解三角形问题常见类型及解法

23 110
，所以 C 为钝角．
三、解决与面积有关的问题
【理论阐释】
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积 公式来解题。
典例导悟
典例导悟
3
在 △ A B C 中，三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c ，已知 c 2 ， C （1）若 △ A B C 的面积等于 3 ，求 a， b ； （2）若 sin C sin ( B A ) 2 sin 2 A ，求 △ A B C 的面积．
3 0 ， B 30 ， A C B 1 3 5 ，
15 ，
BC sin A AC sin B
2)
由正弦定理知：
3 0 sin 3 0 sin 1 5
，即
30 sin 1 5

AC sin 3 0
∴ AC
6 0 co s 1 5 1 5( 6
一、求解斜三角形中的基本元素
【理论阐释】 已知两边一角(或二角一边或三边)，求其他三 个元素的问题，进而求出三角形的三线(高线、角 平分线、中线)及周长等基本问题。
典例导悟
在Δ ABC 中，已知 A B 的值．

4 6 3
, cos B
6 6
，AC 边上的中线 BD=
5 ，求 sinA
典例导悟
1 (
12 13
)
2

5 13
.
又 S ABC = （1）
b c s in A 3 0 ，∴ b c 1 5 6 ， 2 12 A B A C bc cos A 156 144 ； 13 12 13 ) 25
1
（2） a 2 b 2 c 2 2 b c c o s A ( c b ) 2 2 b c (1 c o s A ) 1 2 1 5 6 (1
∴a 5 。
，
五、解三角形的实际应用
【理论阐释】
有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是： （1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用 题中的有关名词和术语； （2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；
（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，合理
运用正弦定理和余弦定理求解。
典例导悟
2 2
，
5 x
2
8 3
2
2 3
6

6 6
x
，解得 x
1，x
2
7 3
（舍去）
王新敞
奎屯
新疆
故 BC=2，从而 A C 2 A B 2 B C 2 2 A B B C co s B
28 3
，即 A C

21
王新敞
奎屯 新疆
3 70 14
。
又 sin B
30 6
2 21
，故
2 sin A

3 30 6
，从而有
s in A
二、判断三角形的形状
【理论阐释】
给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状，
通常有两种典型方法：
（1）统一化为角，再判断； （2）统一化为边，再判断。
典例导悟
（2010·上海高考文科·Ｔ１8）.若△ A B C 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C 5 : 11 : 13 ，则 △ ABC （ ） （B）一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
．
【解析】 （1）由余弦定理及已知条件得， a 2 b 2 a b 4 ， 又因为 △ A B C 的面积等于
3
，所以 解得
1 2
a b s in C
3Hale Waihona Puke Baidu
，得 a b 4 ．
a 2 b 2 ab 4 , 联立方程组 ab 4
a 2 b 2
.
a
2
联立方程组
b
2
a b 4，
b 2 a，
2 3 a 3 解得 . 4 3 b 3
2 3 3
所以 △ A B C 的面积 S
1 2
a b s in C
。
四、三角形中的求值问题
【理论阐释】 已知三角形三边外的元素如中线长、面积、
周长等，灵活逆用公式求得结果即可。
v 900 400 t
2

600 t
A
G
T
H
B
10
4
2
6 9
O
从而
v 10 4(
2

3 2

9 16

)
3 2
9 4
9 10
2 3
4(
3 4
)
2
27 4
30 ( 3 )
所以当 v
30
时，
，t

也就是说， 当小艇以 30 海里每小时的速度， 沿北偏东 30 方向 行走能以最短的时间遇到轮船。
对于解斜三角形的实际应用问题时，首先要理解 题意，分清已知与所求，然后再根据题意画出示意图， 抽象或构造出三角形，明确先用哪个公式定理，先求 出哪些量，最后确定解三角形的方法。在演算过程中
要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计
算的要求。对于实际应用问题中的有关名词、术语要 理解清楚，如坡度、俯角、仰角、视角、方向角、方 位角等。
3 0 ，航行 30 海里后，在 C 处测得小岛在船的南偏东 4 5 ，如果此船不改变航向，继续往南航行，有无触礁
的危险？
【解析】船继续向南航行，有无触礁的可能取决于 A 到直线 B C 的距 离是否大于 38 海里。于是我们只要先算出 A C （或 A B ）的大小，再 算出 A 到 B C 所在直线的距离，将它与 38 海里比较即可得到答案。 在△ A B C 中，BC ∴ A
c a b
2
2bc cos A 2ca cos B 2ab cos C
2
2
2
推论
2
2
2
余弦定理 应用
已知三边求三角 已知两边和它们的夹角的对 角,求第三边和其它角
已知三角形的六个元素（三边和三角）中的三个
元素（至少有一边）求其他元素的问题叫做解三角形。
若三角形为直角三角形，则直接利用勾股定理解答即可； 若为斜三角形问题，正弦定理和余弦定理是解斜三角形 和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条 件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
（2010·安徽高考文科·Ｔ16） A B C 的面积是 30，内角 A , B , C 所对边长分别 为 a, b, c ， cos A
12
。
13 (1)求 A B A C ；
(2)若 c b 1 ，求 a 的值。
【解析】由 c o s A
12 13
且 A 为三角形内角，得 s in A
讲座3、解三角形问题常见类型及解法
知识结构
正弦定理 应用 应用举例
常见变式
推论 余弦定理 应用
知识结构
正弦定理
a sn A

b s in B

c s in C
2R
常见变式
应用 应用举例
a b c
2
已知两角和任一 边,求其它边和角
已知两边和其中一边的 对角,求其它边和角
b c a
2
在Δ ABC 中， 已知 A B 的值．
【解析】设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE//AB，且 D E 设 BE＝x,在ΔBDE 中利用余弦定理可得：
BD
2

4 3
6
, cos B
6 6
， AC 边上的中线 BD=
5 ，求 sinA
6

1 2
AB
2 3
，
B E E D 2 B E E D co s B E D
（2）由题意得 sin ( B A ) sin ( B A ) 4 sin A co s A ， 即 sin B co s A 2 sin A co s A ， 当 co s A 0 时， A
2
，B
6
，a
4 3
3
，b
2 3
3
，
当 co s A 0 时，得 sin B 2 sin A ，由正弦定理得 b 2 a ，
．
典例导悟
典例导悟
3
在 △ A B C 中，三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c ，已知 c 2 ， C （1）若 △ A B C 的面积等于 3 ，求 a， b ； （2）若 sin C sin ( B A ) 2 sin 2 A ，求 △ A B C 的面积．
∴ A 到 B C 所在直线的距离为：
A C sin 4 5 1 5( 3 1) 4 0 .9 8 （海里）
它大于 38 海里，因此船不改变航向，继续往南航行，没有触 礁的危险。
（三）追及问题 （2010·福建高考理科·Ｔ19）某港口 O 要将一件重要物品用小 艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小 时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小 应为多少？ (Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航 行方案（即确定航行方向和航行速度的大小） ，使得小艇能以最 短时间与轮船相遇，并说明理由。
【解析】 选 C ，由正弦定理可得 a : b : c 5 : 11 : 13 ，设 a 5 t ，则 b 11 t ， c 13 t ，
由余弦定理得 cos C
a b c
2 2 2

( 5 t ) ( 11 t ) ( 13 t )
2 2
2
2 ab
2 5 t 11 t
（A）一定是锐角三角形. （C）一定是钝角三角形.
典例导悟
（2010·上海高考文科·Ｔ１8）.若△ A B C 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C 5 : 11 : 13 ，则 △ ABC （ ） （B）一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
（A）一定是锐角三角形. （C）一定是钝角三角形.
（一）测量问题 如图,测量河对岸的塔高 AB 时, 可以选与塔底 B 在同一水平面 内的两个测点 C 与 D.现测得 ∠BCD=α ,∠BDC=β ,CD=s,并在 点 C 处测得塔顶 A 的仰角为θ ,求塔高 AB.
【解析】在△BCD 中,∠CBD=π-α-β, 由正弦定理得:
BC sin∠ BDC = CD sin∠ CBD
【解析】(Ⅰ)为使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为
OT，小艇到达 T 位置时轮船的航行位移 s 0
30 t 10 , t 1 3
AT , 即
，vt 10 3 ， 从而 v
10 t
3
30
3 （海里/小时） ；
(Ⅱ)若轮船与小艇在 H 处相遇时， 在直角三角形 OHT 中运用勾 股定理有： ( 900 v 2 ) t 2 600 t 400 0 ，等价于
,
所以 B C =
CD in∠ BDC s sin∠ CBD
=
s s i n β sin(α+β )
.
在 Rt△ABC 中， AB=BC·tan∠ACB =
s t a n θ s i n β sin(α+β)
.
（二）遇险问题 如图，已知海中一小岛 A 周围 38 海里内有暗礁，一船 正在向南航行，在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东
典例导悟
典例导悟 典例导悟
（2010·安徽高考文科·Ｔ16） A B C 的面积是 30，内角 A , B , C 所对边长分别 为 a, b, c ， cos A
12
。
13 (1)求 A B A C ；
(2)若 c b 1 ，求 a 的值。
典例导悟
典例导悟 典例导悟