矩阵
1
100
12
0561100133601101
12100111013112222
35
1422
19
1522311
2
82
2-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
P
②设
1212343410(,,,)10y y y y ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
ξββββ
将1234,,,ββββ坐标代入上式后整理得
1
123479205618133602711211131
01
30227y y y y -⎡⎤-⎢⎥
⎢⎥
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
评注：只需将,i i αβ代入过渡矩阵的定义[][]12341234,,,,,,=ββββααααP
计算出P .
1-7 解：因为
12121212{,}{,}{,,,}span span span +=ααββααββ
由于秩1212{,,,}3span =ααββ，且121,,ααβ是向量1212,,,ααββ的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为121,,ααβ.
方法一 设1212{,}{,}span span ∈ξααββI ，于是由交空间定义可知
123411212111011030117k k k k -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
解之得
1222122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数)
于是
11222[5,2,3,4]T k k l =+=-ξαα(很显然1122l l ββ=+ξ)
所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -. 方法二 不难知
12121212{,}{,},{,}{,}span span span span ''==ααααββββ
其中2213
[2,2,0,1],[,2,1,0]3
T
T ''=--=-
αβ.又12{,}span 'αα也是线性方程组
134
234
22x x x x x x =-⎧⎨
=-⎩ 的解空间.12{,}span 'ββ是线性方程组
1
3423413232x x x x x x ⎧
=-+⎪⎨
⎪=
-⎩ 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组
1342341342342213232x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=-⎪⎪
⎨
=-+⎪⎪
=
-⎪⎩ 的解空间，容易求出其基础解系为[5,2,3,4]T -，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T -.
评注：本题有几个知识点是很重要的.12(1){,,,}n span αααL 的基底就是12,,,n αααL 的极大线性无关组.维数等于秩
12{,,,}n αααL .1212(2){,}{,}span span +ααββ1212{,,,}span =ααββ.(3)方
法一的思路，求交1212{,}{,}span span ααββI 就是求向量ξ，既可由
12,αα线性表示，又可由12,ββ线性表示的那部分向量.(4)方法二是借
用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解.
1-8解:
(1):解出方程组1234123420
510640
x x x x x x x x ---=⎧⎨
---=⎩（Ⅰ）的基础解系,即是1V 的基, 解出方程组
123420x x x x -++=（Ⅱ）的基础解系,即是2V 的基; (2): 解出方程组12341234123
420
51064020
x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪
---=⎨⎪-++=⎩的基础解系,即为12V V ⋂的基;
(3):设{}{}1121,,,,,k l V span V span ααββ==L L ,则11,,,,,k l ααββL L 的极大无关组即是12V V +的基. 1-9解:仿上题解.
1-10解: 仿上题解.
1-11 证：设
2
1
0121()()()0k k l l l l --++++=ξξξξL A A
A
①
用1
k -A
从左侧成①式两端，由()0k
=ξA
可得
1
0()0k l -=ξA
因为1
()0k -≠ξA
，所以00l =，代入①可得
2
1
121()()()0k k l l l --+++=ξξξL A A A
②
用2
k -A
从左侧乘②式两端，由()0k
=ξA
可得00l =，继续下去，可
得210k l l -===L ，于是2
1
,(),(),,()k -ξξξξL A A
A 线性无关.
1-12 解：由1-11可知，n 个向量2
1
0,(),(),,()n -≠ξξξξL A A
A
线性无关，它
是V 的一个基.又由
2
1
212
1
21[,(),(),,()]
[(),(),,()][(),(),,(),0]
000010000
100[,(),(),,()]00000
010n n n n n n
----⨯==⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ξξξξξξξξξξξξξξL L L L L L L M M M M L L
A A A A
A A A A A
A
A A A 所以A
在2
1
,(),(),,()n -ξξξξL A A
A
下矩阵表示为n 阶矩阵
00001000010000000
010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
L L L M M M M L L
评注：n 维线性空间V 中任何一组n 个线性无关的向量组都可以构成
V 的一个基，因此2
1
,(),(),,()n -ξξξξL A A A
是V 的一个基.
1-13证: 设()()()111,,,,,,,,,,,r s m r s A A ξξξββααα==L L L L L 设11,,,,,,r r s ξξξξξL L L 是的极大无关组，
则可以证明11,,,,,,r r s αααααL L L 是的极大无关组. 1-14 解：(1)由题意知
123123[,,][,,]=ααααααA A
123123111[,,][,,]011001⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
βββααα 设A
在基123,,βββ下的矩阵表示是B ，则
1
111112311101110301100121500124434623
8--⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B P AP (2)由于0A ≠，故0=AX 只有零解，所以A
的核是零空间.由维数
定理可知A
的值域是线性空间3R .
1-15解:已知()()2323,,,,A αααααα=11A
(1) 求得式()()2323,,,,P εεεααα=11中的过渡矩阵P ,则1B P AP -=即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见<矩阵分析>史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解:
设()23,,A ααα=1,则{}23(),,;()R A span N A ααα=1就是齐次方程组0Ax = 的解空间. 1-17证:
由矩阵的乘法定义知AB BA 与的主对角线上元素相等,故知AB BA 与的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证:
对k 用数学归纳法证。

1-19证：设222,,=,=1-1A A αλααλααλαλ==则即即或。

1-20证：设222,,=,=10A A A αλααλααλαλ==则即即或。

1-21解：设-11
,0A A αλαλααλ
=≠=其中，则。

1-22证：设111,--=B P AP E B E P AP P E A P E A λλλλ---==-=-则。

1-23解：仿线性代数教材例题。

1-24 证：若
123410010000000001001k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅+⋅+⋅+⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即 1
23
40k k k k ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
所以 12340k k k k ==== 因此满足
1112123214220k k k k +++=E E E E
的1234,,,k k k k 只能全为零，于是11122122E ,E ,E ,E 线性无关.
1-25 证：容易验证等式
0-+123ααα=
所以,,123ααα线性相关.
1-26 证：先证：[]n x R 中的元素
211,,,,n x x x -L
是线性无关的.设
21012110n n k k x k x k x --⋅+⋅+⋅++⋅=L
由于[]n x R 中x 是变量，所以欲使上式对于任何x 都成立的充分必要条件是
0110n k k k -====L
于是211,,,,n x x x -L 线性无关.
对于[]n x R 中任何一个向量（多项式）
[]210121()n n n f x a a x a x a x x --=++++∈R L
均可由211,,,,n x x x -L 线性表出，这表明：211,,,,n x x x -L 是[]n x R 的基，于是[]n x R 是n 维的.
不难验证：211,,(),,()n x a x a x a ----L 也是[]n x R 的一组基.因为
(1)2
1
()()()()()()()()2!(1)!
n n f a f a f x f a f a x a x a x a n --'''=+-+-++--L 故()f x 在这组基下的坐标为
(1)()()
(),(),,,2!(1)!
n f a f a f a f a n -'''-L
1-27 解：A 的核空间就是0x =A 的解空间，所以0x =A 的基础解系就是核空间
的基.对A 作初等行变换后得
102110
21301212132125
5
000022
120
0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢
⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦
A 因此0x =A 的解为
134
23423
22
x x x x x x =--⎧⎪
⎨=--⎪⎩ 其中34,x x 为自由变量.不难知0x =A 的基础解系可以取为
12(4,3,2,0)(1,2,0,1)T T ⎧=--⎨=--⎩αα 或 1
2(4,3,2,0)(6,7,2,2)
T T
'⎧=--⎨'=--⎩αα
它们都可以作为A 的核空间的基，核空间是二维的.
1-28 解：设(1,2,1,1)T =α在所给基1234α,α,α,α下的坐标为1234,,,k k k k ，故
11223344+k k k k =++ααααα
即
1234(1,2,1,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)(1,1,1,1)T T T T T k k k k =+--+--+--
1234123412341234(,,,)
k k k k k k k k k k k k k k k k =++++---+---+于是有
12341234
123412341211
k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪+--=⎪⎨
-+-=⎪⎪--+=⎩ 解之得
12345111
,,,4444
k k k k ===-=-
所以α在所给基1234α,α,α,α下的坐标为5111
(,,,)4444
T --.
1-29 解：设
123412111111101011100111k k k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1234
123124
134k k k k k k k k k k k k k +++++⎡⎤
=⎢
⎥++++⎣⎦
于是有
1234123
1241
341
210k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨
++=⎪⎪++=⎩ 解之得
12341,1,0,1k k k k ====-
所以A 在已给基下的坐标为(1,1,0,1)T -. 1-30 解：因为
()11x a a x -=-⋅+⋅ 222()()121x a a a x x -=-⋅-⋅+⋅ 33223()()133x a a a x a x x -=-⋅+⋅-⋅+
L L
112321(1)(2)
()()1(1)()()2
n n n n n n n x a a n a x a x x --------=-⋅+--⋅+
-⋅++L 故由211,,,,n x x x -L 到211,,(),,()n x a x a x a ----L 的过渡矩阵为
231
22
3
1()()()012()3()(1)()(1)(2)0013()()200
1n n n a a a a a a n a n n a a ---⎡⎤----⎢⎥
----⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
L L L M M M M L M L
1-31 解：将矩阵[]12341234α,α,α,αβ,β,β,β作初等行变换得
[]12341234α,α,α,αβ,β,β,β
1111202121211113111002110111
1222---⎡⎤⎢⎥--⎢
⎥=⎢⎥-⎢
⎥⎣⎦→1000100101001101001001110
0010010⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦
上式表明由基1234α,α,α,α到基1234β,β,β,β的关系为（为什么？）
10011
101()()01110
010⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
12341234β,β,β,βα,α,α,α 所以由1234α,α,α,α到1234β,β,β,β的过渡矩阵为
1001110101110010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
设1234,,,x x x x T ξ=()在1234β,β,β,β下的坐标为1234,,,y y y y ，即
112
212343344(,,,)()x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1234ξεεεεβ,β,β,β
其中1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T T T ====εεεε则
112
21234334420211113(,,,)()02111222x y x y x y x y -⎛⎫⎛⎫
⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢
⎥== ⎪ ⎪
⎢⎥ ⎪ ⎪
⎢⎥⎣⎦⎝⎭
⎝⎭
1234ξεεεεβ,β,β,β
于是
1
11223344123412342021111302111
22246811468111313131313131313
23912131313131327813131313182613131313y x y x y x y x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫
⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪
⎢⎥= ⎪ ⎪
⎢⎥ ⎪ ⎪
⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭
⎡⎤----+⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎢⎥ ⎪==⎢⎥ ⎪⎢⎥--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦1234123
412343913131313327813131313182613
131313x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++-⎣⎦
1-32 解：(1)由定理知
121212{,,,}V V span +=ααββ
121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的极大无关组，故它是12V V +的基，
12dim()3V V +=.
(2)设12V V ∈αI ，即1V ∈α且2V ∈α，于是
11223142k k k k =+=+αααββ 将1212,,,ααββ的坐标代入上式，解之得
1243452
0,,33k k k k k ===-
于是
11224555
(,,5,)333
T k k k =+=--ααα
所以12V V I 的基为555
(,,5,)333
T --，维数为1.
又解交空间12V V I 的向量实质上就是求在2V 中向量1122k k +ββ也能由
12,αα线性表示的这部分向量，即确定12,k k 使得
秩121122(,,,)k k +=ααββ秩12(,)αα 此即
121212121212122141
15511550
1233333003211000k k k k k k k k k k k k k k -++⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢
⎥→⎢⎥⎢⎥
--+⎢⎥⎢⎥
-+⎣⎦
⎣⎦
于是 12122
320,3k k k k +==-
代入
112221222
()
3
555(,,5,)
333
T
k k k k +=-+=--ββββ
所以12V V I 的基为555
(,,5,)333T --，12dim()1V V +=.
1-33 解：方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的交空间就是这两个方程组的所有公共解所构成
的空间，此即方程组
12
451234
123451234530240426340242470
x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎪⎨
-++-=⎪⎪+-+-=⎩ 的解空间.容易求得该方程组的基础解系为
(1,1,1,0,0),(12,0,5,2,6)T T --，它就是所求12V V I 的基，12dim()2V V =I .
1-34 解：(1)不难看出12,αα是线性齐次方程组（Ⅰ）
312
42
2x x x x x =-⎧⎨
=⎩ （Ⅰ）
的基础解系，方程组（Ⅰ）的解空间为1V .而12,ββ是线性齐次方程组（Ⅱ）
214
34
233x x x x x =+⎧⎨
=-⎩ （Ⅱ）
的基础解系，方程组（Ⅱ）的解空间为2V .
交空间12V V I 实质上是（Ⅰ）与（Ⅱ）公共解的空间，即方程组
312
42
21434
2233x x x x x x x x x x =-⎧⎪=⎪⎨
=+⎪⎪=-⎩ （Ⅲ）
的解空间.不难求得方程组（Ⅲ）的基础解系为(1,1,3,1)T ---，此即12V V I 的基，维数为1.
(2)
121212*********{,,,}{,,}
{,,}{,,}V V span span span span +====ααββααβααβαββ
所以12dim()3V V +=，基为121,,ααβ.
1-35 解：1122123()(1,1,0),()(2,1,1)2T T ==+==++αββαβββA A 于是所求矩阵
为
32
121101⨯⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A
1-36 解：D (1)0=，D ()1x =，D 2()2x x =，L ，D 1()n n x nx -=，于是
所求矩阵为
(1)
1000
0200
00n n n ⨯+⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦D L L M M M M L
注 对于线性映射D ：1[][]n n R x R x +→ D
(())()d
f x f x dx
=
在基21,,,,n x x x L 与基211,,,,n x x x -L 下的矩阵表示为
(1)(1)
01
000020000000
0n n n +⨯+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D L L M
M M M L L
1-37 解：
2223111
(1),(),
0021
(),,
03
1
()0n n n
x x S dt x S x tdt x x S x t dt x x S x t dt x n --========⎰⎰⎰⎰L 于是所求矩阵为
(1)0001001002100n n
n +⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦S L L L M M M L
1-38 解：(1)核子空间就是求3R ∈X 满足()0=x A ，由于3R ∈X .故
112323(,,)x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
X ααα 于是
11123212233()(,,)(,)x x x x x x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
x αααββA A A 所以所求X 的坐标123,,x x x 应是齐次方程组
1231110012x x x ⎡⎤
-⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
的解空间，求的它的基础解系为 1233,2,1x x x ==-=
因此核子空间()N A 的基是
11223312332(5,4,4),T x x x ++=-+=-αααααα
dim ()1N =A .
注：()N A 的基不是(3,2,1)T -.而是12332-+ααα.为什么？()N A 的
基是
(3,2,1)T -. (2)A
的值域
123112121122
12(){(),(),()}
{,,2}{,}{,}R span span span span R ==+-+=+==αααββββββββββA A A A
1-39 解：(1)不难求得
1112()'==-ααααA
22123()'==-++αααααA 33123()2'==-++αααααA
因此A
在123,,ααα下矩阵表示为
111112011--⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭A
(2)设112323(,,)k k k ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
ξααα，即
123110*********k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪
= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解之得
12310,4,9k k k ==-=-
所以ξ在基123,,ααα下坐标为(10,4,9)T --.
()ξA 在基123,,ααα下坐标可由式1122n n y x y x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A M M 得 1231111023112432011913y y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(3)ξ在基123,,'''ααα下坐标为
1101011014120415911196A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()ξA 在基123,,'''ααα下坐标为
12310123103212032413111139A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1-40 解：22R ⨯是4维线性空间，利用同构的概念，可把题中矩阵写成向量形式
12341234(1,0,1,1),(0,1,1,1),
(1,1,0,2),(1,3,1,0)()(1,1,0,0),()(0,0,0,0),
()(0,0,1,1),()(0,1,0,1),T T T T
T T T T ========ααααααααA A A A
于是
123412341234(,,,)((),(),(),())
10001001(,,,)00100
0111011011311011120=⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ααααααααααααA A A A A A A
于是 11011100001131001110100101
120001113014837
014811
0148110024-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A
注 根据同构映射的定义，22R ⨯中矩阵11
1221
22a a a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
可以看做4R 中向量11122122(,,,)T a a a a .。