运筹学 第四章 目标规划

第二节 目标规划的图解法
只含有两个决策变量的目标规划模型。线性规划是在可行 域中寻找一点，使单个目标极大或极小；目标规划则是寻找 一个区域，这个区域提供了相互矛盾的目标集的折衷方案。 目标规划的图解法的思路： 首先在可行域内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1； 然后再在R1中寻找一个使P2级各目标均满足的区域 R2(R2R1)； 接着再在R2中寻找一个满足P3级各目标的区域R3(R3 R2 R1)； 如此继续，直到寻找到一个区域RK(RK RK-1 … R3 R2 R1)，满足PK级各目标，这时RK即为这个目标规划的最优解 空间，其中的任一点均为这个目标规划的满意解。
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资源
设备
产品
甲 4 5
乙Fra Baidu bibliotek3 4
现有资源 24
单位产品利润
管理部门提出新要求：第一个目标是实现利润最大，计 划部门规定利润目标是20；第二个目标是充分利用设备台 时，但尽量少加班；第三个目标做如下规定，甲产品产量 希望不少于3单位，乙产品产量比甲产品至少多2单位。假 设：甲产品产量希望不少于3单位的权数为3，乙产品产量 比甲产品多2单位的权数为5。
CB - P1 - P2 - 3P3 - 5P3
cj XB
0
0
-P1
0
- P2
- P2 -3P3
0
-5P3
0

值
b
d1d2d3d4-
20 24 3 2
x1 5 4 1 -1
x2 4 3 0 1
d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ d4- d4+ ① -1 0 0 0 0 0 0 0 0 ① -1 0 0 0 0 0 0 0 0 ① -1 0 0 0 0 0 0 0 0 ① -1
第四章 目标规划 Goal Programming
内 容
1 2 3 4
目标规划模型 目标规划的图解法 目标规划的单纯形法 目标规划的应用
线性规划的局限性： 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一 个目标的最大或最小值的问题。实际决策中，衡量方案优 劣考虑多个目标。这些目标中，有主要的，也有次要的； 有最大的，也有最小的；有定量的，也有定性的；有互相 补充的，也有互相对立的，LP则无能为力。 约束条件不能矛盾。在实际决策中，一旦出现矛盾，人 们总是力图设法解决，或增加资源，或减少消耗，从而得 到比较可行的方案。 目标规划（Goal Programming）是在LP的基础上发展起 来的解决多目标规划问题的最有效的方法之一。 美国经济学家查恩斯和库柏在1961年出版的《管理模型 及线性规划的工业应用》一书中首先提出的。
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第一节
目标规划模型
一、目标规划模型的基本思想
P110 例3.1 目标规划的基本思想： 对每一个目标函数引进一个期望值（理想值），但由于 种种条件的限制，这些期望值往往并不都能达到，从而我 们对每个目标引进正、负偏差变量，然后将所有的目标函 数并入原来的约束条件，组成新的约束条件。在这组新的 约束条件下，寻找使各种目标偏差达到最小的方案。
检验数j d3+ 3 d1+ 10 x1 6 - 5P3 d - 8 4
0 0 0
- P1 0 -1/5P2 -4/5P2 +4/5P2 +9P3 +P3 -P3
0 0 ① 0
0
3/4 -1/4 3/4 7/4
0 -1 0 0
- P1
0 ① 0 0
0
1/4 5/4 1/4 1/4
-P 2
-1/4 -5/4 -1/4 -1/4
0
- P2
- P2 - 3P3
0
- 5P3
0

x1 x2 d1- d1+ 0 ① 0 0 0 0 -1 ① ① 0 0 0 0 0 0 0
0 0 - P1 0
d21/3 4/3 0 -1/3
-P 2
d2+ -1/3 -4/3 0 1/3
-P 2
d3-4/3 -1/3 -1 7/3
d3 + 4/3 1/3 1 -7/3
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三、目标规划模型的标准形式
minf= P1 d1- + P2(d2- + d2+ ) + P3(3d3- +5 d4- ) s.t. 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0
-P 2 -P 2
cj
0
0
- P1
0
- P2
- P2 - 3P3
0
- 5P3
0

b 1 8 4 6
x1 0 0 ① 0
0
x2 4/5 -1/5 4/5 9/5
d11/5 -4/5 1/5 1/5
d1 + -1/5 4/5 -1/5 -1/5
d2- d2+ d3- d3+ d4- d4+ 值 0 0 -1 ① 0 0 0 0 0 10 ① -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ① -1 0 -2P2 -3P3 0 -5P3
0
0 -1 0 0
-5 5 0 -4 4 0 1 -1 0 1 -1 ①
0
0 0 0 -1
-5P3
1 3 -
检验数j
0 +4 P1 0 +3 P2 +5 P3
-5 P1 +5 P1 -2P2 -4 P2 +4 P2 +2 P3 -5 P3
CB XB 0 d3+ - P2 d20 x1 - 5P3 d 4
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j 1 kj j k k
对约束方程引入偏差变量，使矛盾着的方程不再矛盾。 当不易发现矛盾时，我们甚至可以在所有的约束方程中 都加入偏差变量。 3、达成函数 如何使各目标的实际值最接近于各自的期望值，构造一 个新的目标函数以求得有关偏差变量的最小值。这个新的 目标函数反映了各目标函数的期望值达到或实现的情况， 故把这个新的目标函数称为目标达成函数。 （1 ）若要求尽可能达到规定的目标值，则正、负偏差 变量di+、di- 都尽可能最小，即minSi=di++di- ；最好等于 （2）若希望尽可能不低于期望值(允许超过)，则负偏差 变量di 尽可能的小，而不关心超出量di+ ，故只需将di- 列入 目标函数，minSi= di- ；最好不小于
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目标规划的图解法的步骤： 首先，按照绝对约束画出可行域； 其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线, 标出正负偏差的方向； 最后，按优先级别和权重依次分析各级目标。 由 图 可 知 P1 、 P2 都 满 P118例3.5 【作业】:minf= P1 d1- + P2(d2- 足。满意解代入约束方程 ③ ④后可得 minf=9/7P3 x2 + d2+ ) + P3(3d3- +5 d4- ) + d ② ④ 4 B ③ s.t. 5x1+4x2 +d1-﹣d1+ = 20 ① d4d3+ d34x1+3x2 +d2- ﹣d2+ = 24 ② ① x1 +d3- ﹣ d3+ = 3 ③ D + d 2 C -x1 + x2 +d4- ﹣ d4+ = 2 ④ d2x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0
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P120 例3.6 序贯法， P122 例3.7 【课堂作业】： minZ=P1 d1-+P2(d2-+d2+)+P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+= 24 x1 +d3- - d3+ = 3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0 划为标准型 maxZ=-P1 d1--P2(d2-+d2+)-P3(3d3-+5d4-) 5x1+4x2 +d1-- d1+ = 20 4x1+3x2 +d2- - d2+ = 24 x1 +d3- - d3+ =3 - x1 + x2 +d4- - d4+ = 2 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0
d4- d4+ 值 0 0 0 0 0 0 ① -1 3
0
-5/3P3 +5/3P3 26/3P3 -35/3P3
-5P3
x2 d1+ x1 d3-
32/7 78/7 18/7 3/7
0 ① 0 0 ① 0 0 0
0 0
0 -1 0 0
- P1
0 ① 0 0
0
1/7 -1/7 9/7 -9/7 1/7 -1/7 -1/7 1/7
d1+
满意解：x1=18/7, x2=32/7
d1-
A
x1
第三节 目标规划的单纯形法
目标规划与线性规划的数学模型的结构相似。
可用前述单纯形算法求解目标规划模型： 将优先等级Pk视为不同数量级很大的正常数； 正负偏差变量 dk+、dk- 视为松弛变量，以负偏差变量 dk-为初 始基变量，建立初始单纯形表； 在表中按优先级别分别列出目标函数行； 最优性判别准则类似于 LP 的单纯形算法：检验数一般是判 断各优先等级因子系数的正负和大小； 迭代时，先从最高级优先等级系数 P1 行中挑选调入变量。 如果P1 行的系数已全部非正，则从下一个优先等级系数 P2 行 中挑选调入变量。以此类推。
-P1 0 -2P2 0 0
4 6 3 -
检验数j
- P1 - P2 0 - 5P3
+5 P1 +4 P1 0 +4 P2 +3 P2 -2 P3 +5 P3
-3P3
-5P3
d1- 5 d2- 12 x1 3 d4- 5
0 0 ① 0
4 3 0 1
① 0 0 0
-1 0 0 0
-P1
0 ① 0 0
-P 2
-1 0 0 0
① 0 0 0 0 0 0 ①
0 0
0 4 0 0 8 -1 32/7
检验数j
35/4P3
+5/4P3 -5/4P3 -3P3
-5P3
CB XB b 0 x2 4 + d 11 1 0 0 x1 3 - 5P3 d4- 1 检验数j
0 0 0 - 3P3
cj
0
0
- P1
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（3 ）若允许某个目标低于期望值，但希望不得超过期 望值，则正偏差变量dk+ 尽可能地小，而不关心低于量dk- ， 故只需将dk+列入目标函数，minSk= dk+ 。最好不大于 4、优先等级和目标的权系数 目标的重要程度不同，用优先等级因子 Pk 来表示第k等 级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数，Pk >> Pk+1 。“ >>”的含义 是远远大于的意思。仅仅是个优先等级的记号，在具体计 算时，它并不表示任何具体的数。在求较低级别目标的最 优值时，不容许破坏已得到的较高级别的目标。 一般来说，必须严格实现的目标和不能超过的资源约束 等均须列入 P1级目标。 同一优先等级下的目标的相对重要性，赋以不同的加权 系数w。
二、目标规划模型的建立
1、目标函数的期望值 首先要对每一个目标确定一个希望达到的期望值 ei(i=1,2, …,n) 。根据历史资料、市场需求或上级部门的布 置等来确定。
《运筹学》 第四章 目标规划 Slide 4
2、正负偏差变量 每个目标函数的期望值确定之后，目标的实际值和它的 期望值之间就有正的或负的偏差。 正偏差变量 di+ 表示第i个目标超过期望值的数值；负偏 差变量di- 表示第i个目标未达到期望值的数值。 同一目标，它的取值不可能在超过期望值的同时，又没 有达到期望值，所以在di+ 和di- 中至少有一个必须为零。 di+ ×di-=0 引入正、负偏差变量后，对各个目标建立的目标函数方 n 程。 c x d d E * 原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约束 (软约束) ，原来的约束条件称为系统约束(硬约束)。
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5、建立目标规划模型的基本步骤： 1）按生产和工作要求确定各个目标及其优先等级和期望 值； 2）设立决策变量，建立各个约束条件方程； 3）对每个目标引进正、负偏差变量，建立目标约束条件 ，并入已有的约束条件； 4）如果各约束条件之间有矛盾，也可适当引入偏差变量 ； 5）根据各目标的优先等级和权系数写出达成函数。 P110-113 例3.1 ,P117 例3.4 【课堂作业】： 某工厂计划生产甲、乙两种产品，现有的设备资源、每 种产品的技术消耗定额及单位产品的利润如下表所示。