2020年四川眉山数学试题及答案

2020年四川眉山数学试题及答案
第I 卷（选择题 共48分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．
1．5-的绝对值是（ ） A ．5
B ．5-
C ．
15
D ．15
-
2．下列计算正确的是（ ） A ．2
2
2
()x y x y +=+
B ．2233
235x y xy x y += C ．(
)
3
2
6328a b
a b -=-
D ．5
2
3
()x x x -÷=
3．据世界卫生组织2020年6月26日通报，全球新冠肺炎确诊人数达到941万人，将数据941万人，用科学记数法表示为（ ） A ．29.4110⨯人
B ．59.4110⨯人
C ．69.4110⨯人
D ．70.94110⨯人
4．如图所示的几何体的主视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．下列说法正确的是（ ）
A ．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C ．对角线相等的四边形是矩形
D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
6．不等式组121
452(1)x x x x +≥-⎧⎨+>+⎩
的整数解有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100，所占比例如下表：
八年级2班这四项得分依次为80，90，84，70，则该班四项综合得分（满分100）为（ ） A ．81.5
B ．82.5
C ．84
D ．86
8．如图，四边形ABCD 的外接圆为O ，BC CD =，35DAC ∠=︒，45ACD ∠=︒，则ADB ∠的度数
为（ ）
A ．55︒
B ．60︒
C ．65︒
D ．70︒
9．一副三角板如图所示摆放，则α∠与β∠的数量关系为（ ）
A ．180αβ∠+∠=︒
B ．225αβ∠+∠=︒
C ．270αβ∠+∠=︒
D ．αβ∠=∠
10．已知221224a b a b +=--，则1
32
a b -的值为（ ） A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4-
11．已知二次函数2
2
224y x ax a a =-+--（a 为常数）的图象与x 轴有交点，且当3x >时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是（ ） A ．2a ≥-
B ．3a <
C ．23a -≤<
D ．23a -≤≤
12．如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF ，以AF 为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG ．以下四个结论： ①EAB GAD ∠=∠；
②AFC
AGD ∆∆； ③2
2AE AH AC =⋅； ④DG AC ⊥，
其中正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
第II 卷（非选择题 共102分）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．
13．分解因式：3244a a a -+=________．
14．设1x ，2x 是方程22340x x +-=的两个实数根，则
12
11
x x +的值为________． 15．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB =．将ABC ∆绕点A 按顺时针方向旋转至11AB C ∆的位置，点1B 恰好落在边BC 的中点处，则1CC 的长为________．
16．关于x 的分式方程
11222k
x x
-+=
--的解为正实数，则k 的取值范围是________． 17．如图，等腰ABC ∆中，10AB AC ==，边AC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ．若ABD ∆的周长为26，则DE 的长为________．
18．如图，点P 为
O 外一点，过点P 作O 的切线PA 、PB ，点A 、B 为切点．连接AO 并延长交PB
的延长线于点C ，过点C 作CD PO ⊥，交PO 的延长线于点D ．已知6PA =，8AC =，则CD 的长为________．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
19．计算：(2
122sin 452-⎛⎫
+-+︒ ⎪⎝⎭
20．先化简，再求值：229222a a a -⎛
⎫-÷
⎪--⎝
⎭，其中3a =． 21．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB ，如图所示，在山脚平地上的D 处测得塔底B 的仰角为30︒，向小山前进80米到达点E 处，测得塔顶A 的仰角为60︒，求小山BC 的高度．
22．中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部； （2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为________度； （3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
23．已知一次函数y kx b =+与反比例函数m
y x
=
的图象交于(3,2)A -、(1,)B n 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求AOB ∆的面积；
（3）点P 在x 轴上，当PAO ∆为等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．
24．“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买2棵柏树和3棵杉树共需850元；购买3棵柏树和2棵杉树共需900元． （1）求柏树和杉树的单价各是多少元；
（2）本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共80棵，且柏树的棵数不少于杉树的2倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？
25．如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，点B 、C 、E 三点在同一直线上，连接BD ，AD ，BD 交
AC 于点F ．
（1）若2
AD DF DB =⋅，求证：AD BF =； （2）若90BAD ∠=︒，6BE =． ①求tan DBE ∠的值； ②求DF 的长．
26．如图1，抛物线2
y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点B 坐标为(3,0)，点C 坐标为(0,3)．
图1 图2
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC ∆的面积最大时，求点P 的坐标；
（3）如图2，点M 为该抛物线的顶点，直线MD x ⊥轴于点D ，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．
1-5：ACCDB
6-10：DBCBA
11、12：DD
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．2
(2)a a - 14．
34 15． 16．2k >-且2k ≠ 17．15
4
18．三、解答题：本大题共8个小题，共78分．
19．解：原式1422
=++⨯
-
5=+
5=20．解：原式2
262
29
a a a a --=
⋅--， 2(3)2
2(3)(3)a a a a a --=⋅-+-，
23
a =
+．
当3a =
时，原式
3=
== 21．解：设BC 为x 米，则()20AC x =+米，由条件可知：60DBC AEC ∠=∠=︒，80DE =米， 在Rt DBC ∆中，tan 60DC DC BC x
︒==
，
则DC =
米，)
80CE ∴=
-米，
在Rt ACE ∆中，tan 60
AC CE ︒=
==
解得10x =+．
答：小山BC 的高度为(10+米．
22．解：（1）众数是1部．中位数是2部． （2）72． （3）如图所示．
（4）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别用A 、B 、C 、D 表示，列表如上表（树状图略） 由表格可知，机会均等的结果共16种，其中符合条件的有4种，
()41
164
P ∴=
=选中同一部． 23．解：（1）将()3,2A -代入m
y x
=
中，得6m =-， ∴反比例函数的表达式为6
y x
=-
()1,B n 在6
y x
=-的图象上，6n ∴=-，即()1,6B -
将A 、B 坐标代入y kx b =+得
326k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：2
4
k b =-⎧⎨
=-⎩．∴一次函数表达式为：24y x =--． （2）设直线AB 与y 轴交于点C ，则点C 为()0,4-，
11
4341822
AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=．
（3）满足条件的点P 为
)，()
，(6,0)-，13,06⎛⎫
- ⎪⎝⎭
．
24．解：（1）设柏树每棵x 元，杉树每棵y 元． 根据题意得：23850
32900x y x y +=⎧⎨
+=⎩
，
解得200
150
x y =⎧⎨
=⎩．答：柏树每棵200元，杉树每棵150元．
（2）设购买柏树a 棵时，购树的总费用为w 元，则购买杉树的棵树为()80a -棵． 由题意得：()280a a ≥-，解得1533
a ≥．
()200150805012000w a a a =+-=+， 500>，w ∴随a 的增大而增大，
又
a 为整数，∴当54a =时，14700w =最小．
此时，8026a -=，
即柏树购买54棵，杉树购买26棵时，总费用最少为14700元． 25．（1）证明：2AD DF DB =⋅，AD DB
DF AD
∴
=
又
ADF BDA ∠=∠，ADF BDA ∴∆∆，ABD FAD ∴∠=∠．
ABC ∆和CDE ∆均为等边三角形，
AB AC ∴=，60BAC ACB DCE ∠=∠=∠=︒， 60ACD ∴∠=︒，60ACD BAF ∴∠=∠=︒， ACD BAF ∴∆≅∆，AD BF ∴=．
（2）①过点D 作DG BE ⊥于点G ，
90BAD ∠=︒，60BAC ∠=︒，30CAD ∴∠=︒，
而60ACD ∠=︒，90ADC ∴∠=︒，12DC AC ∴=
，1
2
CE BC ∴=． 6BE =，2CE ∴=，4BC =，1CG EG ∴==，5BG =．
DG ∴=，tan DG DBE BG ∴∠=
=
②BD =
==，
60ABC DCE ∠=∠=︒，//CD AB ∴，CDF ABF ∴∆∆，
12DF CD BF AB ∴
==，1
3
DF BD ∴=，3DF ∴=． 26．解：（1）由题意得：9303b c c -++=⎧⎨
=⎩，解得23
b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线为223y x x =-++
（2）设点P 的坐标为()
2,23m m m -++，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BC 于点G ， 点()3,0B ，()0,3C ，∴直线BC 为：3y x =-+，∴点G 为(),3m m -+，
23PG y m m ∴==-+．
()2
2113327
3322228PBC
S PG OB m m m ∆⎛⎫=⋅=-+⨯=--+
⎪⎝⎭， ∴当32m =
时，PBC S ∆最大，此时点P 坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （3）存在点N 满足要求．
2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点M 为()1,4，
∴直线MC 的表达式为：3y x =+．设直线MC 与x 轴交于点E ，则点E 为()3,0-，
4DE DM ∴==，45CMD ∴∠=︒．
设满足要求的点N 坐标为()1,n ，则4MN n =-．
过点N 作NG ME ⊥于点G ，则2NG MN n =
=-，
NG NA =，22NG NA ∴=，而224NA n =+，2
2
4n n ⎫∴-=+⎪⎪⎭
，
整理得2880n n +-=，解得4n =-±
∴存在点N 满足要求，点N 坐标为(1,4-+或(1,4--．
图1 图2。