偏好与效用
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• 1.如果MRS 仅依赖于两种商品的比例而 不是商品的总量，称这种效用函数是同 位偏好的。
– 完全替代 MRS 在各处相等 – 完全互补 – MRS = ， if y/x > /, – 不确定， if y/x = / – MRS = 0， if y/x < /
32
• For the general Cobb-Douglas function, the MRS can be found as
效用 = U(x1, x2,…, xn; 其他事物)
– 如果个人的偏好序维持不变，这个效用函数就 是唯一的。
9
3.经济物品
• 在效用函数中, 假定X为经济品
– 多比少好
Quantity of y 优于x*, y*
?
y*
劣于x*, y*
x*
?
Quantity of x
10
二、无差异曲线
• 1.定义 表示个人所有的偏好顺序相同的消费组合
= k，称为无差异曲面
where k is 给定的常数
37
• 如果效用函数是拟凹的, 那么满足 U k 的点集便是凸的。
– 也就是说，连接U = k 的无差异曲面上任意 两点的直线上，所有的点都满足 U k 。
38
24
• （2）If the utility function is
U(x,y) = x + xy + y
U 1 y x MRS U 1 x y
25
• （3）Suppose that the utility function is
utility x 2 y 2
为使计算简便，可对函数进行一定变换
35
• 令dU = 0，可找出任意两种商品之间的 边际替代率MRS
U U dU 0 dxi dx j xi x j
• Rearranging, we get
U dx j x i MRS( x i for x j ) U dx i x j
36
无差异曲面
在N维空间中，满足下面方程的点集U(x1,x2,…xn)
14
Quantity of x
（2）任意两条无差异曲线不会相交
• 任意两条无差异曲线会相交吗？
The individual is indifferent between A and C. The individual is indifferent between B and C. 传递性表明the individual should be indifferent between A and B
Quantity of y
商品组合 (x1, y1) and (x2, y2) 带来的效用水平相同
y1 y2 U1
Quantity of x
x1 x2
11
2.边际替代率
• 1）定义：消费者多消费1单位X所需放弃的Y的 数量(MRS) • 2）几何表现：无差异曲线上各点斜率的绝对值
Quantity of y
– when x = 5, MRS = 4 – when x = 20, MRS = 0.25
19
四、边际效用
• 1.边际效用：在其他商品数量不变的情 况下，增加1单位X商品所获得的额外效 用，用 MU x 表示。
20
2.边际效用与MRS
假定个人的效用函数为：
utility = U(x,y)
• 求全微分
Quantity of x
29
• （3）完全互补
utility = U(x,y) = min (x, y)
Quantity of y
The indifference curves will be L-shaped. 只有两种商品按比率同时增加才能使 效用增加。
U3 U2 U1
Quantity of x
30
• （4）CES Utility (替代弹性不变的效用 函数)
utility = U(x,y) = x/ + y/
– Perfect substitutes = 1 – Cobb-Douglas = 0 – Perfect complements = -
31
五、同位偏好及多商品情形
• Suppose utility is a function of n goods given by
utility = U(x1, x2,…, xn)
• The total differential of U is
U U U dU dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
22
判断无差异曲线的凸性
• （1）Suppose that the utility function is
utility x y
为使计算简便，可对效用函数进行一定变换，两
边取对数
U*(x,y) = ln[U(x,y)] = 0.5 ln x + 0.5 ln y
23
• Thus,
U * 0.5 y x x MRS U * 0.5 x y y
• 1.定义： • 在理性选择定理的假设下，人们可以规范 地表达他的偏好次序，将所有可能得情况 按照偏好程度由大到小进行等级排列，从 最不喜欢到最喜欢 • 经济学家把这种次序称为效用utility
如果一个人认为A优于B，就是说选择A的效用超过
了选择B的效用，用：U(A) > U(B)表示
6
• 注1 • 效用次序本质上是一种序数，表明人们对 商品束的渴求情况。 • 对效用的衡量不是唯一的（任何一组数字 都可以反映一个人的偏好），所以比较A 比B好多少是没有意义的 • 无法在不同的消费者之间进行效用的比较
U*(x,y) = [U(x,y)]2 = x2 + y2
26
• Thus,
U * 2x x x MRS U * 2y y y
27
3.效用函数举例
• （1）Cobb-Douglas Utility
utility = U(x,y) = xy
where and 是正的常数
表明商品“好的平衡”组合优于一种商品占过大比重的组合。 两种商品的任何比率的组合都优于其初 始点，因为这代表着更平衡的组合。
y1 (y1 + y2)/2 y2 U1
Quantity of x
x1 (x1 + x2)/2 x2
17
思考题
• 假定一个消费者对汉堡(y) 和软饮料(x) 的偏好序可用下列效用函数表达，假设 效用水平为10，
U 1 x y y x MRS 1 U x y x y
33
非同位偏好
有些函数是非同位偏好的，MRS与X或Y的数量有 关
utility = U(x,y) = x + ln y
U 1 x MRS y U 1 y y
34
2.多商品情形
dy 3).公式MRS dx U U1
y1 y2
U1
Quantity of x
x1 x2
12
• 4）MRS 反映了在保持效用水平不变的情况下，人们愿 意用Y去换X的程度
– 具体数值受X，Y数量的影响
Quantity of y
At (x1, y1), 无差异曲线较陡峭. 人们愿意放弃较多的 y 去换x
MRS 递减的假定意味着： 优于或无差异于(x*,y*)的所有（x,y）组 合形成一个凸集。
y* U1
Quantity of x
x*
16
凸性
• 如果无差异曲线是凸的, 那么 (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2 的组合优于任一个初始组合 (x1,y1) or (x2,y2)
Quantity of y
3
理性选择定理
– 2.传递性 – if A 优于B, 且 B 优于C, 那么 A 优于 C – 该假定表明个人的选择是内在一致的
4
理性选择定理
– 3.连续性 – 如果一个人认为A优于B，那么充分接近A的 情况也一定优于充分接近B的情况 – 用于分析个人行为对收入、价格等的微小变 化的反应
5
二、效用
7
注2 效用涉及人们的总体满足程度，对效用的测 度会受到许多因素的影响，比如：实物商 品、个人经历、与他身份相同的人所造成 的压力、文化环境等。 经济学家通常假定其他影响因素不变，集中 精力只分析消费者在可计量、可挑选的物 品之间的选择。
– 其他条件不变的假定
8
2.效用函数
• 假定消费者在N种商品x1, x2,…, xn中进行 选择 • 个人对这些消费品的偏好序可用下列效用 函数来表示:
– and 的相对大小表明了两种商品对消费 者的相对重要性。
28
• （2）完全替代
utility = U(x,y) = x + y
Quantity of y
The indifference curves will be linear. MRS 沿整条无差异曲线都保持不变。
U3 U1
U2
第3章
偏好与效用
1
本章主要问题
• • • • • 一、理性选择定理 二、效用定义 三、无差异曲线 四、边际效用及几个特殊的效用函数 五、同位偏好及多商品情形
2
一、理性选择定理
– 1.完全性 – if A and B 是任意两种情况，个人总是能准确 地指定下列三种可能性的一种：
• A 优于B • B 优于A • A 和B 一样好
But B is preferred to A because B contains more x and y than A
Quantity of U1
Quantity of x
15
（3）凸性
• 连接集合内任意两点，如果连线完全在集 合内，则说这个集合是凸集。
Quantity of y
utility 10 x y
• Solving for y, we get
y = 100/x
• Solving for MRS = -dy/dx:
MRS = -dy/dx = 100/x2
18
Utility and the MRS
MRS = -dy/dx = 100/x2
• Note that as x rises, MRS 递减
U U dU dx dy x y
• 总效用的增加等于增加消费两种商品所带来的 额外效用的加总，可推广到N种商品的情形。
21
MRS的推导
• 在任一条无差异曲线上，效用水平相同(dU = 0)
dy MRS dx
Uconstant
U x U y
• MRS 是x的边际效用与 y的边际效用之比
At (x2, y2), 无差异曲线较平缓. 人们愿意放弃较少的 y 去换x
y1 y2 U1
Quantity of x
x1 x2
13
3.无差异曲线的特点
• （1）在坐标平面上每个点都有一条无差 异曲线
Quantity of y
Increasing utility
U3 U2 U1
U1 < U2 < U3
– 完全替代 MRS 在各处相等 – 完全互补 – MRS = ， if y/x > /, – 不确定， if y/x = / – MRS = 0， if y/x < /
32
• For the general Cobb-Douglas function, the MRS can be found as
效用 = U(x1, x2,…, xn; 其他事物)
– 如果个人的偏好序维持不变，这个效用函数就 是唯一的。
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3.经济物品
• 在效用函数中, 假定X为经济品
– 多比少好
Quantity of y 优于x*, y*
?
y*
劣于x*, y*
x*
?
Quantity of x
10
二、无差异曲线
• 1.定义 表示个人所有的偏好顺序相同的消费组合
= k，称为无差异曲面
where k is 给定的常数
37
• 如果效用函数是拟凹的, 那么满足 U k 的点集便是凸的。
– 也就是说，连接U = k 的无差异曲面上任意 两点的直线上，所有的点都满足 U k 。
38
24
• （2）If the utility function is
U(x,y) = x + xy + y
U 1 y x MRS U 1 x y
25
• （3）Suppose that the utility function is
utility x 2 y 2
为使计算简便，可对函数进行一定变换
35
• 令dU = 0，可找出任意两种商品之间的 边际替代率MRS
U U dU 0 dxi dx j xi x j
• Rearranging, we get
U dx j x i MRS( x i for x j ) U dx i x j
36
无差异曲面
在N维空间中，满足下面方程的点集U(x1,x2,…xn)
14
Quantity of x
（2）任意两条无差异曲线不会相交
• 任意两条无差异曲线会相交吗？
The individual is indifferent between A and C. The individual is indifferent between B and C. 传递性表明the individual should be indifferent between A and B
Quantity of y
商品组合 (x1, y1) and (x2, y2) 带来的效用水平相同
y1 y2 U1
Quantity of x
x1 x2
11
2.边际替代率
• 1）定义：消费者多消费1单位X所需放弃的Y的 数量(MRS) • 2）几何表现：无差异曲线上各点斜率的绝对值
Quantity of y
– when x = 5, MRS = 4 – when x = 20, MRS = 0.25
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四、边际效用
• 1.边际效用：在其他商品数量不变的情 况下，增加1单位X商品所获得的额外效 用，用 MU x 表示。
20
2.边际效用与MRS
假定个人的效用函数为：
utility = U(x,y)
• 求全微分
Quantity of x
29
• （3）完全互补
utility = U(x,y) = min (x, y)
Quantity of y
The indifference curves will be L-shaped. 只有两种商品按比率同时增加才能使 效用增加。
U3 U2 U1
Quantity of x
30
• （4）CES Utility (替代弹性不变的效用 函数)
utility = U(x,y) = x/ + y/
– Perfect substitutes = 1 – Cobb-Douglas = 0 – Perfect complements = -
31
五、同位偏好及多商品情形
• Suppose utility is a function of n goods given by
utility = U(x1, x2,…, xn)
• The total differential of U is
U U U dU dx1 dx2 ... dxn x1 x2 xn
22
判断无差异曲线的凸性
• （1）Suppose that the utility function is
utility x y
为使计算简便，可对效用函数进行一定变换，两
边取对数
U*(x,y) = ln[U(x,y)] = 0.5 ln x + 0.5 ln y
23
• Thus,
U * 0.5 y x x MRS U * 0.5 x y y
• 1.定义： • 在理性选择定理的假设下，人们可以规范 地表达他的偏好次序，将所有可能得情况 按照偏好程度由大到小进行等级排列，从 最不喜欢到最喜欢 • 经济学家把这种次序称为效用utility
如果一个人认为A优于B，就是说选择A的效用超过
了选择B的效用，用：U(A) > U(B)表示
6
• 注1 • 效用次序本质上是一种序数，表明人们对 商品束的渴求情况。 • 对效用的衡量不是唯一的（任何一组数字 都可以反映一个人的偏好），所以比较A 比B好多少是没有意义的 • 无法在不同的消费者之间进行效用的比较
U*(x,y) = [U(x,y)]2 = x2 + y2
26
• Thus,
U * 2x x x MRS U * 2y y y
27
3.效用函数举例
• （1）Cobb-Douglas Utility
utility = U(x,y) = xy
where and 是正的常数
表明商品“好的平衡”组合优于一种商品占过大比重的组合。 两种商品的任何比率的组合都优于其初 始点，因为这代表着更平衡的组合。
y1 (y1 + y2)/2 y2 U1
Quantity of x
x1 (x1 + x2)/2 x2
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思考题
• 假定一个消费者对汉堡(y) 和软饮料(x) 的偏好序可用下列效用函数表达，假设 效用水平为10，
U 1 x y y x MRS 1 U x y x y
33
非同位偏好
有些函数是非同位偏好的，MRS与X或Y的数量有 关
utility = U(x,y) = x + ln y
U 1 x MRS y U 1 y y
34
2.多商品情形
dy 3).公式MRS dx U U1
y1 y2
U1
Quantity of x
x1 x2
12
• 4）MRS 反映了在保持效用水平不变的情况下，人们愿 意用Y去换X的程度
– 具体数值受X，Y数量的影响
Quantity of y
At (x1, y1), 无差异曲线较陡峭. 人们愿意放弃较多的 y 去换x
MRS 递减的假定意味着： 优于或无差异于(x*,y*)的所有（x,y）组 合形成一个凸集。
y* U1
Quantity of x
x*
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凸性
• 如果无差异曲线是凸的, 那么 (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2 的组合优于任一个初始组合 (x1,y1) or (x2,y2)
Quantity of y
3
理性选择定理
– 2.传递性 – if A 优于B, 且 B 优于C, 那么 A 优于 C – 该假定表明个人的选择是内在一致的
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理性选择定理
– 3.连续性 – 如果一个人认为A优于B，那么充分接近A的 情况也一定优于充分接近B的情况 – 用于分析个人行为对收入、价格等的微小变 化的反应
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二、效用
7
注2 效用涉及人们的总体满足程度，对效用的测 度会受到许多因素的影响，比如：实物商 品、个人经历、与他身份相同的人所造成 的压力、文化环境等。 经济学家通常假定其他影响因素不变，集中 精力只分析消费者在可计量、可挑选的物 品之间的选择。
– 其他条件不变的假定
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2.效用函数
• 假定消费者在N种商品x1, x2,…, xn中进行 选择 • 个人对这些消费品的偏好序可用下列效用 函数来表示:
– and 的相对大小表明了两种商品对消费 者的相对重要性。
28
• （2）完全替代
utility = U(x,y) = x + y
Quantity of y
The indifference curves will be linear. MRS 沿整条无差异曲线都保持不变。
U3 U1
U2
第3章
偏好与效用
1
本章主要问题
• • • • • 一、理性选择定理 二、效用定义 三、无差异曲线 四、边际效用及几个特殊的效用函数 五、同位偏好及多商品情形
2
一、理性选择定理
– 1.完全性 – if A and B 是任意两种情况，个人总是能准确 地指定下列三种可能性的一种：
• A 优于B • B 优于A • A 和B 一样好
But B is preferred to A because B contains more x and y than A
Quantity of U1
Quantity of x
15
（3）凸性
• 连接集合内任意两点，如果连线完全在集 合内，则说这个集合是凸集。
Quantity of y
utility 10 x y
• Solving for y, we get
y = 100/x
• Solving for MRS = -dy/dx:
MRS = -dy/dx = 100/x2
18
Utility and the MRS
MRS = -dy/dx = 100/x2
• Note that as x rises, MRS 递减
U U dU dx dy x y
• 总效用的增加等于增加消费两种商品所带来的 额外效用的加总，可推广到N种商品的情形。
21
MRS的推导
• 在任一条无差异曲线上，效用水平相同(dU = 0)
dy MRS dx
Uconstant
U x U y
• MRS 是x的边际效用与 y的边际效用之比
At (x2, y2), 无差异曲线较平缓. 人们愿意放弃较少的 y 去换x
y1 y2 U1
Quantity of x
x1 x2
13
3.无差异曲线的特点
• （1）在坐标平面上每个点都有一条无差 异曲线
Quantity of y
Increasing utility
U3 U2 U1
U1 < U2 < U3