核反应堆物理(第三讲)慢化理论

l = t s + td
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慢化时间的计算：
dt dt du λs ( E ) −1 −λs ( E ) ∵ = × = × = dE du dE v( E )ξ E v( E )ξ E Eth −λ ( E ) s ∴ ts = ∫ dE E0 v ( E )ξ E
• 由于在平均意义上，热能Eth取0.0253eV • 对于能量相同的中子，ts取决于慢化剂， 一般在10-4~10-6s。
2 慢化过程的中子能谱与慢化方程 3 慢化过程的中子截面
3.1有效共振积分; 3.2有效共振积分的计算;
4 热中子能谱和热中子平均截面
4.1热中子能谱; 4.2热中子的平均截面
2
1. 中子慢化模型
1.1 基本概念
• 慢化(moderation)：在无明显俘获的情况 下，由散射引起中子能量降低的过程。 反应堆内裂变中子平均能量高达2MeV，只 有经过不断散射碰撞、使其能量降低到一定 值以下时才能引起下一次裂变。在快堆中， 其平均值须降到0.1MeV左右;在热堆中，须 降到热区（0.0253eV）。 3
20
在C系中、各向同性散射下：
ξ = ∫ (ln E − ln E ) f ( E → E )dE
' ' E
αE
'
=∫
αE
E
E dE α ln α ln ' = 1+ E (α − 1) E 1−α
' 2
A +1 ( A − 1) = 1− ln( ) A −1 2A 2 A > 10, ξ ≈ A+ 2/3
vl2 ( A2 + 2 A cos θC + 1) '2 vl = ( A + 1) 2 E ' vl' 2 A2 + 2 A cos θC + 1 ∴ = 2 = 2 E vl ( A + 1) A −1 2 ' 1 ) , E = [(1 + α ) + (1 − α ) cos θC ]E 令α = ( 2 A +1
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扩散时间的计算：
1 = td = v ( E ) N σ a ( E )v ( E )
• 对于热中子截面，许多介质存在1/v律： σ a ,i ( E ) = σ a ,i (0.0253) 0.0253 / E
⇒ σ a. j ( E )v( E ) = constant ⇒ t d = constant • 对于1/v吸收介质扩散时间与中子能量无 关，一般为10-1~10-4s
αE ≤ E'≤ E
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散射后的能量分布是均匀分布的。
1.6 平均对数能降
对数能降( logarithmic energy decrement ): 基准能量与中子能量之比的自然对数。 ⎧E = E0 e −u E0 ⎪ u = ln ⇒⎨ E ⎪ E ↓→ u ↑ ⎩ E0为参考能量，一般取2MeV或10MeV。随着 中子能量减少，对数能降增加。一次碰撞后对 数能降增加量为：
A −1 2 3) A ↓→ α = ( ) ↓→ ΔEmax ↑ A +1 轻核元素更适用于慢化。而重核如U-238，一 次碰撞的最大损失能量只有碰撞前中子能量 12 的2%。
1.4 散射后中子运动方向的变化
• 回顾弹性散射模型，得到：
v cos θ l = VCM + v cos θ C
' l ' C
• 中子慢化能谱：反应堆处于稳态时，在慢 化过程中，堆内中子密度（或中子通量密 度）按能量具有稳定的分布。 在反应堆物理设计中，须知道中子的慢化 能谱。如分群理论中群常数的计算就要用 到中子慢化能谱Φ（E）。
4
1.2 弹性散射模型
热堆的中子慢化过程，以弹性散射为主。因 为裂变中子经过与材料核的碰撞，能量很快 降到非弹性散射阈能以下。 模型：视为两个弹性刚球碰撞。动量、能量 均守恒。
核反应堆物理 第三讲
（2011—2012学年第一学期）
主讲：杨 波
1 中子慢化模型
1.1基本概念;1.2弹性散射模型;1.3散射后中子能 量的变化;1.4 散射后中子运动方向的变化; 1.5 散 射后中子能量的分布; 1.6 平均对数能降;1.7 平均 散射角余弦; 1.8 慢化剂的选择; 1.9 中子平均寿命
λa ( E )
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(p45)
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2. 慢化过程的中子能谱 与慢化方程
慢化过程的中子能谱需要通过解慢化方 程求得。而慢化方程在多数情况下无法解 析求解，本节将就无吸收、无限介质情况 讨论慢化能谱的共同特点。 慢化密度：q(r,E)，在r处每秒每单位体积 内慢化能量E以下的中子数。 ∞ E q (r , E ) = ∫ dE '∫ Σ s (r , E ') f ( E ' → E )φ (r , E ')dE
A cos θC + 1
1 E E cos θl = [( A + 1) − ( A − 1) ' ] 2 E E
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'
1.5 散射后中子能量的分布
f ( E → E ')dE ' 表示碰撞前中子能量为E，
碰撞后中子能量为E’附近dE’内的概率。
f ( E → E ') 称为散射函数。
f ( E → E ')dE ' = f (θ c )dθ c
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在C系内：
mvC + MVC = mv + MV = 0
' C ' C
⇒ v = − AV , 代入：
' C ' C
mvC MVC mv MV + = + 2 2 2 2 A ⎧ ' vC = vl = v C ⎪ ⎪ A +1 ⇒⎨ ⎪V ' = 1 v = V C l C ⎪ A +1 ⎩
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最好的慢化剂——重水
分子式D2O，分子量20.0275，密度1.1g/cm3，冰点、 3.82℃，沸点101.42℃。参与化学反应的速率比普通 水缓慢。在天然水中，重水含量约0.015％。微生物、 鱼类在纯重水或含重水较多的水中，只要数小时就会 死亡 。 重水的生产方法： 电解法：电解水时，分离系数大，但耗电太大，已不 单独使用。 精馏法：分水、氨、氢等精馏法，操作简单，但分离 系数小。 化学交换法：主要有两种：水－硫化氢交换法(GS法) 27 和氨－氢交换法，是最经济的方法。
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在C系内各向同性散射时，平均对数能降只与 A有关，与中子能量无关。 计算中子慢化到某一能量所需的平均散射次 数Nc：
Nc =
ln E1 − ln E2
ξ
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1.7 平均散射角余弦
1 π μC = ∫ cos θC f (θC )dθC = ∫ cosθC sin θC dθC = 0 0 2 0 π 1 π μ0 = cos θl = ∫ cos θl f (θl )dθl = ∫ cosθ l sin θ C dθ C 0 2 0 A cos θC + 1 1 π 2 = ∫ sin θC dθC = 2 0 A2 + 2 A cos θC + 1 3A
1.9 中子平均寿命
• 慢化时间(moderation time)：ts:裂变中子由 裂变能E0慢化到热中子阈能Eth所需要的平均 时间。 • 扩散时间(diffusion time)：td:也称为热中子 平均寿命，热中子在无限介质中自产生到被 俘获前所经过的平均时间。
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• 中子平均寿命(neutron average life (time)): l: 裂变中子由产生到慢化为热中子，直至 最后被俘获的平均时间。即慢化和扩散两过 程的平均时间之和。主要由扩散时间决定， 压水堆约为10-4s，快中子堆约为10-7s。
π
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• 在C系中各向同性。
μ • 在L系中， 0 >0，散射中子沿原方向运动概
率较大。 • L系散射各向异性随靶核质量数增大而趋于 各向同性：
A ↓→ μ0 ↑, A → ∞ → μ0 → 0
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1.8 慢化剂的选择
越易被散射且每次散射失能多、同时不易被 吸收的慢化剂越理想。 • 慢化能力(slowing-down power):某介质的 宏观散射截面与中子平均对数能降的乘积。
E0 E0 E Δ u = u − u = ln ' − ln = ln ' E E E 1 ⇒ γ = Δ u max = ln
'
α
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平均对数能降(average logarithmic energy decrement) ：每次碰撞中子能量的自然对数 的平均变化值。
ξ = Δu = ln E − ln E
ξΣ s
• 慢化比(moderating rate):慢化剂的慢化能力 与其热中子宏观吸收截面的比。
ξΣ s / Σ a
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4种慢化剂的慢化能力与慢化比
慢化剂 H2O D2O Be 石墨 慢化能力ξΣs/m-1 153 17.7 16 6.3 慢化比ξΣs/Σa 70 2100 150 170
1. H2O的ξΣs最大，堆芯体积最小，但 ξΣs/Σa最 小，需用富集铀。 2. D2O的ξΣs/Σa最大，可用天然铀，但自身价格昂 贵。 26 3. 石墨的ξΣs最小，故堆芯体积最大。（如HTGR）
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用 f (θC )dθC 表示C系内一个中子被散射到立 体元角 dΩ c 内的概率：
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d Ωc 1 ϕ = 2π = f (θC )dθC = ∫ϕ =0 sinθC dθC dϕ 4π 4π 1 f (θC )dθC = sin θC dθC 2 dθ C 2 =− dE E (1 − α ) sin θC dE ' f ( E → E ')dE ' = − (1 − α ) E
'
能量为E0的中子与慢化剂核n次碰撞，能量依 次降为E1，E2，……En，则：
E0 E0 E1 En −1 = • •••• En E1 E2 En
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E0 E0 En −1 E1 ln = ln + ln + ⋅ ⋅ ⋅ + ln E1 En E2 En En −1 = ∑ ln En n
En −1 1 En −1 ξ = ln = ∑ ln En n n En
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1 E = [(1 + α ) + (1 − α ) co s θ C ] E 2
'
四点结论：
1)θC = 0 , E → E
o ' o ' ' max
= E , ΔE → ΔEmin = 0
' min
2)θC = 180 , E → E ∴ E ' ∈ [α E , E ]
= α E , ΔE → ΔEmax = (1 − α ) E
2
' C
2
' C
2
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1.3 散射后中子能量的变化
易知，C系中弹性碰撞前后中子与核动能均不 变，那么L系中呢？(p38)
余弦定理： v = V
'2 l
2 CM
+v
' 2 C
+ 2v V
' C CM
cos θ C
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由前面的结论： 1 A ' V CM = vl , vC = = vl 1+ A 1+ A 代入上式可得：
E ∂n(r , E , t ) = ∫ Σ s (r , E ' , t )φ (r , E ' , t ) f ( E ' → E )dE ∞ ∂t + S (r , E , t ) − Σt (r , E , t )φ (r , E , t )
E 0
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慢化方程的建立
• 思路： 某一能量区间内： 中子数密度变化率＝中子移入率＋中子产生 率－中子移出率
∂n(r , E , t ) 中子数密度变化率＝ ∂t
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• 中子移入率＝
∫
E
∞
Σ s (r , E ' , t )φ (r , E ' , t ) f ( E ' → E )dE
• 中子移出率＝ Σt ( r , E , t )φ ( r , E , t ) • 中子产生率＝ S (r , E , t ) 慢化方程：
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VCM + v cos θC 1 + A cos θC vl cos θl = = v vl' 1+ A
' C ' l
A + 2 A cos θC + 1 1 ' 利用 E = [(1 + α ) + (1 − α ) cos θ C ]E ，可得 2 散射角余弦与碰撞前后中子能量的关系：
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
5
6
• 实验室坐标系（L系）：坐标原点固定在实 验室某一点（如核反应实验中的靶核）的坐 标系。 • 质心坐标系（C系）：坐标原点固定在由入 射粒子和靶核组成的系统的质心的坐标系。 • 实验上获得的数据都是就L系而言的，而讨 论核反应阈能及出射粒子角分布时，C系形 式更简单。
7
在C系内：
1 1 M V CM = vl，其中A = (mvl + MVl ) = m+M m 1+ A A ⎧ ⎪vC + V CM = vl ⇒ vC = 1 + A vl ⎪ ⎨ ⎪V + V CM = V ⇒ V = − 1 v l C l ⎪ C ⎩ 1+ A