专题2.16 熟记几个奇函数、抽象函数(解析版)

熟记几个奇函数、抽象函数

秒杀题型一：熟记几类常考奇函数:

秒杀思路：i.()log a b x f x b x +=-(0)b ≠。 ii.1()(0)1

x x a f x x a +=≠-(或化简为2()1(0)1x f x x a =+≠-)（或12111)(+-=+-=x x x a a a x f ）;。 iii.)1(log )(22bx x b x f a ++=（这个函数主要考查三个方面①奇函数;②求参数的值，参数恒为1， bx x b y a ±+=22?log ；③求参数的关系，恒为平方关系，x x y a ？？±+=21log 。

iv.x x a a x f --=)(。

1.(高考题)函数22log 2x y x

-=+的图象 ( ) A.关于原点对称 B.关于直线y x =-对称

C.关于y 轴对称

D.关于直线y x =对称

【解析】：奇函数的图象关于原点对称,选A 。

2.(高考题)2()1(),(0)21x F x f x x ⎡⎤=+

≠⎢⎥-⎣⎦是偶函数,且()f x 不恒为0,则()f x 是 函数(填奇、偶). 【解析】：Θ2121

x +-是奇函数,∴()f x 是奇函数。 秒杀题型二：抽象函数

秒杀策略：解抽象函数问题通常采用赋值法、结构变换法:

常考几类初等函数对应抽象函数的表示 :

ⅰ.指数函数:()()()f x y f x f y +=。

ⅱ.对数函数:()()()f xy f x f y =+。

ⅲ.一次函数:()()()f x y f x f y b +=++(当b 为0时为正比例函数)，且b kx x f -=)(。

ⅳ.幂函数:()()()f xy f x f y =。

秒杀方法：如在小题中出现抽象函数问题,应先找到对应的具体函数,抽象函数具体化,使问题简单化。

1.(2017年新课标全国卷I5)函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 ( )

A.[2,2]-

B.[1,1]-

C.[0,4]

D.[1,3]

【解析】：)1()2()1(-≤-≤f x f f ,得13≥≥x ，选D 。

秒杀方法:取特殊函数x x f -=)(。

2.(高考题)设函数()()f x x R ∈为奇函数,1(1)2

f =

,(2)()(2),f x f x f +=+则(5)f 等于 ( ) A.0 B.1 C.52 D.5 【解析】：(5)(3)(2)2(2)(1)f f f f f =+=+,令1x =-得(2)1f =。

秒杀方法:取特殊函数()f x kx =,代入1(1)2f =,可得12k =,即5(5)2

f =,选C 。 3.(高考题)若定义在R 上的函数()f x 满足:对任意12,x x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是 ( )

A.()f x 为奇函数

B.()f x 为偶函数

C.()1f x +为奇函数

D.()1f x +为偶函数

【解析】：由解析式可知)(x f 是一次函数，可设()f x kx b =+,代入得()1f x kx =-,选C 。

4.(高考题)下列函数中,不满足．．．(2)2()f x f x =的是 ( ) A.()f x x = B.()f x x x =- C.()f x x =+1 D.()f x x =-

【解析】：代入知选C 。

5.(高考题)函数()(0,1)x f x a a a =>≠对于任意的实数x 、y ,都有 ( )

A.()()()f xy f x f y =⋅

B.()()()f xy f x f y =+

C.()()()f x y f x f y +=⋅

D.()()()f x y f x f y +=+

【解析】：选C 。

6.(高考题)下列函数中,满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是 ( )

A.()12f x x =

B.()3f x x =

C.()12x

f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D.()3x f x = 【解析】：可知是指数函数的抽象表示，且为增函数，选D 。

7.(高考题)给出下列三个等式:()()(),()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=,()()()1()()

f x f y f x y f x f y ++=-.下列

函数中不满足其中任何一个等式的是 ( )

A.()3x f x =

B.()sin f x x =

C.2()log f x x =

D.()tan f x x =

【解析】：分别为对数、指数、正切抽象表示，选C 。

8.(高考题)设奇函数()f x 在()+∞,0上为增函数,且(1)0f =,不等式()()0f x f x x

--<的解集为 ( ) A.(10)(1)-+∞U ，， B.(1)(01)-∞-U ，，

C.(1)(1)-∞-+∞U ，，

D.(10)(01)-U ，，

【解析】：利用奇函数关于原点对称,(1)0,f =(1)0f -=,大致画出函数的图象,选D 。