材料力学-正应力计算

y
9KN
4KN
A
B D
Z
C
RA 1m
1m RB 1m
y
解1、计算C截面弯矩
X MC C截面
RA 2.5KN RB 10.5KN
MC2.5KN0m
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22
例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为 IZ=763.7×104 mm4,求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。
y
9KN
4KN
• 中性轴 中性层与横截面的交线。
梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。
如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部 将缩短
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6
弯曲正应力分布规律 E E y
• 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
M • 正应力大小与其到中性 轴距离成正比；
• 弯矩为正时，正应力 以中性轴为界下拉上 压； • 弯矩为负时，正应力上拉下压；
• 中性轴上，正应力等于零
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M
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2、静力学关系分析
没有轴向力 dA 0 A
E E y
AE ydA E AydA 0
ydA0 质心坐标 A
ydA A
yc A
Sz
yc A 0
A0
y c 0 精选ppt
Z:中性轴
静矩，面积矩 中性轴必然通过横 截面的形心
8
AydAM
工程力学教学课件
工程力学
清华大学出版社 北京交通大学出版社
第十七章
弯曲应力及强 度刚度计算
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2
第一节 梁弯曲时的正应力
# 纯弯曲与剪切弯曲 # 中性层和中性轴 # 弯曲正应力分布规律 # 弯曲正应力的计算、抗弯截面模量
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3
各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲。
各横截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲。
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4
1、变形几何关系
纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂 直于轴线，只是绕中性轴转过一个角度，称为弯曲问 题的平面假设。
中 性 层
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中 性 轴
5
# 中性层和中性轴
• 中性层
梁弯曲变形时，既 不伸长又不缩短的纵向 纤维层称为中性层。
y
x
z
对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。
E E y
Ay(E y)dA E Ay2dA M
令
I z
y 2 dA
A
EI z M
或1 M EI z
抗弯刚度
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My
Iz
9
该截面弯矩
My
Iz
横截面上 某点正应力
该点到中性轴 距离
该截面惯性矩
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10
例 一受 均布载荷 的悬臂梁 ， 其长 l=1m， 均布 载荷集度 q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩 Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。
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例 求T字形截面的中性轴 z，并求截面对中性轴的惯性矩.
（1） 确定形心和中性轴的位置
将截面划分为Ⅰ 、Ⅱ两矩形，取
与截面底边相重合的z 轴为参考 轴，则两矩形的面积及其形心至z 轴的距离分别为：
A I 2 6 12 cm 2
y I
2
6 2
5 cm
A II 6 2 12 cm 2
y II
2 2
1 cm
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整个截面的形心C 在对称轴 y上的位置则为：
yC
Ai yi
A
AI yI AII yII AI AII
125121 3cm 1212
即中性轴 z 与轴 z 的距离为3cm。
（2）求各组合部分对中性 轴z的惯性矩
设两矩形的形心CⅠ和CⅡ；其形心轴为z1和z2，它们距z轴的 距离分别为： a I C I C 2 精c 选p,pa tm I IC I I C 2 cm 19
20
3、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量
某截面上最大弯 曲正应力发生在截面 的上下边界上：
max
M
WZ
WZ 称为抗弯截面模量，Z 为中性轴.
WZ
IZ y max
矩形截面
实心圆截面
b
WZ
bh 2 6
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Z h
WZ
d 3
32
Z
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d
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例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为 IZ=763.7×104 mm4,求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。
（1）作弯矩图，
求最大弯矩
梁的弯矩图如图5-8b 所示， 由图知梁在固定端横截面上 的弯矩最大，其值为
q2l 600 120
M
30N 0m 0
ma x2
2
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11
（2）求最大应力
因危险截面上的弯 矩为负，故截面上缘受 最大拉应力，其值为
TmaxM Im z axy1
3000 25.61080.0152
178106Pa17M 8 Pa
在截面的下端受最大压应力，其值为
CmaxM Im z axy225.360100800.0328
38精选51ppt06Pa38M 5 Pa
12
第二节 惯性矩的计算
1、简单截面的惯性矩 矩形截面
Iz
y2dA
A
h2y2bdyby3
h2
3
h 2
h
bh3
12
2
bh 3 I z 12
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14
圆形与圆环截面
Ip
2dAD4
A
32
I P
2dA
A
空心圆
( y 2 z 2 )dA A
y 2dA
A
A z 2 dA I z I y
IzIyI2 P6 4D 4d4
I P 2 I z
实心圆
2Iy Iz Iy
IP 2
Iz
d4
64精选ppt
IyI2P6D4414
hb 3 I y 12
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13
y
y
P
z
z
My
100
200
Iz
(a)
(b)
(a ):IZ 1 1b 2 3 h 1 1 2 1 0 20 3 0 1 8 0 2 18 m 04m
(b ):IZ 1 1b 2 3 h 1 1 2 2 0 10 3 0 1 2 0 2 18 m 04m
A
B D
Z
C
RA 1m
d 15 D
2、组合截面惯性矩
Iz y2d Ay2dA IzΙIzII
A1
A2
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16
平行移轴公式
Iz1 y12dA
A
Iz1 (ya)2dA y2dA 2a yd Aa2 dA
A
A
A
A
Ayd ASz ycA Ayd A0
且yc 0
I z1 I z a 2 A I y1 I y b2 A
由平行移轴公式，两矩形对中 性轴z的惯性矩为：
IzIIz1I aI2AI 21623 221284cm 4 IzIIIz2IIaI2IAII61223 221252cm 4
（3）求整个截面对中性轴 的惯性矩
将两矩形对z轴的惯性矩相加，得
IzIzI IzI I8 4 5 2 1c 34 m 6
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